动量定理教案

动量定理教案
16．2 动量定理
教学⽬标：
1.学习动量定理，理解和掌握冲量和动量改变的关系；
2.学会利⽤⽜顿运动定律推导动量定理。

重点难点：
1.动量定理是⽮量定理的理解，注意⽅向性；
2.掌握利⽤动量定理解决问题的基本⽅法。

教学过程：
复习引⼊
[讨论1]以初速度v0竖直向上抛出⼀物体，空⽓阻⼒不可忽略。

关于物体受到的冲量，以下说法中正确是：（BCD ）
A.物体上升阶段和下落阶段受到重⼒的冲量⽅向相反
B.物体上升阶段和下落阶段受到空⽓阻⼒冲量的⽅向相反
C.物体在下落阶段受到重⼒的冲量⼤于上升阶段受到重⼒的冲量
D.物体从抛出到返回抛出点，所受各⼒冲量的总和⽅向向下
[讨论2] 以10m/s 的速度运动的球，能不能⽤头去顶？
[讨论3]鸡蛋从1m ⾼处掉落地上，鸡蛋会破吗？
⼀、动量定理
1.推导：
（1）放在光滑⽔平⾯上的物体，在⽔平拉⼒F 的作⽤下向右加速运动，经过时间t ，速度从v 1增加到v 2，则有： F=ma t v v a 12-= 有： t
v v m F 12-= Ft=m v 2-m v 1 （2）若⽔平⾯粗糙，，有：F-f=ma t v v a 12-=
有： t v v m f F 12-=- (F-f)t=m v 2-m v 1
综合（1）、（2）有：ΣFt=m v 2-m v 1 即I 合=ΔP
2.内容：物体所受合外⼒的冲量等于物体动量的变化。

3.表达式：I 合=ΔP ，ΣFt=m v 2-m v 1
[例1] 质量2kg 的⽊块与⽔平⾯间的动摩擦因数µ=0.2，⽊块在F=5N 的⽔平恒⼒作⽤
下由静⽌开始运动。

g=10m/s 2，求恒⼒作⽤在⽊块上10s 末物体的速度。

解法1：恒⼒作⽤下的⽊块运动中共受到竖直向下的重⼒mg ，⽔平⾯向上的⽀持⼒N ，沿⽔平⽅向的恒⼒F 和摩擦⼒，如图所⽰。

⽊块运动的加速度250s /m .m
f F a =-= ，⽊块运动10s 的速度v t =at=0.5×10=5m/s
解法2：⽊块的受⼒分析同上。

在10s 内⽊块所受合⼒的冲量I=Ft-ft 。

⽊块初速度是零，10s 末速度⽤v 表⽰。

10s 内⽊块动量的改变就是mv 。

根据动量定理I=mv ，10s 末⽊块的速度 s /m m t )f F (m I v 5=-=
两种解法相⽐较，显然利⽤动量定理⽐较简单。

动量定理绕过了加速度的环节，处理和时间有关的⼒和运动的问题时就⽐较⽅便。

4.说明：
（1）动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统。

F
当研究对象为物体系时，物体系总动量的增量等于相应时间内物体系所受的合外⼒的冲量。

所谓物体系总动量的增量是指系统内各物体的动量变化量的⽮量和。

所谓物体系所受的合外⼒的冲量是指系统内各物体所受的⼀切外⼒的冲量的⽮量和，⽽不包括系统内部物体之间的相互作⽤⼒（内⼒）的冲量；这是因为内⼒总是成对出现的，⽽且它们的⼤⼩相等、⽅向相反，其冲量的⽮量和总等于零。

（2）动量定理公式中的F 是研究对象所受的所有外⼒的合⼒，它可以是恒⼒，也可以是变⼒。

当合外⼒为变⼒时，F 应该是合外⼒对作⽤时间的平均值（如果能平均，⽐如⼒随时间均匀变化的情况）。

（3）动量定理公式中的F Δt 是合外⼒的冲量，即外⼒冲量的⽮量和，是使研究对象动量发⽣变化的原因，即冲量是动量变化的原因。

在所研究的物理过程中：
如果各个外⼒的作⽤时间相同，求合外⼒的冲量时，可以先按⽮量合成法则求所有外⼒的合⼒，然后再乘以⼒的作⽤时间；也可以先求每个外⼒在作⽤时间内的冲量，然后再按⽮量合成法则求所有外⼒冲量的⽮量和；如果作⽤在研究对象上的各个⼒的作⽤时间不相同，就只能求每个⼒在相应时间内的冲量，然后再求所有外⼒冲量的⽮量和。

（4）动量定理中mv 2－mv 1是研究对象的动量增量，是过程末态动量与初态动量的差值（⽮量差）。

（5）动量定理中的等号（=），表明合外⼒的冲量与研究对象的动量增量的数值相等，⽅向相同，但绝不能认为合外⼒的冲量就是动量的增量。

合外⼒的冲量是引起研究对象的运动状态改变的外来因素（原因），⽽动量的增量则是研究对象受外⼒冲量后所导致的必然结果（结果）。

（6）I=ΔP 是⽮量式，在应⽤动量定理时，应该遵循⽮量运算的平⾏四边形定则。

所以，对⼀条直线上运动的物体，在应⽤动量定理解题时应先规定正⽅向。

（7）⽜顿定律跟动量定理的关系
根据 F ＝ma 得：ΣF ＝ma t
P t v v m F ??=?-=∑0 即t
P F ??=∑
这是⽜顿第⼆定律的另⼀种表达形式：合外⼒ΣF 等于物体动量的变化率t
P ??。

5.关于应⽤
（1）应⽤动量定理I=Δp 求变⼒的冲量的⽅法
如果物体受到变⼒的作⽤，则不能直接⽤Ft 求变⼒的冲量，⽽应求出该⼒作⽤下物体动量的变化Δp ，等效代换变⼒的冲量
I=Δp 。

（2）应⽤Δp=F ·Δt 求恒⼒作⽤下的曲线运动中物体动量的变化
在曲线运动中，速度⽅向时刻在变化，求动量的变化Δp=p 2－p 1需要应⽤⽮量运算⽅法，⽐较⿇烦。

如果作⽤⼒是恒⼒，可以求出恒⼒的冲量等效代换动量的变化。

如平抛运动中动量的变化问题。

[思考]以初速度v 0平抛出⼀个质量为m 的物体，求抛出后t 秒内物体的动量变化。

答案：Δp=Ft=mgt ，⽅向竖直向下
⼆、应⽤动量定理解题的⼀般步骤
1.明确研究对象和研究过程
研究对象可以是⼀个物体，也可以是⼏个物体组成的系统。

系统内各物体可以是保持相对静⽌的，也可以是相对运动的。

研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某⼀阶段。

2.正确进⾏受⼒分析
只分析研究对象以外的物体施给研究对象的⼒。

所有外⼒的⽮量和为合外⼒。

研究对象内部的相互作⽤⼒（内⼒）会改变系统内某⼀物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内⼒。

如果在所选定的研究过程中的不同阶段中物体的受⼒情况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的⽮量和。

3.规定正⽅向
由于⼒、冲量、速度、动量都是⽮量，在⼀维的情况下，列式前要先规定⼀个正⽅向，和这个⽅向⼀致的⽮量为正，反之为负。

4.写出研究对象的初、末动量和合外⼒的冲量（或各外⼒在各个阶段的冲量的⽮量和）
5.根据动量定理列式求解。

三、常见类型和例题
（⼀）掌握求恒⼒和变⼒冲量的⽅法
恒⼒F 的冲量求法：直接根据I=Ft 求；
变⼒的冲量求法：由动量定理或F-t 图线与横轴所夹的⾯积来求。

[例1]质量为m 的⼩球由⾼为H 倾⾓为θ光滑斜⾯顶端，⽆初速滑到底端过程中，重⼒、弹⼒、合⼒的冲量各是多⼤？
解：⼒的作⽤时间都是g H sin sin g H t 2122θ=θ=
⼒的⼤⼩依次是mg 、mgcos θ和mgsin θ
所以它们的冲量依次是： gH m I gH m I gH m I N G 2,tan 2,sin 2===合θθ
特别注意：该过程中弹⼒虽然不做功，但对物体有冲量。

[例2]⼀个物体同时受到两个⼒F 1、F 2的作⽤，F 1、F 2与时间t 的关系如图所⽰，如果该物体从静⽌开始运动，经过t=10s ，F 1、F 2以及合⼒F 的冲量各是多少？
解：经过t=10s 后,F 1的冲量I 1=10×10/2=50N.S，F 2的冲量I 2=－50N.S,合⼒F 的冲量为0。

本题中因为F 1和F 2⼤⼩都随时间均匀变化，也可以⽤平均⼒的⽅法求冲量。

[例3]⼀质量为100g 的⼩球从0.80m ⾼处⾃由下落到⼀厚软垫上．若从⼩球接触软垫
到⼩球陷⾄最低点经历了0.2s ，则软垫对⼩球的平均作⽤⼒（冲⼒）多⼤？(取 g=10m/s 2，
不计空⽓阻⼒)。

[例4]如果物体所受空⽓阻⼒与速度成正⽐，当以速度v 1竖直
上抛后，⼜以速度v 2返回出发点。

这个过程共⽤了多少时间?
解：如图所⽰，作出上升阶段和下降阶段的v-t 图线。

上升和下
降阶段加速度都是减少的。

图线下⽅的“⾯积”表⽰位移的⼤⼩，即s 1=s 2=h 。

由于阻⼒与速度⼤⼩成正⽐，在图中作出f-t 图线，则图线下⽅
的⾯积⼀定相等，⽽此“⾯积”表⽰上升阶段和下降阶段阻⼒的冲量⼤⼩，
故有I f 1=-I f 2。

（kh dt kv I t f ==?
，h 是物体上升和下降的位移⼤⼩）。

取向下为正⽅向，对全过程由动量定理可得: mgt=m （v 1+v 2），解得t=（v 1+v 2）/g
[例5]跳伞运动员从2000m ⾼处跳下，开始下落过程未打开降落伞，假设初速度为零，所受空⽓阻⼒与下落速度⼤⼩成正⽐，最⼤降落速度为v m =50m/s 。

运动员降落到离地⾯s =200m ⾼处才打开降落伞，在1s 内速度均匀减⼩到v 1=5.0m/s ，然后匀速下落到地⾯，试求运动员在空中运动的时间。

解：整个过程中，先是变加速运动，接着匀减速，最
后匀速运动，作出v —t 图线如图（1）所⽰。

由于第⼀段内作⾮匀变速直线运动，⽤常规⽅法很难
求得这1800m 位移内的运动时间。

考虑动量定理，将第⼀
段的v —t 图按⽐例转化成f —t 图，如图（2）所⽰，则可
以巧妙地求得这段时间。

设变加速下落时间为t 1，利⽤动量定理得：
m f mv I mgt =-1 ， 1s k t v k t kv t f I f ?=??∑=??∑=??∑= ， s 1=1800m
⼜匀速运动时 mg=kv m ，得m v mg k =
代⼊第⼀式得： m m
mv v mgs mgt =-11 ∴s v s g v t m m 4150
1800105011=+=+= 第⼆段1s 内：22/451505s m a -=-= m a v v s m 5.2722222=-= 所以第三段时间:s v s s t 5.345
5.2720023=-=-= ，空中的总时间：s t t t t 5.76321=++= （⼆）掌握求动量及动量变化的⽅法
求动量的变化要⽤平⾏四边形定则或动量定理。

[例6]⼀个质量为m =40g 的乒乓球⾃⾼处落下，以速度v =1m/s 碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速率为v '=0.5m/s 。

求在碰撞过程中，乒乓球动量变化为多少？
解：取竖直向下为正⽅向，乒乓球的初动量为：s m kg s m kg mv p /04.0/104.0?=??==
乒乓球的末动量为： s m kg s m kg v m p /02.0/)5.0(04.0?-=?-?='='
乒乓球动量的变化为： p p p -'=?=s m kg s m kg /06.0/04.002.0?-=?--
负号表⽰p ?的⽅向与所取的正⽅向相反，即竖直向上。

[例7]以初速度v 0平抛出⼀个质量为m 的物体，抛出后t 秒内，物体的动量变化是多少？解：因为合外⼒就是重⼒，所以
Δp=Ft=mgt ，⽅向竖直向下。

[例8]⼀粒钢珠从静⽌状态开始⾃由下落,然后陷⼈泥潭中。

若把在空中下落的过程称为过程Ⅰ，进⼈泥潭直到停⽌的过程称为过程Ⅱ, 则( AC )
A.过程I 中钢珠的动量的改变量等于重⼒的冲量
B.过程Ⅱ中阻⼒的冲量的⼤⼩等于过程I 中重⼒的冲量的⼤⼩
C.I 、Ⅱ两个过程中合外⼒的总冲量等于零
D.过程Ⅱ中钢珠的动量的改变量等于零
（三）应⽤动量定理求⼒
[例9]⼀个质量为m=2kg 的物体,在F 1=8N 的⽔平推⼒作⽤下,从静⽌开始沿⽔平⾯运动了t 1=5s,然后推⼒减⼩为F 2=5N,⽅向不变,物体⼜运动了t 2=4s 后，撤去外⼒,物体再经过t 3=6s 停下来。

求物体在⽔平⾯上所受的摩擦⼒的⼤⼩。

p ?
p ' p
正⽅向
解：以推⼒的⽅向为正⽅向
在物体运动的整个过程中,物体的初动量P 1=0,P 2=O
跟据动量定理有：F 1t 1+F 2t 2-f (t 1+t 2+t 3)=0f =4N
[例10]质量是60kg 的建筑⼯⼈，不慎从⾼空跌下，由于弹性安全带的保护作⽤，最后使⼈悬挂在空中。

已知弹性安全带缓冲时间为1.2s ，安全带长5m.求安全带所受的平均冲⼒
（g=10m ／s 2）。

解：⼈下落为⾃由落体运动，下落到底端
时的速度为：gh v 220= ， s /m gh v 1020==
以⼈为研究对象，在⼈和安全带相互作⽤的过程中，⼈受到重⼒mg 和安全带给的冲⼒ F ，取F ⽅向为正⽅向，由动量定理得：（F-mg ）t=m v —m(-v 0),v =0 , 所以N t
mv mg F 11000=+=（⽅向竖直向下） [例11]“蹦极”是⼀项勇敢者的运动，如图所⽰，某⼈⽤弹性橡⽪绳拴住⾝体⾃⾼空P 处⾃由下落，在空中感受失重的滋味.若此⼈质量为60 kg ，橡⽪绳长20 m ，⼈可看成质点，
g 取10 m/s 2，求：
（1）此⼈从点P 处由静⽌下落⾄橡⽪绳刚伸直（⽆伸长）时，⼈的动量为_______；
（2）若橡⽪绳可相当于⼀根劲度系数为100 N/m 的轻质弹簧，则此⼈从P 处下落到_______m 时具有最⼤速度；
（3）若弹性橡⽪绳的缓冲时间为3 s ，求橡⽪绳受到的平均冲⼒的⼤⼩。

解：（1）⼈从⾼空落下，先在重⼒作⽤下做⾃由落体运动，弹性橡⽪绳拉直后除受到重⼒外还受到橡⽪绳的弹⼒F 作⽤. ⾃由落体运动的时间为t 1=g h 2=10202? s=2 s ⾃由落体运动的末速度为v=gt 1=20 m/s ，此时他的动量为p=mv=1200 kgm/s
（2）当他到达平衡位置时，速度最⼤，则kx=mg ，x=6m
他从P 处下落了26 m.
（3）对⼈从开始下落到速度减为零的全过程，由动量定理得 mg （t 1+t 2）－Ft 2=0 解得F=1000 N ，根据⽜顿第三定律得，橡⽪绳受到的平均冲⼒⼤⼩为1000 N.
（四）求解曲线运动问题
[例12] 如图所⽰，以v o ＝10m ／s 的初速度、与⽔平⽅向成300⾓抛出⼀个质量m ＝
2kg 的⼩球．忽略空⽓阻⼒的作⽤，g 取10m/s 2．求抛出后第2s 末⼩球速度的⼤⼩．
解：⼩球在运动过程中只受到重⼒的作⽤，在⽔平⽅向做匀速运动，在竖直⽅向做匀变速运动，竖直⽅向应⽤动量定理得： F y t=mV y -mV y0
所以 mgt=mV y -(-mV 0.sin300) , 解得V y =gt-V 0.sin300=15m/s.
⽽V x =V 0.cos300=35m/s ,第2s 未⼩球速度⼤⼩为：310220=+=y v v v m/s
注意：动量定理不仅适⽤于物体做直线运动的问题，⽽且也适⽤物体做曲线运动的问题，在求解曲线运动问题中，⼀般以动量定理的分量形式建⽴⽅程，即：
F x t=mV x -mV x0 F y t=mV y -mV y0
[例13]从⾼为H 的平台上，同时⽔平抛出两个物体A 和B ，已知它们的质量m B = 2m A ，抛
P v 0 300
出时的速度v A =2v B ，不计空⽓阻⼒，它们下落过程中动量变化量的⼤⼩分别为Δp A 和Δp B ，则( D )
A.Δp A =Δp B
B.Δp A =2Δp B
C.Δp B =4Δp A
D.Δp B =2Δp A [例14]质量为m 的⼩球⽤长为R 的细绳的⼀端系住，在⽔平光滑的平⾯内绕细绳的另⼀端做匀速圆周运动，速率为v ，求半周期内向⼼⼒的冲量。

解：在半个周期的冲量不等于m 2
2T R v , 因为向⼼⼒是个变⼒（⽅向时刻在变）. 在半个周期的始、末线速度⽅向相反，动量的变化量是2m v ，根据动量定理可知，向⼼⼒在半个周期的冲量⼤⼩也是2m v ，⽅向与半个周期的开始时刻线速度的⽅向相反。

（五）求解流体问题
[例15] 某种⽓体分⼦束由质量m=5.4X10-26
kg ，速度v ＝460m/s 的分⼦组成，各分⼦都向同⼀⽅向运动，垂直地打在某平⾯上后⼜以原速率反向弹回，如分⼦束中每⽴⽅⽶的体积
内有n 0＝1.5X1020个分⼦，求被分⼦束撞击的平⾯所受到的压强。

解：设在△t 时间内射到某平⾯S 上的⽓体的质量为ΔM ，则： ΔM=v Δt ·Sn 0m
取ΔM 为研究对象，受到的合外⼒等于平⾯作⽤到⽓体上的压⼒F
以初速度v ⽅向规定为正⽅向，由动量定理得: -F Δt=-ΔM v -ΔM v
解得平均冲⼒为：F=2v 2n 0Sm 平⾯受到的压强P 为：P=F/S=2v 2n 0m=3.428 Pa
[例16]⾃动称⽶机已被许多粮店⼴泛使⽤。

买者认为：因为⽶落到容器中时有向下的冲⼒⽽不划算。

卖者认为：当预定⽶的质量数满⾜时，⾃动装置即刻切断⽶流，此刻尚有⼀些⽶仍在空中，这些⽶是多给买者的，因⽽双⽅争执起来，究竟对哪⽅更划算呢？
解：设⽶粒的流量为d （kg/s ），它是恒定的。

⾃动装置能即刻在出⼝处切断⽶流，⽶流在出⼝处速度很⼩可视为零。

若切断⽶流后，盛⽶容器中静⽌的那部分⽶的质量为m 1kg ，空中还在下落的⽶的质量为m 2kg 。

极短时间Δt 内落在静⽌的⽶堆上的⼀部分⽶的质量Δm=dΔt 。

设Δm 落在⽶堆上之前的速度为V ，经过Δt 后静⽌，其受⼒如图所⽰。

取向上为正⽅向，由动量定理得：（F-Δmg ）Δt=0-（-ΔmV ）
即 F=dV+gdΔt
设⽶从⾃动装置出⼝处落到静⽌部分⽶表⾯所⽤的时间为t ，则 V=gt 由空中部分⽶的质量m 2=dt, 可得dV=dgt=m 2g
即F=m 2g+Δmg.，根据⽜顿第三定律得F /=F ，称⽶机读数为M=m 1+m 2+Δm
可见，称⽶机读数已包含了静⽌在袋中部分的质量m 1，也包含了尚在空中的下落的⽶流的质量m 2，还包含了刚落⾄⽶堆的⼀⼩部分的质量Δm ，即⾃动称⽶机是准确的，不存在谁划不划算的问题。

[例17]⾼压采煤⽔枪出⽔⼝的截⾯积为S ，⽔的射速为v ，射到煤层上后，⽔速度为零.若⽔的密度为ρ，求⽔对煤层的冲⼒.解：从⽔枪中射出的⽔是连续的，这样对解题极为不便，为使连续的⽔像物体⼀样，我们可以取⼀⼩段时间的⽔进⾏研究。

射到煤层上的⽔，在较短时间速度变为零，煤⼀定对⽔（⽔为研究对象）产⽣了⼒的作⽤，此⼒为变⼒，因此可以由动量定理来求出煤对⽔的平均作⽤⼒，即冲⼒，由⽜顿第三定律就知道⽔对煤的作⽤⼒。

由⽔流算出Δt 内⽔的质量，以Δt 时间内的⽔为研究对象，由动量定理列⽅程，求煤对⽔的⼒，再由⽜顿第三定律求⽔对煤的⼒。

设在Δt 时间内，从⽔枪射出的⽔的质量为Δm ，则Δm ＝ρSv Δ
t. F mg
以Δm 为研究对象，它在Δt 时间内动量变化为：Δp=Δm （0－v ）=－ρSv 2Δt
设F N 为⽔对煤层的冲⼒，F N ′为煤层对⽔的反冲⼒，以F N ′的⽅向为正⽅向，
对⽔利⽤动量定理（忽略⽔的重⼒）得：F N ′Δt=Δp ＝－ρv 2S Δt ，解得：F N ′=－
ρSv 2
根据⽜顿第三定律知F N =－F N ′，所以F N =ρSv 2 [例18] 如图所⽰，光⼦具有动量，每个光⼦的动量p=mv=h/λ（式中h 为普朗克
常量，λ为光⼦的波长）.当光照射到物体表⾯上时，不论光被物体吸收还是被物体表⾯反射，光⼦的动量都会发⽣改变，因⽽对物体表⾯产⽣⼀种压⼒，称为光压。

下图是列别捷夫设计的⽤来测量光压的仪器。

图中两个圆⽚中，a 是涂⿊的，⽽b 是光亮的。

当光线照射到a 上时，可以认为光⼦全部被吸收，⽽当光线照射到b 上时，可以认为光⼦全部被反射。

分别⽤光线照射在a 或b 上，由于光压的作⽤，都可以引起悬丝的旋转，旋转的⾓度可以借助于和悬丝⼀起旋转的⼩平⾯镜M 进⾏观察。

（1）如果⽤⼀束强光同时照射a 、b 两个圆⽚，光线的⼊射⽅向跟圆⽚表⾯垂直，悬丝将向哪个⽅向偏转？为什么？
（2）已知a 、b 两个圆⽚的半径都为r ，两圆⼼间的距离是d 。

现⽤频率为ν的激光束同时垂直照射a 、b 两个圆⽚，单位时间内垂直于光传播⽅向的单位⾯积上通过的光⼦个数为n ,光速为c ,求由于光压⽽产⽣的作⽤⼒分别为多⼤？
解：（1）a 向外b 向⾥转动（从上向下看逆时针转动）
对时间t 内照到圆⽚上的光⼦⽤动量定理：Ft=(ntS)Δmv ，
照到a 上的每个光⼦的动量变化是mv ，⽽照到b 上的每个光⼦的动量变化是2mv ；因此光⼦对b 的光压⼤.
（2）分别对单位时间内照射到a 、b 上的光⼦⽤动量定理，有：
F a =n πr 2h ν/c ，F b =n πr 22h ν/c
[例19]科学家设想在未来的航天事业中⽤太阳帆来加速星际宇宙飞船．按照近代光的粒⼦说，光由光⼦组成，飞船在太空中张开太阳帆，使太阳光垂直射到太阳帆上，太阳帆⾯积为S ，太阳帆对光的反射率为100﹪，设太阳帆上每单位⾯积每秒到达n 个光⼦，每个光⼦的动量为p ，如飞船总质量为m ，求飞船加速度的表达式。

若太阳帆⾯对阳光⼀⾯是⿊⾊的，情况⼜如何？
解：1[()]2F t n P P st F nPs ma ?=--==∴m nPs a 21=； m
nPs a =2 （六）对系统应⽤动量定理
系统的动量定理就是系统所受合外⼒的冲量等于系统总动量的变化。

若将系统受到的每⼀个外⼒，系统内每⼀个物体的速度均沿坐标系x 轴和y 轴分解，则系统的动量定理的数学表达式如下：
+?+?=++x x x x V m V m I I 221121 ， +?+?=++y y y y V m V m I I 221121
对于不需求解系统内部各物体间相互作⽤⼒的问题，采⽤系统的动量定理求解将会使求解简单、过程明确。

[例20]如图所⽰，质量为M 的汽车带着质量为m 的拖车在平直公路上以加速度a 匀加速前进，当速度为V 0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。

若汽车的牵引⼒⼀直未变，车与路⾯的动摩擦因数为µ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多⼤？ a b M m V 0 V /
M
解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外⼒始终为(M+m)a
初状态动量为（M+m ）V 0 ,末状态拖车的动量为零,该过程经历时间为t=V 0/µg
全过程对系统⽤动量定理可得
：
()()()()0/0/0,V Mg g a m M V V m M MV g V a m M µµµ++=∴+-=?+ 注意：这种⽅法只能⽤在拖车停下之前。

因为拖车停下后，系统受的合外⼒中少了拖车受到的摩擦⼒，因此合外⼒⼤⼩不再是(M+m)a
[例21]如图所⽰，矩形盒B 的质量为M ，放在⽔平⾯上，盒内有⼀质量为m 的物体A ，A 与B 、B 与地⾯间的动摩擦因数分别µ1、µ2，开始时⼆者均静⽌。

现瞬间使物体A 获取⼀向右且与矩形盒B 左、右侧壁垂直的⽔平速度V 0，以后物体A 在盒B 的左右壁碰撞时，B 始终向右运动。

当A 与B 最后⼀次碰撞后，B 停⽌运动，A 则继续向右滑⾏距离S 后也停⽌运动，求盒B 运动的时间t 。

解：以物体A 、盒B 组成的系统为研究对象，它们在⽔平⽅向所受的外⼒就是地⾯盒B 的滑动摩擦⼒，⽽A 与B 间的摩擦⼒、A 与B 碰撞时的相互作⽤⼒均是内⼒。

设B 停⽌运动时A 的速度为V ，且假设向右为正⽅向，由系统的动量定理得：-
µ2(M+m)gt=mV-mV 0 当B 停⽌运动后，对A 有运动规律和⽜顿运动定理得：V 2=2aS , a=µ1g
由以上⼆式联⽴解得： g )m M (gS m mV t +µµ-=2102
[例22]如图所⽰，质量为m=1kg 的⼩⽊块放在质量为M=9kg 的长⽊板的左端，⼆者以V 0=1m/s 的共同速度沿着光滑⽔平⾯向右匀速运动。

m 与M 之间的动摩擦因数µ=0.1，
g=10m/s 2.(⽊板M ⾜够长)。

（1）若对M 施加⼀与速度⽅向相反的⽔平恒⼒F ，且F=5N ，则F 作⽤多长时间可使M 、m 的速度最终都变为零？克服F 做多少功？
（2）若第（1）问中施加的恒⼒⼤⼩变为20N,⽅向不变，则F 作⽤了⼀段时
间撤消后，M 、m 的速度最终都变为零。

求F 作⽤的时间是多少？克服F 做多少功？
m 在M 上滑⾏的距离L 是多少？
解：（1）当F=5N 的⼒作⽤在M 上时，⾸先要判断M 与m 之间有⽆相对滑动。

若M 、m
之间⽆相对滑动，由F=(M+m)a 可知，⼆者共同运动的加速度a=F/(M+m)=0.5m/s 2,M 与m 之
间的静摩擦⼒可使m 产⽣的最⼤加速度a m =µg=1m/s 2>a,所以当F=5N 的⼒作⽤在M 上时，M
与m ⽆相对滑动。

对于m 、M 组成的系统，由系统的动量定理得：－Ft=0－(M+m)V 0,得：
s F
V )m M (t 20=+= 根据动能定理得克服F 做的功W 1=J V M m 5)(2
120=+ （2）当F=20N 的⼒作⽤在M 上时，若M 、m 之间⽆相对滑动，由F=(M+m)a 可知，⼆者
共同运动的加速度a=F/(M+m)=2m/s 2,M 与m 之间的静摩擦⼒可使m 产⽣的最⼤加速度a m =µ
g=1m/s 2
对于m 、M 组成的系统，由系统的动量定理得：－Ft /=0－(M+m)V 0,得：
s .F
V )m M (t /500=+=
由于M 与m 之间存在相对滑动，所以对M 根据⽜顿第⼆定律得：
1Ma mg F =-µ，解得21/9
19s m M mg F a =-=µ M m V 0
B V
撤去F 时M 的速度：s m t a V V /18
1/101-=-=。

此时M 的位移为：m a V V S 721722120=-= 根据动能定理得克服F 做的功W 1=FS=4.7J
对于M 、m 组成的整体，由功能关系可知：20)(2
1V m M mgL FS +=+µ 所以，m mgL FS V m M L 3.0)(2120=-+=µ [例23]如图所⽰，光滑⽔平⾯上静⽌放着长L=2.0m 质量
M=3.0kg 的⽊板，⼀个质量m=1.0kg 的⼩物体（可视为质点）放在离⽊板右端a=0.4m 处，m 和M 之间的动摩擦因数µ=0.1.今对⽊板施加向右的拉⼒F=10.0N,为使⽊板⾃物体下⽅分离出来，此拉⼒作⽤时间不得少于多长？
解：设M 、m 最终以共同速度V 0⼀起匀速运动，拉⼒F 作⽤的最短时间为t,则对M 、m 组成的系统由系统动量定理得：Ft= (M+m)V 0
对系统全过程运⽤能量守恒定律得： 202)(2
1)(21.V M m a L mg t a F M ++-=µ ⽽⽊板在拉⼒F 作⽤下的加速度2/3s m M
mg F a M =-=µ,可解得t=0.8s [例24]如图所⽰，P 为位于某⼀⾼度处的质量为m 的物块，B 为位于⽔平地⾯上的质量为M 的特殊长平板，m/M=1/10，平板与地⾯间的动摩擦因数为µ=0.02，在板的上表⾯上⽅，存在⼀定厚度的“相互作⽤区域”，如图中画虚线的部分.当物块P 进⼊相互作⽤区时，B 便有竖直向上的恒⼒f 作⽤于P ，f =amg ，a=51，f 对P 的作⽤使P 刚好不与B 的上表⾯接触；在⽔平⽅向P 、B 之间没有相互作⽤⼒.已知物块P 开始⾃由落下的时刻，板B 向右的速度为v 0=10.0 m/s. P 从开始下落到刚到达相互作⽤区所经历的时间为T 0=2.00 s.设B 板⾜够长，
保证物块P 总能落⼊B 板上⽅的相互作⽤区，取重⼒加速度g=9.80 m/s 2.问：当B 开始停⽌
运动那⼀时刻，P 已经回到过初始位置⼏次?
解：由于P 刚好不与B 的上表⾯接触，P 下落时先做⾃由落体运动，它进⼊相互作⽤区后做匀减速运动，速度减⼩到零再返回，返回时与下落时受⼒情况完全相同，所以，P 刚好能回到初始位置.P 从开始下落到返回原处的时间内，设恒⼒f 作⽤的时间为Δt ，则重⼒作⽤时间为：2T 0+Δt ，P 在该过程所受合外⼒总冲量为零，即 f Δt －mg （2T 0+Δt ）=0
由f =amg 得：Δt=0.08 s
恒⼒f 作⽤的时间⽊板受摩擦⼒的⼤⼩为 f '=µ（Mg+amg ）
P 不在相互作⽤区的时间内⽊板受摩擦⼒的⼤⼩为f 0=µMg
对⽊板应⽤动量定理 f 0·2T 0+f '·Δt=M ·Δv ，即µMg ·2T 0+µ（Mg+amg ）·Δt=M ·Δ
v
得：Δv=0.88 m/s ， n=
v
v ?0=11.38 取整数为：N=11次. 说明：（1）分析该问题时要抓住过程周期性的特点（2）注意物块P 从开始下落到返回原⾼度⼀周期内，物块P 在相互作⽤区的时间和不在相互作⽤区的时间内，B 板的受⼒情况不同，决定了它的运动的情况不同。

（七）⽤动量定理解释现象
⽤动量定理解释的现象⼀般可分为两类： M F
a m P 相互作⽤
区
（1）物体的动量变化⼀定时：
⼒的作⽤时间越短，⼒就越⼤；时间越长，⼒就越⼩——缓冲现象通过延长动量变化时间减⼩作⽤⼒，这就是杂技演员、⾼空作业的⼯⼈、⾼速⾏驶的驾驶员和前排乘客要扣安全带的道理。

（2）作⽤⼒⼀定时：
⼒的作⽤时间越长，动量变化越⼤；⼒的作⽤时间越短，动量变化越⼩。

分析问题时，要把量的变化搞清楚。

[例25]缓冲现象应⽤
（1）在“跳⾼”和“跳远”的⽐赛中，运动员为什么要落在沙坑中?
（2）“跳伞”运动员着地时，为什么要有“团⾝”动作?
（3）在球类项⽬的体育课上，传球和接球时为什么要有缓冲动作?
[例26]鸡蛋从同⼀⾼度⾃由下落，第⼀次落在地板上，鸡蛋被打破；第⼆次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。

这是为什么？解：两次碰地（或碰塑料垫）瞬间鸡蛋的初速度相同，⽽末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变化相同。

根据Ft=Δp ，第⼀次与地板作⽤时的接触时间短，作⽤⼒⼤，所以鸡蛋被打破；第⼆次与泡沫塑料垫作⽤的接触时间长，作⽤⼒⼩，所以鸡蛋没有被打破。

[例27]某同学要把压在⽊块下的纸抽出来。

第⼀次他将纸迅速抽出，⽊块⼏乎不动；第⼆次他将纸较慢地抽出，⽊块反⽽被拉动了。

这是为什么？
解：物体动量的改变不是取决于合⼒的⼤⼩，⽽是取决于合⼒冲量的⼤⼩。

在⽔平⽅向上，第⼀次⽊块受到的是滑动摩擦⼒，⼀般来说⼤于第⼆次受到的
静摩擦⼒；但第⼀次⼒的作⽤时间极短，摩擦⼒的冲量⼩，因此⽊块没有明显
的动量变化，⼏乎不动。

第⼆次摩擦⼒虽然较⼩，但它的作⽤时间长，摩擦⼒的冲量反⽽⼤，因此⽊块会有明显的动量变化。

[例28]如图所⽰，重球系于线DC 下端，重球下再系⼀根同样的线BA ，下⾯说法中正确的是（ A ）
A ．在线的A 端慢慢增加拉⼒，结果CD 线拉断
B ．在线的A 端慢慢增加拉⼒，结果AB 线拉断
C ．在线的A 端突然猛⼒⼀拉，结果AB 线拉断
D ．在线的A 端突然猛⼒⼀拉，结果CD 线拉断
[例29]两物体质量之⽐为m 1∶m 2=4∶1，它们以⼀定的初速度沿⽔平⾯在摩擦⼒作⽤下做减速滑⾏到停下来的过程中
（1）若两物体的初动量相同，所受的摩擦⼒相同，则它们的滑⾏时间之⽐为_1：1__；
（2）若两物体的初动量相同，与⽔平⾯间的动摩擦因数相同，则它们的滑⾏时间之⽐为_1：4__；
（3）若两物体的初速度相同，所受的摩擦⼒相同，则它们的滑⾏时间之⽐为_4：1__；
（4）若两物体的初速度相同，与⽔平⾯间的动摩擦因数相同，则它们的滑⾏时间之⽐为_1：1__。

[例30] 如图所⽰，质量为m 的⼩球被长为L 的轻绳拴住，轻绳的⼀端固定在O 点，将⼩球拉到绳⼦拉直并与⽔平⾯成θ⾓的位置上，将⼩球由静⽌释放，则⼩球经过最低点时的即时速度是多⼤？分析解答：22
12mv sin mgL =θθ=c o s v v //．
F
2221121v m )sin (mgL v //'=θ-+ 解得)sin (sin gL v 1223+θ-θ=
' [思考]绳⼦绷直的瞬间，绳⼦拉⼒的冲量的⼤⼩I T =mv ⊥=mvsin θ。