全等三角形证明经典45题及答案

17．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
18．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂
直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ．
19、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

20、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

O E
D C B A F
E D C B A
F
A
F
E D
C
B
A
21、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。

求证：BD⊥AC。

22、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

求证：BF=CF
23、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。

求证：AF=DE。

D
C
B
A
F D
C
B
A
F B
A
24.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.
25．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．
26.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

27．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
D A F
E 654
32
1E D
C
A
D
C
B
A
E
28．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．
29．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：
BE =CD ．
30如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：
（1）AD ⊥EF ；
（2）当有一点G 从点D 向A 运动时，GE ⊥AB 于E ，GF ⊥AC 于F ，此时上面结论是否成立？
31.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？
A
C B D
E
F A
E
B
F
32．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。

求证：MB=MC
33.如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证：
证明：
34．在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
35．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF C
M
F E B
C Ｄ Ｅ F
36．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。

求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

37．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
38．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
39、（10分）如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．
F
C
A
M
N
E
1
2
3
4
40、(10分)已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ． 求证：AB CD ∥．
41、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
42、 (10分)如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.
43、 (10分)如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，求证：AE ＝DE.
A C E D
B A D E
C B F
A B E C
D
.3421D C
B A
44．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
45、如图2，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°．直线DE 经过△ABC 内部，AD ⊥DE 于点D ，BE
⊥DE 于点E ，试猜想线段AD 、BE 、DE 之间满足什么关系？证明你的结论
A B C D E F
图9
17、
证明：
（1）∵DC∥AB
∴∠CDE＝∠AED
∵DE＝DE，DC＝AE
∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点
∴AE＝BE
∴BE＝DC
∵DC∥AB
∴∠DCE＝∠BEC
∵CE＝CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
（2）△EDC以及除△EDC、△EBC、△AED、△EDC外有一边为DC的那个三角形（具体请对照你的图即知）。

（1）证明：∵DC=1/2AB，E为AB的中点，
∴CD=BE=AE．
又∵DC∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE=AD，CE∥AD．
∴∠BEC=∠BAD．
在△BEC和△EAD中，
BE=EA
∠BEC=∠EAD
EC=AD，
∴△BEC≌△EAD（SAS）．
（2）解：与△AED的面积相等的三角形有：△AEC，△ECD，△AED．
故答案为：△AEC，△ECD，△ACD．
18、
证明：延长BA、CE，两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE
19、
证明：∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF，
即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵AD=BC，∠D=∠C ，DE=CF
∴△AED≌△BFC（SAS）．
20、
证明：∵BE∥CF，
∴∠CFM=∠BEM，
在△CFM和△BEM中，
∠CFM=∠BEM，
∠BME=∠CMF
BE=CF
∴△CFM≌△BEM，
∴BM=CM，
∴AM是BC的中线．
21、
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC
22、
23、
24、
解：能．
证明：连接EF
∵AB∥CD，（已知）
∴∠B=∠C（两线平行内错角相等）．
∵M是BC中点
∴BM=CM，
在△BEM和△CFM中，
BE=CF(已知)
∠B=∠C(已证)
BM=CM(中点定义)
∴△BEM≌△CFM（SAS）．
∴CF=BE（对应边相等）．
25、
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）
又∵BE=DF
∴△ABE≌△CDF（SAS）
26、
证明：连接AC
∵AB＝AD，BC＝DC、AC＝AC
∴△ABC≌△ADC （SSS）
∴∠ACB＝∠ACD
∵E是DC的中点，F是BC的中点
∴CE＝DC/2,CF＝BC/2
∴CE＝CF
∴△ACE≌△ACF （SAS）
∴AE＝AF
27、
∵∠1=∠2，∠3=∠4，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（ASA），
∴BC=CD。

∵CE=CE，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠5=∠6
28、
∵AB//DE BC//EF（已知）
∴∠A=∠EDF （同位角相等）
∠BCA=∠EFD（同位角相等）
∵AD=CF（已知）
∴AD+DC=CF+DC即AC=DF
∴:△ABC≌△DEF（角边角）
29、
连接BC
∵BD⊥AC，CE⊥AB
所以∠BDA=∠CEA=90度
∵BA=CA,∠BAD=∠CAE
∴△BAD≌△CAE
∴∠B=∠C
∵∠CBF=∠BCF
在得到BF=CF
又∵∠BEF=∠CDF=90度
∴∠B=∠C
30、
证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，又AD=AD，
∴△ADE≌△ADF（HL）．
∴AE=AF，又∠DAE=∠DAF，
∴AD⊥EF．
（2）成立．（理由同上）
31、
∵∠DAE+∠CAB=90，
∠D+∠DAE=90，
∠B+∠CAB=90
∴∠D=∠CAB，∠B=∠DAE
∵BC=AD
∴△ADE≌△ABC
∴AD=AB=5
32、
∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C
又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形
∴△BEM全等于△CEM
∴MB=MC
33、
本题主要考学生的创新思维能力．自己找条件和结论，自己证明．
由于①②⑤中所给的条件都属于两个全等三角形里的边和角，可任选其中两个当条件，第三个当结论比较简便．
解：已知：AD=BC，AC=BD，
求证：∠DAB=∠CBA．
证明：∵AD=BC，AC=BD，AB=AB，
∴△ADB≌△BCA．
∴∠DAB=∠CBA．
34、
如图（1）所示，
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
又∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°
又∵∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°∴∠BCE=∠CAD
∴在△ADC和△CEB中
{∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=CB ∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴AD=CE，CD=BE
∴DE=CE+CD=AD+BE
如图（2）所示
解：∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠AEB=90°
又∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°
又∵∠CBE+∠BCE=90°
∴∠ACD=∠CBE
在△ACD和△CBE中
｛∠ACD=∠CBE，∠ADC=∠AEB，AC=BC ∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD=EC，CD=EB
∴ED=CE-CD=AD-EB
如图（3）所示
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=90°
又∵∠ACD+∠CAD=90°
∴∠BCE=∠CAD
∴在△ADC和△CEB中
｛∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=BC ∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴AD=CE，CD=EB
∴DE=CD-CE=EB-AD
35、
1）证明; ∵AE⊥AB
∴∠EAB=∠EAC-∠CAB=90°
∵AF⊥AC
∴∠CAF=∠BAF-∠CAB =90°
∴∠EAC=∠BAF
∵AE=AB AF=AC
∴△EAC≌△FAB
∴EC=BF
∠ECA=∠AFB
(2)
∵∠AFC+∠ACF=90°
∴∠AFB+∠BFC+∠FCA=90°
∵∠ECA=∠AFB (已证）
∴∠BFC+∠FCA+∠ECA=90°
∴∠BFC+∠FCE=90°
∴∠FMC=90°
∴EC⊥BF
36、
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
37、
连接BF,CE 得到△ABF和△CDE，四边形BCEF 在△ABF和△CDE中
,AB=DE
∠A=∠D
AF=CD
∴△ABF≡△CDE（边角边）
∴FB=CE
在四边形BCEF中
FB=CE
BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形
即BC‖EF
38、
证明：
在AB上截取AF=AC，连接EF
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠FAE
又∵AE=AE，AF=AC
∴⊿CAE≌⊿FAE（SAS）
∴∠C=∠AFE
∵AC//BD
∴∠C+∠D=180º
∵∠AFE+∠BFE=180º
∴∠BFE=∠D
又∵∠FBE=∠DBE【BE平分∠DBA】
BE=BE
∴⊿FBE≌⊿DBE（AAS）
∴BF=BD
∴AB=AF+BF=AC+BD
39、
证明：∵AD是BC上的中线，
∴BD=DC．
又∵DF=DE（已知），
∠BDE=∠CDF（对顶角相等），
∴△BED≌△CFD（SAS）．
∴∠E=∠CFD（全等三角形的对应角相等）．
∴CF∥BE（内错角相等，两直线平行）．
40、
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠AFB=90°，
∵在Rt△DEC和Rt△BFA中，
DE=BF
AB=CD
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴∠C=∠A，
∴AB∥CD．
41、
∵,∠3=∠4
∴OB=OC
在△AOB和△DOC中
∠1=∠2
OB=OC
∠AOB=∠DOC
△AOB≌△DOC
∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB 在△ACB和△DBC中
AC=DB
,∠3=∠4
BC=CB
△ACB≌△DBC
∴AB=CD
42、
（1）解：CE=DE，CE⊥DE．
理由如下：∵AC⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在△ACE和△BED中，
∵AC=BE
AE=BD
∠A=∠B=90°，
∴△ACE≌△BED（SAS），
∴CE=DE，∠C=∠BED，
∵∠C+∠AEC=90°，
∴∠BED+∠AEC=90°，
∴∠CED=180°-90°=90°，
∴CE⊥DE；
43、
证明：在△ABC和△DCB中，
AB=DC
AC=DB
BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴∠ABC=∠DCB．
在△ABE和△DCE中，
AB=DC
∠ABC=∠DCB
BE=CE
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴AE=DE．
44、
解：作CH⊥AB于H交AD于P，
∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．
又∵BC中点为D，
∴CD=BD．
又∵CH⊥AB，
∴CH=AH=BH．
又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，∴∠PAH=∠PCF．
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，
∴△APH≌△CEH（ASA）．
∴PH=EH，
又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，
∴CP=EB．
在△PDC与△EDB中
PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，∴△PDC≌△EDB（SAS）．
∴∠ADC=∠BDE．
45、
（2）解：AD=BE+DE．
理由如下：
∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥DE于点D，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC=∠BEC=90°，
在△ACD和△CBE中，
∵∠CAD=∠BCE
AC=BC
∠ADC=∠BEC=90°，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵CE=CD+DE，
∴AD=BE+DE．。