三角函数的概念(精练)(解析版)

5.2 三角函数的概念
【题组一 三角函数的定义】
1．（2020·河南高三其他（理））若角α的终边过点8,6cos ()60P m --，且4
cos 5
α=-
则实数m 的值为（ ）
A ．12
-
B ．
C ．
12
D 【答案】C
【解析】6cos603-=-，则点P 的坐标为(8,3)P m --， 因为4
cos 5
a =-
．所以角a 的终边在第二象限或第三象限，故0m >．
45=-，即214m =，解得12m =-（舍)或12m =.故选：C ． 2．（2020·内蒙古通辽·高一期中（理））点(,)A x y 是300︒角终边上异于原点的一点，则y
x
值为（ ）．
A B ．C ．
3
D ．3
-
【答案】B 【解析】
tan 300y
x
==-
3．（2020·浙江丽水·高一期末）已知角α的终边经过点()1,P m ，且sin 10
α=-
，则cos α=（ ）
A ．
B ．
C
D ．
13
【答案】C
【解析】由三角函数定义得
sin 0,310
m m α=
=-
<=-
由三角函数定义得
cos 10
α=
=
C
4．（2020·全国高一课时练习）已知角α的终边上有一点P ⎝⎭
，则sin cos αα+ ________.
【答案】5
-
【解析】因为角α
的终边上有一点P ⎝⎭
，则2
2
1⎛+= ⎝⎭⎝⎭
所以sin α=
，cos α=
所以sin cos αα⎛+=+= ⎝⎭
-5．（2020·浙江高一课时练习）已知角α的终边上一点的坐标为33sin ,cos 44ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，则角α的最小正值为________. 【答案】
74
π
【解析】∵角α的终边上一点坐标为33sin ,cos 44M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即2
2M ⎛- ⎝⎭， 故点M
在四象限，且tan 12
α=
=-，则角α的最小正值为74π.故答案为：74π
6．（2020·全国高一课时练习）已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)”，求2sin α＋cos α. 【答案】1或－1.
【解析】因为r
5a =． ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，
sin α＝
y r
＝
44
55a a =，cos α＝3355x a r a -==-， 所以2sin α＋cos α＝83
155
-=，
②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限.
sin α＝
4455a a =--，cos α＝33
55
a a -=-， 所以2sin α＋cos α＝83
155
-+=-.
7．（2020·全国高一课时练习）已知θ终边上一点()(),30P x x ≠
，且cos 10
x θ=
，求sin θ、tan θ. 【答案】当1x =
时，sin 10θ=
，tan 3θ=；当1x =-
时，sin 10θ=，tan 3θ=-.
【解析】由题意知r OP ==
cos x x r θ=
==，
0x ≠，解得1x =±.
当1x =时，点()1,3P
，由三角函数的定义可得sin 10
θ=
=
，3tan 31θ==；
当1x =-时，点()1,3P -，由三角函数的定义可得
sin θ=
=
，3
tan 31
θ=
=--. 综上所述，当
1x =时，sin 10θ=
，tan 3θ=；当1
x =-时，sin 10
θ=，tan 3θ=-. 【题组二 三角函数值正负判断】
1．（2019·上海中学高一期中）若cos 0tan 0＞，＜，αα则α在 A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】由于cos 0α>，故角α为第一、第四象限角.由于tan 0α<，故角α为第二、第四象限角.所以角α为第四象限角.故选D.
2．（2019·安徽省舒城中学高一月考）若sin 0tan α
α
>且cos tan 0αα⋅<，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】由题,因为
sin 0tan α
α
>,则α的终边落在第一象限或第四象限； 因为cos tan 0αα⋅<,则α的终边落在第三象限或第四象限；综上,α的终边落在第四象限故选D
3．（2020·南昌市新建一中高一期末）已知角α满足sin 0α<且cos 0α>，则角α是第（ ）象限角 A ．一 B ．二
C ．三
D ．四
【答案】D
【解析】由题意，根据三角函数的定义sin y r α=
＜0，cos x
r
α=＞0 ∵r ＞0，∴y ＜0，x ＞0．∴α在第四象限，故选：D ．
4．（2020·上海高一课时练习）已知tanα>0，且sinα+cosα>0，那么角α是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角
【答案】A
【解析】tan 0α>则角为第一或第三象限，而sin cos 0αα+>，故角为第一象限角. 5．（2020·甘肃高一期末）已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B
【解析】由题意可得00cos tan αα<⎧⎨
<⎩,则0
sin cos αα>⎧⎨<⎩,所以角α的终边在第二象限，故选B.
6．（2019·广东越秀·高一期末）若cos θ0>，sin θ0<，则角θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
【答案】D
【解析】根据三角函数的定义有()sin ,cos 0y x
r r r
θθ==>，所以0,0x y ><， 所以θ在第四象限，故选D ．
7．（2020·辽河油田第二高级中学高一期中）如果点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，那么角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限+
【答案】C
【解析】因为点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，所以sin 0
cos 0
θθ<⎧⎨<⎩，因此角θ在第三象限.故选：C.
8．（2020·全国高一课时练习）“点(tan ,cos )P αα在第三象限”是“角α为第二象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵(tan ,cos )P αα为第三象限，∴tan 0α<，cos 0α<，∴α为第二象限角，反之也成立. 故选：C.
9．（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ，则角β的终边
在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限，所以有sin 0,
tan 0,
ββ<⎧⎨
>⎩所以β是第三象限角.故选：C 【题组三 三角函数线】
1．（2020·灵丘县豪洋中学高一期中）设5sin 12a π=，5cos 12
b π=，5tan 12
c π
=，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
【答案】D 【解析】设
512π的终边与单位圆相交于点P ，根据三角函数线的定义可知5sin 12a MP π
==，5cos 12b OM π==，5tan 12
c AT π
==，显然AT MP OM >>所以b a c <<故选：D
2．（2020·全国高一课时练习）若02θπ≤<,且不等式cos sin θθ<和tan sin θθ<成立,则角θ的取值范围是( )
A ．3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】由三角函数线知,在[)0,2π内使cos sin θθ<的角5,44πθπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
,使tan sin θθ<的角3,,222πθπππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
,故θ的取值范围是,2
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
.故选：B.
3．（2020·全国高一课时练习）如果4
2
π
π
α<<
，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．sin cos tan ααα<<
B ．tan sin cos ααα<<
C ．cos sin tan ααα<<
D ．cos tan sin ααα<<
【答案】C
【解析】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，
很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.
4．（2020·全国高一课时练习）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.
（1）sin α≥
2
（2）cos α≤－
12
. 【答案】（1）作图见解析；22k 2k ,k Z 3
3π
πα
παπ⎧⎫+≤≤+
∈⎨⎬⎩
⎭
∣；（2）作图见解析；2422,33k k k Z ππα
παπ⎧⎫
+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
∣.
【解析】（1）作直线y A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.
故满足要求的角α的集合为22k 2k ,k Z 3
3π
πα
παπ⎧⎫+≤≤+
∈⎨⎬⎩
⎭
∣. （2）作直线x ＝－
1
2
交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫
+≤≤+∈⎨
⎬⎩⎭
∣. 【题组四 同角三角函数】
1．已知sin θ=a−1
1+a ,cos θ=−a
1+a ，若θ是第二象限角，则tan θ的值为 A ．−1
2 B ．−2
C ．−3
4
D ．−4
3
【答案】C
【解析】由sin 2θ+cos 2θ=1，得：(a−1
1+a )2+(a
1+a )2=1，化简，得： a 2−4a =0，因为θ是第二象限角，所以，a =4， tan θ=sin θ
cos θ=a−1
1+a ×(−
1+a a
)＝
1−a a
=1a −1＝−3
4，故选C.
2．（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考）若角α的终边落在直线0x y +=上，
cos α+
的值等于（ ）
A ．0
B ．2-
C ．2
D ．2-或2
【答案】A
【解析】由题意，若角α的终边落在直线0x y +=上，则角α的终边落在第二象限或第四象限，
当角α
的终边在第二象限时，根据三角函数的定义，可得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
0cos α+=；
当角α
的终边在第四象限时，根据三角函数的定义，可得sin 2
cos 2αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
0cos α+=，故选A.
3．（2019·江西高三月考（文））已知tan 2α，其中α为三角形内角，则cos α=（）
A.
D. 【答案】A
【解析】因为tan 2α
，所以sin 2cos αα=-，又因为22sin cos 1αα+=，
所以解得：sin 5cos αα⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为α
为三角形内角，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
.
故答案为:A.
【题组五 弦的齐次】
1.（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知tan 3α=，则3sin cos 5cos sin αα
αα
-=-（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】B 【解析】由已知
3sin cos 3tan 1331
45cos sin 5tan 53
αααααα--⨯-===---．故选：B ．
2．（2020·辽宁高一期末）若
3sin 5cos 1
sin 2cos 5αααα+=--，则tan α的值为（ ）
A ．
3
2
B ．﹣
32
C ．
2316
D ．﹣
2316
【答案】D 【解析】因为
3sin 5cos 3tan 51
sin 2cos tan 25αααααα++==---，解得23tan 16
α=-.故选：D
3．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知θ是第二象限角，
(),2P x 为其终边上一点且cos θ5
x =，则
2sin cos sin cos θθ
θθ
-+的值
A ．5
B ．
52
C ．
32
D ．
34
【答案】A
【解析】由题意得
cos 5
θ==1x =±．又θ是第二象限角，∴1x =-．
∴tan 2θ=-．∴
2sin cos 2tan 141
5sin cos tan 121
θθθθθθ----===++-+．选A ．
4．（2020·内蒙古集宁一中高一期末（理））已知sin αα=，则2sin sin cos 1ααα++=（ ）
A B C ．1 D ．3
【答案】B
【解析】由sin αα=可得tan α=
2222
222
2sin sin cos cos 2tan tan 1sin sin cos 1sin cos tan 1αααααααααααα++++++====++． 故选：B ．
5．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知4
tan 3
α=
，求下列各式的值． ①222
sin 2sin cos 2cos sin ααααα
+⋅-； ②sin cos αα． 【答案】①20；②
1225
. 【解析】①原式2
222
442tan 2tan 33202tan 423ααα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
． ②原式22224
sin cos tan 123sin cos tan 125
413αααααα====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭
． 6．（2020·内蒙古通辽·高一期中（理））（1）已知tan 3α=，计算4sin 2cos 5cos 3sin αα
αα
-+ 的值 .
（2）已知3
tan 4
θ=-
，求22sin cos cos θθθ+-的值. 【答案】（1）
57；（2）
22
25
. 【解析】（1）∵tan 3α= ∴cos 0α≠
∴原式=
1
(4sin 2cos )4tan 24325cos =153tan 5337(5cos 3sin )cos αααααααα
-⨯
-⨯-==++⨯+⨯
.
（2）()
22222
2
2sin cos sin cos cos 2sin cos cos sin cos θθθθθ
θθθθθ
++-+-=
+
=222222
2sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos 1tan θθθθθθθθθ
++++=++ =2
2
3393211
224484925311164⎛⎫⎛⎫
⨯-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫++- ⎪⎝⎭
. 7．（2020·山东潍坊·高一期末）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边经过点
()04,A y ，其中00y ≠.
（1
）若cos 5
α=，求0y 的值； （2）若04y =-，求
2sin 3cos cos 4sin αααα
+-的值. 【答案】（1）2±；（2）15. 【解析】（1
）由题意知，OA =
cos α=
=. 解得02y =±，所以02y =±.
（2）当04y =-时，0tan 14y α=
=-，所以2sin 3cos 2tan 31cos 4sin 14tan 5
αααααα++==--. 8．（2020·四川凉山·高一期末）已知tan α，1tan α
是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且32ππα<<，求cos sin αα+的值
【答案】
【解析】由题意，tan α，
1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， 可得21tan 31tan k αα
⋅=-=，解得2k =±， 又由32ππα<<，则1tan 2tan k αα
+==，解得tan 1α=，
则sin cos 2αα==-
，所以cos sin αα+= 【题组六 sinacosa 与sina±cosa 】
1．（2020·浙江高三专题练习）已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0,)4
π，则sin θ－cos θ的值为( ) A
B ．13 C
D ．－13
【答案】A
【解析】∵sinθ+cosθ=43
，∴（sinθ+cosθ）2=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=169 ，
所以2sinθcosθ=7
9 又因为0＜θ＜4π
，所以0<sinθ<cosθ∴sinθ﹣cosθ＜0，
∴（sinθ﹣cosθ）2=sin 2θ+cos 2θ﹣2sinθcosθ=1﹣2sinθcosθ=2
9 ，则sinθ﹣cosθ=
﹣3 ．故选A ．
2．（2020·山西应县一中高三开学考试（文））若cosα＋2sinα
，则tanα＝________.
【答案】2
【解析】由2221cos sin sin cos αααα⎧⎪⎨+=⎪⎩＋
sin α
，cos α=，∴tanα＝sin αcos α
=2， 故答案为2.
3．（2019·石嘴山市第三中学高一期中）已知sinθ−cosθ=15
（1）求sinθcosθ的值；
（2）当0<θ<π时，求tanθ的值．
【答案】(1) sinαcosα=1225 (2) tanθ=43
【解析】（1）(sin θ−cos θ)2=1−2sin θcos θ =(15)2
=125⇒sin αcos α=1225.
（2）∵0<θ<π且sin αcos α>0，
∴0<θ<π2.
由{sinθ−cosθ=15sinθcosθ=1225 ⇒{sinθ=45
cosθ=35 得tan
θ=sin θ
cos θ=43
.。