1.1 空间向量及其运算讲义-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.1 空间向量及其运算

教学重点：.1.空间向量及其相关概念.2.空间向量的线性运算3.空间向量的数量积 教学难点：用向量方法解决立体几何问题 知识点一 空间向量的概念

1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →

|. 4．几类特殊的空间向量

知识点二 空间向量的线性运算

知识点三 1．空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .

2．直线的方向向量：在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四 共面向量

1．共面向量：如图，如果表示向量a 的有向线段OA →

所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的

向量，叫做共面向量．

2．向量共面的充要条件：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . 知识点五 空间向量的夹角

1．定义：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．

2．范围：0≤〈a ，b 〉≤π.特别地，当〈a ，b 〉＝π

2时，a ⊥b .

知识点六 空间向量的数量积

知识点七 向量a 的投影

1．如图(1)，在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b

|b |，向量c 称为向量a

在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a 向直线l 投影(如图(2))．

2．如图(3)，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到A ′B ′———→，向量A ′B ′———→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′———→

的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．

【题型1 空间向量概念的理解】

方法点拨：空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念

【例1】给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a →

，b →

满足|a →

|＝|b →

|，则a →

=b →

；④若空间向量m →

，n →

，p →

满足m →

=n →

，n →

=p →

，则m →

=p →

；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ） A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【分析】①，零向量有方向，是任意的； ②，向量相等，方向相同，大小相等即可； ③，若|a →

|＝|b →

|，则a →

、b →

的方向没定； ④，根据向量相等的条件可判定；

⑤，空间中任意两个单位向量的模相等．方向没定，向量不一定等； 【解答】解：对于①，零向量有方向，是任意的，故错； 对于②，若两个空间向量相等，方向相同，大小相等即可，故错； 对于③，若空间向量a →

，b →

满足|a →

|＝|b →

|，则a →

、b →

的方向没定，故错； 对于④，若空间向量m →

，n →

，p →

满足m →

=n →

，n →

=p →

，则m →

=p →

，正确；

对于⑤，空间中任意两个单位向量的模相等．方向没定，向量不一定等，故错； 故选：D ，

【点评】那么题考查了空间向量的概念及性质，属于基础题 【练习】1.给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ①空间向量是不能平行移动的；

①有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大； ①如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等，其中正确的是（ ） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①

2.下列说法：

① 若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ② 若向量AB ，CD 满足AB CD →

→

>，且AB 与CD 同向，则AB CD >； ③ 若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则AB ，CD 为相反向量； ④ AB CD =的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合. 其中错误的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3.（多选题）下列命题中为真命题的是（ ） A ．向量AB →

与BA →

的长度相等

B ．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆

C ．空间向量就是空间中的一条有向线段

D ．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【题型2 空间向量的线性运算】

方法点拨：1.空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2.利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．

(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．

【例2】已知三棱锥O ﹣ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →

=a →

，OB →

=b →

，OC →

=c →

用a →

，b →

，

c →

表示MN →，则MN →

等于（ ）

A ．1

2

（b →

+c →−a →

） B ．1

2

（a →

+b →

+c →

）

C ．1

2

（a →

−b →

+c →

） D ．1

2

（c →−a →

−b →

）