(完整word版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一

(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的
（1)
若函数10(),0x f x ax
b x ⎧->⎪
=⎨⎪≤⎩
在0x =处连续，则( ) （A)1
2ab =
（B)1
2
ab =- （C)0ab = （D)2ab =
（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- （C ）()()11f f >-
（D ）()()11f f <-
（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ) （A ）12
(B ）6
（C)4
（D)2
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位：m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则( ） （A ）010t = (B)01520t <<
(C)025t = (D ）025t >
()
s
（5)设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则( ） （A ） T E αα-不可逆 (B ） T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆
（D ）2T E αα-不可逆
（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（ ）
（A ） A 与C 相似,B 与C 相似 (B ） A 与C 相似，B 与C 不相似
(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一 （C ） A 与C 不相似，B 与C 相似
（D) A 与C 不相似，B 与C 不相似
（7)设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()
P A B P A B >的充分必要条件是（ ) A 。

()()
P B A P B A >
B ()()
P B A P B A <
C. ()(
)
P P B A B A > D. ()(
)
P P B A B A <
(8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记11n
i i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是:
（ ）
(A ） 2()i X μ∑-服从2χ分布
(B ） 212()n X X -服从2χ分布
（C ） 21
()n
i i X X =-∑服从2χ分布 (D ） 2()n X μ- 服从2χ分布
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

（9) 已知函数
21
()1f x x =
+ ，则(3)
(0)f =__________
（10）微分方程230y y y '''++=的通解为y =__________ （11)若曲线积分⎰
-+-L y x dydy
xdx 1
22在区域(){}
2
2D ,1x y x
y =
+<内与路径无关,则a =
(12）幂级数()
1
11
1n n n nx ∞
--=-∑在区间(—1，1）内的和函数()S x =
(13）设矩阵101112011A ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为
（14)设随机变量X 的分布函数为()()40.50.52x F x x -⎛⎫
=Φ+Φ ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX=
三、解答题：15~23小题,共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(15）（本题满分10分)
设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，(),x
y f e cosx =，求0dy
d x x =,22
d d x y x
=
（16）（本题满分10分） 求2
1lim ln 1n
n k
k k k n
n →=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑
已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 得极值
（18)（本题满分10分）
设函数()f x 在[]0,1上具有2阶导数,0()
(1)0,lim 0x f x f x
+
→>< 证（1） 方程()0f x =在区间(0,1)至少存在一个根;
（2） 方程0)]([)()(2='+''x f x f x f 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.
（19）(本题满分10分)
设薄片型物体S 是圆锥面 22Z x y =+ 被柱面22Z x = 割下的有限部分，其上任一点弧度为
222(,,)9u x y z x y z =++。

记圆锥与柱面的交线为C （1）求C 在
xOy 平面上的投影曲线的方程
（2）求 S 的质量M
（20）（本题满分11分）
设三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值,且3122ααα=+
（1）证明()2r A =
（2）如果123βααα=++求方程组β=Ax 的通解
（21)(本题满分11分)
设二次型13222
1232121323
(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+，
在正交变换x Qy =下的标准型为22
1122y y λλ+ 求
a 的值及一个正交矩阵Q 。

（22）（本题满分11分）
设随机变量X,Y 互独立，且的概率分布为{}{}1
P 0P 22X X ====，Y 概率密度为()2,010,y y f y <<⎧=⎨⎩
其他
(1)求{}P Y EY ≤ （2）求Z X Y =+的概率密度
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,
,n x x x 相互独立，且均服从正态分布()2,N μσ，该工程师记录的是n 次测量的绝对误差
(),1,2,
,i i z x i n μ=-=，利用12,,
,n z z z 估计σ
(I)求
1z 的概率密度
(II)利用一阶矩求σ的矩估计量
(III)求σ的最大似然估计量
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷
一、选择题：1～8小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1)若反常积分()
11b
a
dx x x +∞
+⎰
收敛，则( ）
()()()()11111111
A a b
B a b
C a a b
D a a b <>>><+>>+>且且且且
（2）已知函数()()21,1ln ,1
x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是（ ）
()()()()()()()()()()()()()()()()2
2
22
1,11,1ln 1,1
ln 11,1
1,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪
⎪
==⎨
⎨
-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪
==⎨⎨
++≥-+≥⎪⎪⎩⎩
（3）若(
)
(
)2
2
2
211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）
()()()()()
()222
2
313111x
x A x x B x x C D x x +-+-
++
（4）已知函数(),0111
,,1,2,1
x x f x x n n n n ≤⎧⎪
=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）
（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导
（D ）()f x 在0x =处可导
（5）设A ，B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是（ ） （A ）T A 与T B 相似 （B ）1A -与1B -相似 (C ）T A A +与T B B +相似
（D)1A A -+与1B B -+相似
(6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( ）
（A)单叶双曲面 （B)双叶双曲 （C)椭球面
（D)柱面
（7)设随机变量()
()0,~2>σσμN X ,记{}
2σμ+≤=X P p ，则( ） （A ）p 随着μ的增加而增加 (B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少
（D ）p 随着σ的增加而减少
(8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31
，将试验E 独立重复做2
次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）
（A ）21- （B ）31- （C)21 （D ）3
1
二、填空题:914小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim
2
00
=-+⎰→x dt t t t x
x
（10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA
（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()
_________
1,0=dz
（12)设函数()2
1arctan ax
x
x x f +-
=，且1)0(='''f ，则________=a （13）行列式
10001
00014
3
2
1
λλλ
λ--=-+____________。

（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()
2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10。

8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______。

三、解答题：15-23小题，共94分。

请将解答写在答题纸．．．指定位置上。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15）（本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,2
2D r r π
πθθθ⎧⎫
=≤≤+-
≤≤
⎨⎬⎩
⎭，计算二重积分D
xdxdy ⎰⎰.
（16）（本题满分10分)设函数()y x 满足方程02=+''+''ky y y 其中01k <<。

()I 证明:反常积分0
()y x dx +∞
⎰
收敛；
()II 若1)0(,1)0(='=y y ,求0
()y x dx +∞
⎰
的值。

（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足
2(,)
(21),x y f x y x e x
-∂=+∂且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)
()t
L f x y f x y I t dx dy x y
∂∂=+∂∂⎰
，并求()I t 的最小值
(18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分
()
zdxdy
ydzdx dydz x I 3212+-+=⎰⎰∑
（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，
1
0'()2
f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,
证明：
（I ）级数11()n n n x x ∞
+=-∑绝对收敛；
（II ）lim n n x →∞
存在，且0lim 2n n x →∞
<<.
(20）（本题满分11分）设矩阵1112221,1
1112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？
（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
（I ）求99A
(II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合.
（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域()
{2,01,D x y x x y =<<<<上服从均匀分布，令
1,0,X Y
U X Y ≤⎧=⎨
>⎩
（I ）写出(,)X Y 的概率密度；
（II ）问U 与X 是否相互独立?并说明理由；
(III ）求Z U X =+的分布函数()F z .
(23)设总体X 的概率密度为()⎪⎩
⎪
⎨⎧<<=其他,00,3,32
θθθx x x f ，其中()∞+∈，0θ为未知参数,321,,X X X 为来自总体X
的简单随机样本,令()321,,max X X X T =. （1)求T 的概率密度
（2）确定a ，使得aT 为θ的无偏估计
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题
(1）设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为( ) （A ）0
(B)1
(C ） 2
（D ） 3
21123x x x y e x e y ay by ce "⎛
⎫=+-+'+= ⎪⎝⎭（2）设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则：
（ )
(A)3,1, 1.(B)3,2, 1.(C)3,2, 1.(D)3,2, 1.
a b c a b c a b c a b c =-=-=-===-=-=====
()1
1
(3)31(A)(B)(C).(D)n
n n n n a x x na x ∞
∞
====-∑∑若级数条件收敛，则依次为幂级数的：
收敛点，收敛点.收敛点，发散点.发散点，收敛点发散点，发散点.
（ ）
（4）设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==
与直线,y x y ==围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续，则
(,)D
f x y dxdy =⎰⎰（ ）
（A ）13sin 214
2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π
θπθ
θθθ⎰⎰
（B
）34
(cos ,sin )d f r r rdr π
πθθθ⎰
(C)13sin 214
2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π
θπθ
θθθ⎰⎰
（ D ）
34
(cos ,sin )d f r r dr π
πθθθ⎰
（5）设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21b d d ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条
件为（ ） （A ）,a d ∉Ω∉Ω
（B ）,a d ∉Ω∈Ω
(C),a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω
（6)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222
123
2y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（ ）
（A ）222
1232y y y -+
（B ）222
1232y y y +- (C ）22212
32y y y --
（D ）22212
32y y y ++
（7）若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）
（C ）
()()
()2P A P B P AB +≤
（D ）()()
()2
P A P B P AB +≥
()(8)X,Y 2,1,3,2EX EY DX E X X Y ===+-=⎡⎤⎣⎦设随机变量不相关，且则（ ） (A)3- (B)3 (C)5-
(D)5
二、填空题 (9）20ln cos lim
_________.x x
x
→= (10）=⎪⎭⎫
⎝⎛++⎰-
dx x x
x 22||cos 1sin π
π_________.
（11）若函数由方程+cos 2x e xyz x x ++=确定，则(0,1)
dz
=。

（12）设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)x y z dxdydz
Ω
++⎰⎰⎰=
（13)n 阶行列式2002-12020
02
2
-12=
（14）设二维随机变量服从正态分布
，则
三、解答题 (15）设函数
，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，
k 值。

（16）
设函数
()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线
与直线
0x x =及x 轴所围成的区域的面积为4，且
(0)2,f =求()f x 的表达式。

（18）（本题满分10分）
（Ⅰ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数定义证明
（Ⅱ）设函数12(),()...()n u x u x u x 可导,
12()()()...(),n f x u x u x u x =写出()f x 的求导公式.
（19）（本题满分10分）
已知曲线L 的方程为222,
,z x y z x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩起点为2,0)A ,终点为(0,2,0)B -，计算曲线积分
2222()()()L
I y z dx z x y dy x y dz
=++-+++⎰
（20)（本题满分11分） 设向量组123,,ααα是3维向量空间3
的一个基,11322k βαα=+，222βα=,313(1)k βαα=++。

（Ⅰ）证明向量组123,,βββ是
3
的一个基;
(Ⅱ）当k 为何值时,存在非零向量ξ在基123,,ααα与基123,,βββ下的坐标相同,并求出所有的ξ。

（21）（本题满分11分）
设矩阵02-3-1331-2A a ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪ ⎭⎝相似于矩阵1-2000031B b ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪
⎭⎝。

（Ⅰ）求,a b 的值.
（Ⅱ）求可逆矩阵P ,使得1
P
AP -为对角阵。

（22)（本题满分11分） 设随机变量X 的概率密度为
-2ln20()=00x x f x x ⎧>⎨≤⎩
对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数。

(Ⅰ）求Y 的概率分布； （Ⅱ）求EY 。

（23）（本题满分11分) 设总体X 的概率密度为
11(;)=10
x f x θθθ
⎧≤≤⎪
-⎨⎪⎩其他
其中θ为未知参数，12.....n X X X ，为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ)求θ的矩估计. (Ⅱ）求θ的最大似然估计.
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．
１．下列曲线有渐近线的是（ ) (A ）x x y sin +=
（B)x x y sin +=2 （C ）x
x y 1
sin +=
（D)x
x y 12sin +=
2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ (B)当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ （C)当0≤'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤
3．设)(x f 是连续函数,则=⎰
⎰---y y dy y x f dy 111
02
),(( ）
（A ）⎰
⎰⎰
⎰---+2
10
1
1
10
x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(
（B)
⎰
⎰⎰
⎰----+0
101
1
10
10
2
x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(
（C ）⎰
⎰⎰
⎰
+++θθππθθπ
θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10
2
10
20
dr r r f d dr r r f d
(D ）
⎰
⎰⎰
⎰
+++θθππ
θθπ
θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10
2
10
20
rdr r r f d rdr r r f d
4．若函数{
}
⎰⎰-∈---=--π
π
π
π
dx x b x a x dx x b x a x R
b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11( ）
（A)x sin 2 (B)x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2
5．行列式d
c d
c b a b
a 00
00
000等于（ ）
（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - (D ）2222c b d a +-
6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
（A)必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件
（D ）非充分非必要条件
7．设事件A 与B 想到独立,3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） (A ）0.1
（B ）0.2 （C ）0.3 （D)0。

4
8．设连续型随机变量21X X ,相互独立，且方差均存在，21X X ,的概率密度分别为)(),(x f x f 21,随机变量1Y 的概率密度为))()(()(y f y f y f Y 21211
+=，随机变量)(2122
1X X Y +=，则（ )
（A)2121DY DY EY EY >>, (B)2121DY DY EY EY ==,
（C ）2121DY DY EY EY <=, （D ）2121DY DY EY EY >=,
二、填空题（本题共6小题，每小题4分,满分24分。

把答案填在题中横线上)
9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为 ．
10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足31e y =)(的解为 ．
12．设L 是柱面122=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向,则曲线积分
⎰
=+L
ydz zdx ．
13．设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ．
14．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它
,,),(02322θθθθx x
x f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单样本,若∑=n
i i X C 1
2是2θ的无偏估计，则常数C = ．
三、解答题
15．（本题满分10分） 求极限)ln())((lim x
x dt t e t x
t
x 1
1121
1
2
+
--⎰+∞
→．
16．（本题满分10分)
设函数)(x f y =由方程06223=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值．
17．（本题满分10分）
设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x =满足x x e y e z y
z x z 2222
2
4)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ,求)(u f 的表达式．
18．(本题满分10分）
设∑为曲面)1(22≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分:dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑
19．（本题满分10分）
设数列{}{}n n b a ,满足2
02
0π
π
<
<<<n n b a ,，n n n b a a cos cos =-且级数∑∞
=1
n n b 收敛．
（1）证明0=∞
→n n a lim ;
（2）证明级数∑
∞
=1n n
n
b a 收敛．
20．（本题满分11分）
设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=302111104321A ,E 为三阶单位矩阵．
（1）求方程组0=AX 的一个基础解系；
（2）求满足E AB =的所有矩阵B ．
21．(本题满分11分)
证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛111111
111
与⎪⎪
⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛n 00200100 相似．
22．（本题满分11分）
设随机变量X 的分布为2
1
21=
===)()(X P X P ,在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),,(=i i U ．
（1)求Y 的分布函数;
(2)求期望).(Y E
23．（本题满分11分)
设总体X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-
00012
x x e x F x ,
,),(θθ，其中θ为未知的大于零的参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单随机样本， （1）求)(),(2X E X E ；
（2）求θ的极大似然估计量θ
．
(3）是否存在常数a ，使得对任意的0>ε，都有0=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞
→εθa P n n ^
lim ？
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷
一、选择题(1~8题，每题4分)
1。

已知极限0arctan lim k x x x
c x
→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠,则( ) A 。

12,2k c ==- B 。

1
2,2k c ==
. 13,3k c ==- D. 1
3,3k c ==
2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ) A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=-
D 。

0x y z --=
3。

设1
()2
f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （ )
A 。

3
4
B 。

1
4
C. 14-
D. 34
- 4。

设221:1L x y +=，222:2L x y +=,223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记
)4,3,2,1(32633=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰i dy x x dx y y I i i ，则{}1234max ,,,I I I I = A 。

1I
B 。

2I
C 。

3I
D 4I
5.设A,B ，C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆,则（ ) A 。

矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价
6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ）
A 。

0,2a b ==
B 。

0,a b = 为任意常数
C 。

2,0a b ==
D 。

2,a b = 为任意常数
7。

设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ,22
(0,2)X N ，23
(5,3)X N ，{}22(1
,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（ ）
A. 123P P P >>
B. 213P P P >> C 。

322P P P >>
D 132P P P >>
8.设随机变量()X
t n ，(1,)Y
F n ，给定(00.5)a a <<,常数c 满足{}P X c a >=，则{}2P Y c >=（ ）
A. a B 。

a -1 C. a 2 D a 21-
二、填空题（9-14小题，每小题4分）
9。

设函数y=f(x)由方程y —x=e
x(1-y ）
确定,则01
lim [()1]n n f n
→-＝ 。

10.已知y 1=e 3x –xe 2x ，y 2=e x –xe 2x ,y 3= –xe 2x
是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程的通解y = .
11。

设224
sin ()sin cos t x t d y
t y t t t
dx π==⎧=⎨=+⎩为参数，则 。

12.2
1
ln (1)
x
dx x +∞
=+⎰
. 13.设A=(a ij )是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式,A ij 为a ij 的代数余子式。

若a ij +A ij =0(i ，j=1，2,3），则｜A|＝ 。

14。

设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则P{Y ≤a+1|Y ＞a ｝=
三．解答题：
（15）（本题满分10分） 计算dx x
x f )(1
⎰
，其中f （x ）＝.)
1ln(1
dt t
t x
+⎰
（16)(本题10分)
设数列｛a n ｝满足条件：0123,1(1)0(2).n n a a a n n a n -=--≥＝，＝
S （x ）是幂级数0.n n n a x ∞
=∑的和函数
（1)证明:()()0;''-=S x S x
（2）求().S x 的表达式
（17）(本题满分10分）
求函数的极值y
x e x y y x f ++=)3
(),(3.
（18）（本题满分10分)
设奇函数f （x ）在[]1,1-上具有二阶导数，且f （1)=1，证明： （I ）存在.1)(1,0='∈ξξf ），使得（
（Ⅱ）存在1,1() 1.f f ηηη'''∈-+=（），使得（）
19。

(本题满分10分)
设直线L 过A(1,0，0），B （0,1，1)两点将L 绕z 轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面0,2z z ==所围成的立体为Ω。

（1）求曲面∑的方程；
（2）求Ω的形心坐标.
20.（本题满分11分）
设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当a,b 为何值时,存在矩阵C 使得AC-CA=B,并求所有矩阵C 。

21.（本题满分11分）
设二次型22123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭。

(1）证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+；
（2）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22
122y y +.
22.（本题满分11分）
设随机变量X 的概率密度为令随机变量2,1,,12,1,2x Y x x x ≤⎧⎪
=<<⎨⎪≥⎩
（1）求Y 的分布函数；
（2）求概率{}P X Y ≤.
23。

（本题满分11分)
设总体X 的概率密度为23,0,
(;)0,x e x f x x θ
θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩
其他其中θ为未知参数且大于零，12,,n X X X ，为来自总体X 的
简单随机样本。

（1）求θ的矩估计量；
(2）求θ的最大似然估计量。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷
一、选择题:1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线221x x
y x +=-渐近线的条数为( ）
（A ）0
（B ）1
（C)2
(D ）3
(2)设函数2()(1)(2)
()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =
(A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- (C)1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果函数(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ) (A)若极限00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微
（B)若极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在
(D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在 (4）设2
k
x k
e
I e
=⎰
sin x d x (k=1,2,3），则有D
（A ）I 1< I 2 <I 3。

（B) I 2〈 I 2〈 I 3。

（C ） I 1〈 I 3 <I 1， (D ） I 1〈 I 2< I 3.
(5)设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
（ ）
（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα
(C)134,,ααα
（D ）234,,ααα
（6）设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵，且
，()123,,P ααα=,()1223,,Q αααα=+则
1Q AQ -=（ )
(A ）. （B) .
(C)
. (D) 。

（7）设随机变量x 与y 相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}=<y x p （ ）
1
12
4
()
()
() ()
5
35
5A B C D
（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ）
1)(21
)(21)(1)(--D C B A
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上。

（9)若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+，则)(x f =________。

（10）2
202x x x dx -⎰ ________。

(11）(2,1,1)grad z xy y ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ ________。

(12)设(){},0,0,0,1,,∑≥≥≥=++=z y x z y x z y x 则⎰⎰∑
=ds y 2________。

（13）设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T xx E -的秩为________。

（14）设,,A B C 是随机事件，,A C 互不相容，1()2P AB =
,1()3
P C =,则________.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15）（本题满分10分）
证明：2
1ln cos 1,1112
x x x x x x ++≥+-<<-
(16）(本题满分10分）
求函数()22
,2
x y f x y xe +=-的极值。

（17)（本题满分10分） 求幂级数
n ∞
=∑
244321
n n n +++x 2n
的收敛域及和函数
（18）（本题满分10分）
已知曲线
，其中函数)(t f 具有连续导数，且0)0(=f ，，。

若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的
距离恒为1，求函数)(t f 的表达式,并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

（19)(本题满分10分)
已知L 是第一象限中从点()0,0沿圆周222x y x +=到点()2,0,再沿圆周224x y +=到点()0,2的曲线段，计算曲线积分
.
（20)(本题满分10分）
设．（Ⅰ）求A
(Ⅱ) 当实数为何值时，方程组
有无穷多解，并求其通解．
（21）（本题满分10分）三阶矩阵10101110A a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，T A 为矩阵A 的转置，已知()2T r A A =，且二次型
T T f x A Ax =。

1)求a 2）求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。

(22)（本题满分10分）
已知随机变量,X Y 以及XY 的分布律如下表所示，
求：(1)()2P X Y =； （2)()cov ,X Y Y -与XY ρ。

（23)（本题满分11分）
设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布()2,N μσ与()2,2N μσ,其中σ是未知参数且0σ>，设
Z X Y =-,
（1）求z 的概率密度()2,f z σ；
（2）设12,,
n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2
σ；
(3)证明为
的无偏估计量。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷
一、选择题:1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1） 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是（ ）
（A ） (1,0)． （B) (2,0)． (C ） (3,0)． (D) (4,0)． （2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞
=，1
(1,2,
)n
n k k S a n ===∑ 无界,则幂级数1
(1)n n n a x ∞
=-∑的收敛域为
（ )
(A) (1,1]-． （B) [1,1)-． (C ） [0,2)． （D) (0,2]．
（3） 设函数()f x 具有二阶连续导数,且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A) (0)1f >,(0)0f ''>． （B ） (0)1f >,(0)0f ''<． (C ） (0)1f <，(0)0f ''>． （D ） (0)1f <，(0)0f ''<．
（4) 设40
ln sin I x dx π=⎰，40
ln cot J x dx π=⎰，40
ln cos K x dx π
=⎰，则,,I J K 的大小关系是（ ）
（A ） I J K <<． (B) I K J <<．
（C) J I K <<． （D) K J I <<．
(5） 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵,记
11001
10001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A =（ ） （A ） 12PP ． (B) 112P P -． （C) 21P P ． （D) 121P P -．
（6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵,若(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为（ ）
（A) 13,αα． （B) 12,αα． （C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．
（7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数,其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是（ ）
（A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．
（C ）12()()f x F x ． （D)1221()()()()f x F x f x F x +．
（8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =（ )
(A)()()E U E V ⋅． (B ）()()E X E Y ⋅． （C ）()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9) 曲线0tan (0)4
π
=≤≤
⎰x
y tdt x 的弧长s = ．
(10） 微分方程cos x y y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为y = ． （11) 设函数20
sin (,)1xy
t F x y dt t =+⎰
，则22
2
x y F
x
==∂=∂ ．
(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线
积分2
2
L y xzdx xdy dz ++
=⎰ ． (13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=,经过正交变换化为221144y z +=，则
a = ．
（14） 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ,则()2E X Y = ．
三、解答题：15～23小题,共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(15）（本题满分10分)
求极限1
1
0ln(1)lim()x e x x x
-→+．
（16)(本题满分9分）
设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，
求
211
x y z x y
==∂∂∂．
（17）(本题满分10分）
求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数．
（18）（本题满分10分）
（Ⅰ)证明:对任意的正整数n ,都有
111
ln(1)1n n n
<+<+ 成立．
（Ⅱ）设11
1ln (1,2,)2
n a n n n
=+
++
-=,证明数列{}n a 收敛．
（19)（本题满分11分）
已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，
(,)D
f x y dxdy a =⎰⎰,其中
{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，
计算二重积分''(,)xy D
I xy f x y dxdy =
⎰⎰．
（20）(本题满分11分)
设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=,2(1,2,3)T β=，
3(3,4,)T a β=线性表示．
（I ） 求a 的值;
（II ） 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．
（21)（本题满分11分）
设A 为三阶实对称矩阵,A 的秩为2,即()2r A =,且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．
（I) 求A 的特征值与特征向量；
（II) 求矩阵A ．
(22)（本题满分11分)
设随机变量X 与Y 的概率分布分别为
且{}221P X Y ==．
(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；
（II ） 求Z XY =的概率分布；
(III ） 求X 与Y 的相关系数XY ρ．
（23)（本题满分 11分）
设12,,
,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别
表示样本均值和样本方差．
（I) 求参数2
σ的最大似然估计量2σ∧
；
（II ） 计算2()E σ∧和2
()D σ∧．
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷
一、选择题（1-8小题，每小题4分,共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

)
（1)极限2
lim ()()x
x x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=（ ） (A ）1
(B ）e
(C ）e a b -
（D)e b a -
(2)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z
F x x =确定，其中F 为可微函数，且20,F '≠则z z x y x
y ∂∂+∂∂=（ ）
（A ）x
(B)z
（C)x -
（D ）z -
(3）设,m n 为正整数,则反常积分⎰的收敛性（ ）
（A ）仅与m 取值有
(B)仅与n 取值有关
（C)与,m n 取值都有关
(D ）与,m n 取值都无关
(4)22
11lim ()()
n
n
x i j n
n i n j →∞
==++∑∑
= （ ） (A ）1
20
1
(1)(1)x
dx dy
x y ++⎰⎰
(B ）10
1
(1)(1)
x
dx dy x y ++⎰⎰
(C)1
1
01
(1)(1)
dx dy
x y ++⎰⎰
（D ）1
1
20
01
(1)(1)
dx dy x y ++⎰⎰
(5)设A 为m n ⨯型矩阵,B 为n m ⨯型矩阵，为阶单位矩阵,若,=AB E 则（ ）
（A)秩(),m =A 秩()m =B （B)秩(),m =A 秩()n =B
(C)秩(),n =A 秩()m =B
（D)秩(),n =A 秩()n =B
（6）设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3，则A 相似于（ ）
(A)111
0⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
（B)1110⎛⎫
⎪
⎪
⎪- ⎪
⎝⎭
(C ）
1110⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭
(D)1110-⎛⎫
⎪
- ⎪
⎪- ⎪
⎝⎭
（7)设随机变量X 的分布函数，则
=（ ）
（A ）0
（B)1
(C)
1
1e 2
-- （D)11e --
(8）设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,
若
为概率密度,则,a b 应满足（ ） （A ）234a b +=
(B ）324a b +=
(C ）1a b +=
(D ）2a b +=
二、填空题（9-14小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）
(9）设求
_________。

(10)20
cos x xdy π⎰
= 。

（11）已知曲线L 的方程为1{[1,1]},y x x =-∈-起点是(1,0),-终点是(1,0),则曲线积分
2L
xydx x dy +⎰
= .
（12)设22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤则Ω的形心的竖坐标z = .
（13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则
α= .
（14）设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!
C
P X k k k ==
=则= .
三、解答题（15－23小题，共94分。

请将解答写在答题纸指定的位置上。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(15）（本题满分10分)
求微分方程322e x y y y x '''-+=的通解.
(16）（本题满分10分）
求函数2
21()()e x
t f x x t dt -=-⎰的单调区间与极值。

（17)（本题满分10分)
（1）比较1
ln [ln(1)]n
t t dt +⎰与1
ln (1,2,)n t t dt n =⎰的大小,说明理由
(2）记1
ln [ln(1)](1,2,
),n n u t t dt n =+=⎰求极限lim .
n x u →∞
(18)（本题满分10分）
求幂级数121(1)21
n n
n x n -∞
=--∑的收敛域及和函数。

(19)(本题满分10分）
设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点，若S 在点P 的切平面与xOy 面垂直，求P 点的轨迹,C 并
计算曲面积分,I ∑
=其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.
(20）（本题满分11分）
设11010,1,111a λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b 已知线性方程组=A x b 存在两个不同的解.
（1)求,.a λ
（2)求方程组=A x b 的通解.
(21)（本题满分11分)
设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为22
12,y y +且Q
的第三列为.T
（1)求.A
（2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.
(22)（本题满分11分）
设二维随机变量()X Y +的概率密度为2
2
22(,)e ,,,x
xy y f x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞求常数及A 条件概
率密度|(|).
Y X f y x
(23）（本题满分11 分)
设总体X
其中(0,1)θ∈未知，以i N 来表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n ）中等于i 的个数(1,2,3),i =试求常数123,,,a a a 使3
1i i i T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷
一、选择题(1-8小题，每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。

)
（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ） (A ）1
1,6
a b ==-
(B ）11,6a b ==
(C)11,6a b =-=-
(D)1
1,6
a b =-=
（2）如图,正方形
(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k
D k =，cos k
k
D I y xdxdy =⎰⎰，则
{}14
max k k I ≤≤=( ）
(A)1I (B)2
I
（C ）3
I
（D ）4I
（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数
()()0
x
F x f t dt =⎰的图形为（ ）
（A)
(B ）
(C)
(D ）
()f x
0 2 3
x
1 - 1 ()f x
2 3
x
1 --
1
()f x
0 2
3
x
1
- 1 ()f x
2 3
x
1 - 1
1 ()f x
-2 0 2 3
-1
O
(4)设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞
=，则（ )
（A)当1n n b ∞=∑收敛时,1
n n n a b ∞
=∑收敛.
(B ）当1
n n b ∞=∑发散时,1
n n n a b ∞
=∑发散。

（C)当1
n n b ∞
=∑收敛时,22
1n n
n a b ∞=∑收敛.
(D)当1n n b ∞
=∑发散时，22
1
n n n a b ∞
=∑发散。

（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311
,,23
ααα到基122331,,+++αααααα的过渡矩阵为
（ ）
（A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(B)120023103⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
(C ）1112461112461112
4
6⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
（D ）1112
221
114441116
6
6⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
(6）设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ⎛⎫
⎪⎝⎭
的伴随矩阵
为
（A ）**32O B A O ⎛⎫
⎪⎝⎭
(B)**
23O
B A O ⎛⎫
⎪⎝⎭
(C)**32O A B
O ⎛⎫
⎪⎝⎭
(D ）**
23O A B
O ⎛⎫
⎪⎝⎭
(7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫
=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =
（ ) （A)0
（B ）0。

3
（C ）0.7
(D ）1
(8）设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1
012
P Y P Y ====,记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为（ ） (A)0
（B)1 (C ）2 （D ）3
二、填空题（9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =,则2z
x y
∂=∂∂ .
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12e x y C C x =+，则非齐次方程
y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .
（11)已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则L
xds =⎰ .
(12)设(){}
2
22,,1x y z x
y z Ω=
++≤,则2z dxdydz Ω
=⎰⎰⎰ 。

(13)若3维列向量,αβ满足2T =αβ，其中T α为α的转置，则矩阵T βα的非零特征值为 . （14)设12,,
,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差。

若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = 。

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上。

解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.)
(15)（本题满分9分）
求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值。

（16)（本题满分9分）
设n a 为曲线n
y x =与()1
1,2,.....n y x
n +==所围成区域的面积,记12211
1
,n n n n S a S a ∞∞
-====∑∑，求1S 与2S 的值.
(17)(本题满分11分）
椭球面1S 是椭圆22143x y +
=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22
143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成.
(1）求1S 及2S 的方程。

（2)求1S 与2S 之间的立体体积.
(18)(本题满分11分)
(1）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈,使得
()()()()f b f a f b a ξ'-=-。

(2)证明:若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0
lim x f x A +
→'=,则()0f +'存在，且()0f A +'=
(19）(本题满分10分)
计算曲面积分()
32
222
xdydz ydzdx zdxdy
I x
y z
++=
∑
++⎰⎰
,其中
∑
是曲面222224x y z ++=的外侧。

（20）(本题满分11分）
设11111
1042--⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪
--⎝⎭
A ，1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ （1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. （2）对（1）中的任意向量2ξ，3ξ证明123
,,ξξξ无关.
(21)(本题满分11分)
设二次型()()222
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.
(1）求二次型f 的矩阵的所有特征值； (2)若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.
（22）(本题满分11分)
袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

(1) 求{}
10p X Z ==. (2)求二维随机变量(),X Y 概率分布
（23)（本题满分11 分）
设总体X 的概率密度为2,0
()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他
，其中参数(0)λλ>未知，1X ,2X ,…n X 是来自总体X 的
简单随机样本。

(1）求参数λ的矩估计量。

(2）求参数λ的最大似然估计量.
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。

）
（1)设函数2
0()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数（ ）
(A)0 (B ）1 （C)2 （D ）3
（2）函数(,)arctan x
f x y y
=在点(0,1)处的梯度等于( ） (A ）i
(B)-i
（C ）j
（D ）-j
（3)在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是（ ） (A)440y y y y ''''''+--= (B ）440y y y y ''''''+++= （C ）440y y y y ''''''--+=
(D)440y y y y ''''''-+-=
(4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ) (A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 （C)若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛
(D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛
(5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵。

若30=A ，则（ ) (A)-E A 不可逆，+E A 不可逆 （B ）-E A 不可逆，+E A 可逆
(C)-E A 可逆,+E A 可逆
(D ）-E A 可逆，+E A 不可逆
(6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,,)1x x y z y z ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A 在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的
正特征值个数为（ ）
(A ）0 (B ）1
（C)2
(D)3
(7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ )。