年高考数学二轮专题复习与策略第部分专题数列突破点5数列的通项与求和专题限时集训理

专题限时集训(五) 数列通项与求和

[建议A 、B 组各用时：45分钟]

[A 组 高考达标]

一、选择题

1．(2021·济南模拟)数列{a n }前n 项和为S n ，假设S n ＝2a n －4(n ∈N *

)，那么a n ＝( ) A ．2n ＋1

B ．2n

C ．2

n －1

D ．2

n －2

A [由S n ＝2a n －4可得S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得a n ＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即

a n ＝2a n －1(n ≥2)．又a 1＝2a 1－4，a 1＝4，所以数列{a n }是以4为首项，2为公比等比数列，

那么a n ＝4×2

n －1

＝2

n ＋1

，应选A.]

2．数列{a n }满足a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝n －1

n

a n －1，那么a 5＝( ) A.15 B.16 C ．5

D ．6

A [因为a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝

n －1n a n －1，那么a n a n －1＝n －1

n

，所以a 5＝a 5a 4·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1·a 1，即a 5＝45×34×23×12×1＝1

5

.应选A.] 3.122

－1＋132－1＋142－1＋…＋1

n ＋1

2

－1

值为( )

A.

n ＋1

2n ＋2

B.34－n ＋12n ＋2

C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2

D.32－1n ＋1＋1n ＋2

C [∵

1n ＋1

2

－1＝1n 2＋2n ＝1n n ＋2

＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1

n －1n ＋2， ∴

122

－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋1

2

－1＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－13＋12－14＋13－1

5＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3

2－1n ＋1－1n ＋2

＝34－12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.]

4．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，假设S 2 0122 012－S 10

10

＝2 002，那么

S 2 014值等于( )

A ．2 011

B ．－2 012

C ．2 014

D ．－2 013

C [等差数列中，S n ＝na 1＋

n n －1

2

d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d

2，即数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 是首项为a 1＝－

2 012，公差为d 2等差数列．因为S 2 0122 012－S 1010＝2 002，所以(2 012－10)d 2＝2 002，d

2＝1，所

以S 2 014

＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1] ＝2 014，选C.]

5．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意m ，n ∈N *

都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，那么1a 1＋1a 2＋1a 3

＋…

＋

1

a 2 014

等于( ) A.4 028

2 015 B.4 024

2 01

3 C.

4 018

2 012

D.2 010

2 011

A [令m ＝1，得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，于是a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，

a n －a n －1＝n ，上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，

所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋1

2

，

因此1a n ＝

2n

n ＋1＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －1n ＋1， 所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1

a 2 014

＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 014－12 015

＝2⎝

⎛

⎭⎪⎫1－

12 015＝4 028

2 015

.应选A.] 二、填空题

6．(2021·西安模拟)设S n 是数列{a n }前n 项和，a n ＝4S n －3，那么S 4＝__________. 【导学号：67722025】

20

27

[∵a n ＝4S n －3，∴当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1，当n ≥2时，∵4S n ＝a n ＋3，∴4S n －1＝a n －1＋3，∴4a n ＝a n －a n －1，∴

a n a n －1＝－13，∴{a n }是以1为首项，－1

3

为公比等比数列，

∴S 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪

⎫－1341＋13

＝8081×34＝20

27.]

7．(2021·广州二模)设数列{a n }前n 项和为S n ，假设a 2＝12，S n ＝kn 2

－1(n ∈N *

)，那

么数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 前n 项和为__________．

n

2n ＋1

[令n ＝1得a 1＝S 1＝k －1，令n ＝2得S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋12，解得k ＝4，所以S n ＝4n 2

－1，1

S n ＝14n 2－1＝12n ＋12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2n －1－12n ＋1，那么数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1S n 前

n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n

2n ＋1

.] 8．数列{a n }前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋1(n ∈N *

)，且a 1＝1，那么通项公式a n ＝________. ⎩⎪⎨⎪

⎧

1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2

，n ≥2，n ∈N * [由S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)可得S n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)两式

相减得：

a n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1a n ＝3

2

(n ≥2，n ∈N *)．

又由a 1＝1及S n ＝2a n ＋1(n ∈N *

)可得a 2＝12

，

所以数列{a n }从第二项开场成一个首项为a 2＝12，公比为3

2等比数列，

故当n >1，n ∈N *

时有a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，

所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2

，n ≥2，n ∈N *.]

三、解答题

9．(2021·太原二模)数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且1

2，a n ，S n 成等差数列．

(1)求数列{a n }通项公式；

(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1b n 前n 项和T n .

[解] (1)∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋1

2

，1分