高中数学练习题 简单几何体的表面积和体积

9-2简单几何体的表面积和体积

基础巩固强化

1.(文)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

A ．πa 2

B.73πa 2

C.113πa 2 D ．5πa 2

[答案] B [解析]

三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O 1、O 2的连线的中点O 处，连接O 1B 、O 1O 、OB ，其中OB 即为球的半径R ，由题意知：O 1B ＝23×3a 2＝3a 3所以半径R 2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝

⎛⎭

⎪⎫3a 32

＝7a 2

12

， 所以球的表面积是S ＝4πR 2＝7πa

23

，故选B.

(理)(2012·昆明第一中学模拟)侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝1，BC ＝3，若球O 的体积为2053π，则这个直三棱柱的体

积等于( )

A ．1 B. 2 C ．2 D. 3

[答案] D

[解析] 设球O 的半径为R ，则4πR 33＝205π

3，∴R ＝5，设△

ABC 外接圆半径为r ，BC 边上的高为h ，则h ＝12

－(32)2＝12

，(h

－r )2

＋(32

)2＝r 2

，

∴r ＝1；设棱柱的高为H ，则R 2＝r 2＋(H

2)2，

∴H ＝4，∴V 棱柱＝12×3×1

2

×4＝ 3.

2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A ．2

B ．1 C.2

3 D.13

[答案] B

[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为V ＝1

2

×2×1×2＝1.

3．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水

平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为()

A．29cm B．30cm C．32cm D．48cm

[答案] A

[解析]如图(2)，设下面圆柱高度为H，则上面小圆柱内液面高度20－H，又设余下部分为h，则图(3)中，下面圆柱高度为h＋20－H，故上面圆柱液面高度为28－(h＋20－H)＝H＋8－h，由两圆柱内

液体体积相等得

9πH＋π(20－H)＝π(h＋20－H)＋9π(H＋8－h)，

∴h＝9，几何体总高度为20＋9＝29cm.

[点评]抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，本题中若设几何体的总高度为H，由几何体的总容积一定，内装液体的体积一定可得：π×32×(H－28)＝π×12×(H－20)，∴H＝29(cm)，解题过程就简捷多了．

4.(2012·山西高考联合模拟)一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为()

A．12个B．13个

C．14个D．18个

[答案] B

[解析]由正视图知该几何体有三列，左右两排都存在2层的情形，中间一排，只有一层，由侧视图知，该几何体有三行，前后两排都存在2层的情形，中间一排只有一层，因此此几何体最多可由13

个小正方体组成，你能求出最少可由多少个小正方体构成吗？

5．(文)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π

3

，那么这个三棱柱的体积是( )

A ．963

B ．483

C ．243

D ．16 3

[答案] B

[解析] 已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆等于球的大圆．设底面正三角形的边长为a ，球的半径为R ，则a ＝23R ，又43πR 3＝32π3，∴R ＝2，a ＝43，于是V ＝3

4

a 2·2R ＝48 3.

(理)已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于( )

A ．4π

B ．3π

C ．2π

D ．π [答案] A [解析]

∵AB ⊥BC ，∴AC 为截面圆的直径，∴AC 中点为截面圆的圆心． 设D 为AC 中点，连OD ，则OD ⊥平面ABC ， ∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ∥OD .

连SC ，则SC ＝SA 2＋AC 2＝12＋(3)2＝2. 又SB ＝2，BC ＝2，∵SC 2＝SB 2＋BC 2，

∴∠SBC ＝90°，∵∠SAC ＝90°，∴SC 为球O 的直径， ∵2R ＝2，故R ＝1，∴S 球＝4πR 2＝4π，选A.

6．(2012·新课标全国，7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )

A ．6

B ．9

C ．12

D ．18 [答案] B

[解析] 由三视图知，该几何体是一个三棱锥，由俯视图知三棱锥的底面是等腰三角形，底边长为6，底边上的高为3，面积S ＝

12×6×3＝9，由正视图和侧视图可知棱锥的高为3，∴体积V ＝1

3×9×3

＝9.

7.(2011·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．