三元一次方程组(课件)-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课堂(苏科版)

由④×5+⑤得：33x=33，解得：x=1，
将x=1代入④得：5-y=7，解得：y=-2，
=
∴原方程组的解为 = − .
= −
02
知识精讲
消元法
【消元法解三元一次方程组的一般步骤】
（1）代入/加减消元：利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到关于
另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）求值：解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；
且方程组中有两个或两个以上的方程（一般情况下，是三个方程）
，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
− + =
+ − =
eg：
+ + = −
【命名解读】
①三元：共含有三个未知数；
②一次：每个方程中含未知数的项的次数都是1．
02
知识精讲
知识精讲
三元一次方程组
02
知识精讲
知识精讲



+ + = ⋯⋯①


Q2-2：解方程组： + + = ⋯ ⋯ ②
+

+

= ⋯⋯③
【分析】未知数的系数轮换，可直接将三式相加：






由①+②+③得： x+ y+ z=10，整理得：x+y+z=4……④，

由④-①得： x=2，解得：x=4，
Q2-1：解方程组： + = ⋯ ⋯ ②
+ = ⋯⋯③
【分析】未知数的系数轮换，可直接将三式相加：
由①+②+③得：2x+2y+2z=10，
整理得：x+y+z=5……④，
由④-①得：z=4，
由④-②得：x=-1，
由④-③得：y=2，
= −
∴原方程组的解为 = .
=
由④-②得：x=1.5k，
由④-③得：y=0.5k，
= −
∴原方程组的解为 = − .
= −
课后总结
【三元一次方程组的定义】
方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且方程组中有两个或
例2-2、解方程组： − + = ⋯ ⋯ ②
− + − = − ⋯ ⋯ ③
此题可将(x+z)当作
整体，直接加减消
元求出y
【解答】以消去z为例
由①+③得：3y=3，解得：y=1，
由②+③得：x+y=2……④，
=
将
代入①得：1+1+z=4，
=
解得：z=2，
将y=1代入④得：x+1=2,
∴a-2b-3c=6-18-36=-48.
【解轮换式三元一次方程组】
+ = − ⋯ ⋯ ①
例4-1：解方程组： + = ⋯ ⋯ ②
+ = ⋯⋯③
【解答】
由①+②+③得：2x+2y+2z=12，
整理得：x+y+z=6……④，
由④-①得：z=7，
由④-②得：x=2，
由④-③得：y=-3，
=
【消元法解三元一次方程组】
+ + = ⋯ ⋯ ①
例1-1、解方程组： + + = ⋯ ⋯ ②
+ − = ⋯ ⋯ ③
【解答】以消去z为例
由①+③得：5x+6y=17……④，
由③×2+②得：5x+9y=23……⑤，
+ = ⋯ ⋯ ④


由①-④得：3x=-10，解得：x=- ，

由②-④得：3y=7，解得：y= ，

由③-④得：3z=12，解得：z=4，
=
=
.
【两种特殊类型的三元一次方程组的综合】
+ + +
= = ，且2x+4y-6z=120，求x、y、z的值．



例5：已知
+ = ⋯ ⋯ ①
苏科版七年级下册第10章二元一次方程组
10.4 三元一次方程组
Linear equation with three unknowns
教学目标
01
理解三元一次方程组的概念以及三元一次方程组需要满足的3
个条件
02
03
掌握消元法解三元一次方程组的一般步骤
掌握特殊类型的三元一次方程组的解法
三元一次方程组
知识精讲
知识精讲
+ + = ⋯ ⋯ ①
Q1：如何解三元一次方程组： + = ⋯ ⋯ ②
= + ⋯ ⋯ ③
【回顾】解二元一次方程组的关键是什么？
二元一次方程组
消元法
（先消去一个元）
以此类推~
一元一次方程
消元法（先消去一个元）
三元一次方程组
【结论】解三元一次方程组的关键也是消元法
=
由①×2-②得：11z=22，
将
解得：z=2，
解得：x=-1，
由①-③×2得：7y+2z=25……④，
将z=2代入④得：7y+4=25,
解得：y=3，
= −
∴原方程组的解为 = .
=
解特殊类型的
三元一次方程组
02
含比例三元一次方程组
知识精讲
知识精讲
Q1-1：解方程组：


=
∴原方程组的解为 = − .
=
+ + = − ⋯ ⋯ ①
例4-2：解方程组： + + = ⋯ ⋯ ②
+ + = ⋯ ⋯ ③
【解答】
由①+②+③得：6x+6y+6z=18，




=−
整理得：x+y+z=3……④，
∴原方程组的解为
及其解法
01
知识精讲
情境引入
Q：足球比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某
足球队赛了22场得47分，且胜的场数比负的场数的4倍还多2．该球队胜、
平、负各多少场？
【解答】
设该球队胜x场、平y场、负z场，可以得到关于x、y、z的三个方程：
x+y+z=22
3x+y=47
x=4z+2
01
代入2x-y+2z=27得：4k-3k+8k=27，
解得：k=3，
=
∴原方程组的解为 = .
=
+ + +
例3-2：已知 = = ，且x+y+z=102，求x的值．



+ + +
【解答】设 = = =k，



则x=3k-4，y=4k-6，z=5k-8，
，
− = ⋯ ⋯ ④
解得：y=5，
将③代入④得：2(4z+2)-z=25，
联立③、④得：
解得：z=3，
将z=3代入③得：x=14，
=
∴原方程组的解为 = .
=
02
知识精讲
知识精讲
− + = ⋯ ⋯ ①
Q2：解方程组：
+ − = ⋯ ⋯ ②
+ + = ⋯ ⋯ ③
此题可将(b+c)当
作整体，直接加减
消元求出a
【解答】以消去c为例
=
代入①得：1+2+c=6，
=
由①+②得：2a=2，解得：a=1，
将
由②+③得：3a+2b=7……④,
解得：c=3，
将a=1代入④得：3+2b=7,
解得：b=2，
=
∴原方程组的解为 = .
+ − = − ⋯ ⋯ ③
【解答】以消去z为例
由①+②得：x+5y=-4……④，
由②×2+③得：-8x+5y=-22……⑤，
+ = − ⋯ ⋯ ④
联立④、⑤得：
，
− + = − ⋯ ⋯ ⑤
由④-⑤得：9x=18，解得：x=2，

将x=2代入④得：2+5y=-4，解得：y=- ，
+ + +
【解答】设 = = =k，则 + = ⋯ ⋯ ② ，



+ = ⋯ ⋯ ③
由①+②+③得：2x+2y+2z=9k，
代入2x+4y-6z=120得：3k+2k-15k=120，
整理得：x+y+z=4.5k……④，
解得：k=-12，
由④-①得：z=2.5k，
Q1-2：解方程组：
− + =
【解答】含比例式，可用设k法
∵a：b：c=3：4：5，
∴可以假设a=3k，b=4k，c=5k，
∵4a-5b+3c=7，
∴12k-20k+15k=7，
∴k=1，
=
∴原方程组的解为 = .
=
02
轮换式三元一次方程组
知识精讲
知识精讲
+ = ⋯⋯①


= =


− + =
【分析】含比例式，可用设k法


设 = = =k，则a=3k，b=4k，c=5k，
代入2a-3b+c=6得：6k-12k+5k=6，
解得：k=-6，
=
∴原方程组的解为 = − .
= −
02
知识精讲
知识精讲
: : = : :

=

将 = − 代入①得：12- -z=3，



解得：z= ，

=
ห้องสมุดไป่ตู้

=
−
∴原方程组的解为
.

=

+ + = ⋯⋯①
例2-1、解方程组： − + = − ⋯ ⋯ ②
+ + = − ⋯ ⋯ ③
此题可将(x+z)当作
整体，直接加减消
【三元一次方程组需要满足的3个条件】
①方程组中的每个方程都是整式方程；
②方程组中共含有三个未知数；
③每个方程都是一次方程．
【注意点】
方程组中的每个方程都是一次方程，但不一定都是三元一次方程，
方程组中共计含有三个未知数即可
+ + =
=
eg：
也是三元一次方程组
=
02
联立④、⑤得：
，
+ = ⋯ ⋯ ⑤
=
将
代入①得：3+8+z=14，
=
解得：z=3，
=
由⑤-④得：3y=6，解得：y=2，
∴原方程组的解为 = .
=
将y=2代入④得：5x+12=17，解得：x=1，
+ − = ⋯ ⋯ ①
例1-2、解方程组： − + = − ⋯ ⋯ ②
02
知识精讲
知识精讲
+ + = ⋯ ⋯ ①
Q1：如何解三元一次方程组： + = ⋯ ⋯ ②
= + ⋯ ⋯ ③
【分析】选择一个未知数去消元——以消去y为例
由②-①得：2x-z=25……④，
将
=
代入①得：14+y+3=22，
=
= + ⋯ ⋯ ③
解得：x=1，
=
∴原方程组的解为 = .
=
+ + = ⋯ ⋯ ①
例2-3、解方程组： + − = ⋯ ⋯ ②
− + = − ⋯ ⋯ ③
【解答】以消去x为例
此题可将(2x+3y)
当作整体，直接加
减消元求出z
=
代入③得：x-6+2=-5，
元求出y
【解答】以消去x为例
=
代入①得：x+1-2=2，
= −
由①-②得：3y=3，解得：y=1，
将
由③-②得：4y+2z=0，
解得：x=3，
整理得：2y+z=0……④，
将y=1代入④得：2+z=0,
解得：z=-2，
=
∴原方程组的解为 = .
= −
+ + = ⋯⋯①
+ + = − ⋯ ⋯ ③
【分析】选择一个未知数去消元——以消去z为例
由①+②得：5x-y=7……④，
由②×2+③得：8x+5y=-2……⑤，
=
将
代入①得：2-2-z=4，
= −
解得：z=-4，
− = ⋯ ⋯ ④
联立④、⑤得：
，
+ = − ⋯ ⋯ ⑤



由④-②得： y=-1，解得：y=-2，

由④-③得： z=1，解得：z=2，

=
∴原方程组的解为 = − .
=
【解含比例三元一次方程组——设k法】
例3-1：解方程组：




= =


− + =


【解答】设 = = =k，则x=2k，y=3k，z=4k，
代入x+y+z=102得：3k-4+4k-6+5k-8=102，
解得：k=10，
∴x=26.
例3-3：已知a：b：c=2：3：4，a+b+c=27，求a-2b-3c的值．
【解答】
∵a：b：c=2：3：4，
∴可以假设a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b+c=27，
∴9k=27，
∴k=3，
∴a=6，b=9，c=12，
知识精讲
情境引入
根据题意：三个条件必须同时满足，因此，我们把这三个方程联立在
一起：
+ + =
+ =
= +
像这样，把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了
一个三元一次方程组.
02
知识精讲
知识精讲
三元一次方程组
【三元一次方程组的定义】
方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并
（3）代回：把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简
单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程，求出第三个未知
数的值；
（4）写解：把求得的x、y、z的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
02
知识精讲
知识精讲
+ + = ⋯⋯①
Q3：解方程组： − − = − ⋯ ⋯ ②