全等三角形证明经典45题及答案

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17.(7分)已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC .
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
18.(7分)如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂
直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F . 求证:BD =2CE .
19、(10分)如图:DF=CE ,AD=BC ,∠D=∠C 。

求证:△AED ≌△BFC 。

20、(10分)如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF 。

求证:AM 是△ABC 的中线。

O E
D C B A F
E D C B A
F
A
F
E D
C
B
A
21、(10分)如图:在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。

求证:BD⊥AC。

22、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。

求证:BF=CF
23、(12分)如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。

求证:AF=DE。

D
C
B
A
F D
C
B
A
F B
A
24.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ,如图所示,其中AB ∥CD ,在AB ,CD ,BC 三段路旁各有一只小石凳E ,F ,M ,且BE =CF ,M 在BC 的中点,试说明三只石凳E ,F ,M 恰好在一条直线上.
25.已知:点A 、F 、E 、C 在同一条直线上, AF =CE ,BE ∥DF ,BE =DF .求证:△ABE ≌△CDF .
26.已知:如图所示,AB =AD ,BC =DC ,E 、F 分别是DC 、BC 的中点,求证: AE =AF 。

27.如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.
D A F
E 654
32
1E D
C
A
D
C
B
A
E
28.已知AB ∥DE ,BC ∥EF ,D ,C 在AF 上,且AD =CF ,求证:△ABC ≌△DEF .
29.已知:如图,AB =AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,BD 、CE 相交于点F ,求证:
BE =CD .
30如图,△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F .求证:
(1)AD ⊥EF ;
(2)当有一点G 从点D 向A 运动时,GE ⊥AB 于E ,GF ⊥AC 于F ,此时上面结论是否成立?
31.已知:如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE .若AB = 5 ,求AD 的长?
A
C B D
E
F A
E
B
F
32.如图:AB=AC ,ME ⊥AB ,MF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ,ME=MF 。

求证:MB=MC
33.如图,给出五个等量关系:①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知: 求证:
证明:
34.在△ABC 中,︒=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证: ①ADC ∆≌CEB ∆;②BE AD DE +=;
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
35.如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB ,AF=AC 。

求证:(1)EC=BF ;(2)EC ⊥BF C
M
F E B
C D E F
36.如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。

求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。

37.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
38.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由
39、(10分)如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:BE∥CF.
F
C
A
M
N
E
1
2
3
4
40、(10分)已知:如图,AB =CD ,DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,E ,F 是垂足,DE BF . 求证:AB CD ∥.
41、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB=CD
42、 (10分)如图,已知AC ⊥AB ,DB ⊥AB ,AC =BE ,AE =BD ,试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系,并证明你的结论.
43、 (10分)如图,已知AB =DC ,AC =DB ,BE =CE ,求证:AE =DE.
A C E D
B A D E
C B F
A B E C
D
.3421D C
B A
44.如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB =90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E ,交AD 于点F ,求证:∠ADC =∠BDE .
45、如图2,等腰Rt △ABC 中,∠ACB=90°.直线DE 经过△ABC 内部,AD ⊥DE 于点D ,BE
⊥DE 于点E ,试猜想线段AD 、BE 、DE 之间满足什么关系?证明你的结论
A B C D E F
图9
17、
证明:
(1)∵DC∥AB
∴∠CDE=∠AED
∵DE=DE,DC=AE
∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点
∴AE=BE
∴BE=DC
∵DC∥AB
∴∠DCE=∠BEC
∵CE=CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
(2)△EDC以及除△EDC、△EBC、△AED、△EDC外有一边为DC的那个三角形(具体请对照你的图即知)。

(1)证明:∵DC=1/2AB,E为AB的中点,
∴CD=BE=AE.
又∵DC∥AB,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∴CE=AD,CE∥AD.
∴∠BEC=∠BAD.
在△BEC和△EAD中,
BE=EA
∠BEC=∠EAD
EC=AD,
∴△BEC≌△EAD(SAS).
(2)解:与△AED的面积相等的三角形有:△AEC,△ECD,△AED.
故答案为:△AEC,△ECD,△ACD.
18、
证明:延长BA、CE,两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE
19、
证明:∵DF=CE,
∴DF-EF=CE-EF,
即DE=CF,
在△AED和△BFC中,
∵AD=BC,∠D=∠C ,DE=CF
∴△AED≌△BFC(SAS).
20、
证明:∵BE∥CF,
∴∠CFM=∠BEM,
在△CFM和△BEM中,
∠CFM=∠BEM,
∠BME=∠CMF
BE=CF
∴△CFM≌△BEM,
∴BM=CM,
∴AM是BC的中线.
21、
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDB相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC
22、
23、
24、
解:能.
证明:连接EF
∵AB∥CD,(已知)
∴∠B=∠C(两线平行内错角相等).
∵M是BC中点
∴BM=CM,
在△BEM和△CFM中,
BE=CF(已知)
∠B=∠C(已证)
BM=CM(中点定义)
∴△BEM≌△CFM(SAS).
∴CF=BE(对应边相等).
25、
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等)
又∵BE=DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)
26、
证明:连接AC
∵AB=AD,BC=DC、AC=AC
∴△ABC≌△ADC (SSS)
∴∠ACB=∠ACD
∵E是DC的中点,F是BC的中点
∴CE=DC/2,CF=BC/2
∴CE=CF
∴△ACE≌△ACF (SAS)
∴AE=AF
27、
∵∠1=∠2,∠3=∠4,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(ASA),
∴BC=CD。

∵CE=CE,
∴△DCE≌△BCE,
∴∠5=∠6
28、
∵AB//DE BC//EF(已知)
∴∠A=∠EDF (同位角相等)
∠BCA=∠EFD(同位角相等)
∵AD=CF(已知)
∴AD+DC=CF+DC即AC=DF
∴:△ABC≌△DEF(角边角)
29、
连接BC
∵BD⊥AC,CE⊥AB
所以∠BDA=∠CEA=90度
∵BA=CA,∠BAD=∠CAE
∴△BAD≌△CAE
∴∠B=∠C
∵∠CBF=∠BCF
在得到BF=CF
又∵∠BEF=∠CDF=90度
∴∠B=∠C
30、
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,又AD=AD,
∴△ADE≌△ADF(HL).
∴AE=AF,又∠DAE=∠DAF,
∴AD⊥EF.
(2)成立.(理由同上)
31、
∵∠DAE+∠CAB=90,
∠D+∠DAE=90,
∠B+∠CAB=90
∴∠D=∠CAB,∠B=∠DAE
∵BC=AD
∴△ADE≌△ABC
∴AD=AB=5
32、
∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C
又∵ME=MF,△BEM和△CEM是直角三角形
∴△BEM全等于△CEM
∴MB=MC
33、
本题主要考学生的创新思维能力.自己找条件和结论,自己证明.
由于①②⑤中所给的条件都属于两个全等三角形里的边和角,可任选其中两个当条件,第三个当结论比较简便.
解:已知:AD=BC,AC=BD,
求证:∠DAB=∠CBA.
证明:∵AD=BC,AC=BD,AB=AB,
∴△ADB≌△BCA.
∴∠DAB=∠CBA.
34、
如图(1)所示,
∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
又∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°
又∵∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°∴∠BCE=∠CAD
∴在△ADC和△CEB中
{∠ADC=∠CEB,∠CAD=∠BCE,AC=CB ∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE,CD=BE
∴DE=CE+CD=AD+BE
如图(2)所示
解:∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠AEB=90°
又∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°
又∵∠CBE+∠BCE=90°
∴∠ACD=∠CBE
在△ACD和△CBE中
{∠ACD=∠CBE,∠ADC=∠AEB,AC=BC ∴△ACD≌△CBE(AAS)
∴AD=EC,CD=EB
∴ED=CE-CD=AD-EB
如图(3)所示
∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=90°
又∵∠ACD+∠CAD=90°
∴∠BCE=∠CAD
∴在△ADC和△CEB中
{∠ADC=∠CEB,∠CAD=∠BCE,AC=BC ∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE,CD=EB
∴DE=CD-CE=EB-AD
35、
1)证明; ∵AE⊥AB
∴∠EAB=∠EAC-∠CAB=90°
∵AF⊥AC
∴∠CAF=∠BAF-∠CAB =90°
∴∠EAC=∠BAF
∵AE=AB AF=AC
∴△EAC≌△FAB
∴EC=BF
∠ECA=∠AFB
(2)
∵∠AFC+∠ACF=90°
∴∠AFB+∠BFC+∠FCA=90°
∵∠ECA=∠AFB (已证)
∴∠BFC+∠FCA+∠ECA=90°
∴∠BFC+∠FCE=90°
∴∠FMC=90°
∴EC⊥BF
36、
证明:
(1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
(2)
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
37、
连接BF,CE 得到△ABF和△CDE,四边形BCEF 在△ABF和△CDE中
,AB=DE
∠A=∠D
AF=CD
∴△ABF≡△CDE(边角边)
∴FB=CE
在四边形BCEF中
FB=CE
BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形
即BC‖EF
38、
证明:
在AB上截取AF=AC,连接EF
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠FAE
又∵AE=AE,AF=AC
∴⊿CAE≌⊿FAE(SAS)
∴∠C=∠AFE
∵AC//BD
∴∠C+∠D=180º
∵∠AFE+∠BFE=180º
∴∠BFE=∠D
又∵∠FBE=∠DBE【BE平分∠DBA】
BE=BE
∴⊿FBE≌⊿DBE(AAS)
∴BF=BD
∴AB=AF+BF=AC+BD
39、
证明:∵AD是BC上的中线,
∴BD=DC.
又∵DF=DE(已知),
∠BDE=∠CDF(对顶角相等),
∴△BED≌△CFD(SAS).
∴∠E=∠CFD(全等三角形的对应角相等).
∴CF∥BE(内错角相等,两直线平行).
40、
证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEC=∠AFB=90°,
∵在Rt△DEC和Rt△BFA中,
DE=BF
AB=CD
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),
∴∠C=∠A,
∴AB∥CD.
41、
∵,∠3=∠4
∴OB=OC
在△AOB和△DOC中
∠1=∠2
OB=OC
∠AOB=∠DOC
△AOB≌△DOC
∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB 在△ACB和△DBC中
AC=DB
,∠3=∠4
BC=CB
△ACB≌△DBC
∴AB=CD
42、
(1)解:CE=DE,CE⊥DE.
理由如下:∵AC⊥AB,DB⊥AB,
∴∠A=∠B=90°,
在△ACE和△BED中,
∵AC=BE
AE=BD
∠A=∠B=90°,
∴△ACE≌△BED(SAS),
∴CE=DE,∠C=∠BED,
∵∠C+∠AEC=90°,
∴∠BED+∠AEC=90°,
∴∠CED=180°-90°=90°,
∴CE⊥DE;
43、
证明:在△ABC和△DCB中,
AB=DC
AC=DB
BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SSS).
∴∠ABC=∠DCB.
在△ABE和△DCE中,
AB=DC
∠ABC=∠DCB
BE=CE
∴△ABE≌△DCE(SAS).
∴AE=DE.
44、
解:作CH⊥AB于H交AD于P,
∵在Rt△ABC中,AC=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA.
又∵BC中点为D,
∴CD=BD.
又∵CH⊥AB,
∴CH=AH=BH.
又∵∠PAH+∠APH=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∠APH=∠CPF,∴∠PAH=∠PCF.
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH,AH=CH,∠PHA=∠EHC,
∴△APH≌△CEH(ASA).
∴PH=EH,
又∵PC=CH-PH,BE=BH-HE,
∴CP=EB.
在△PDC与△EDB中
PC=EB,∠PCD=∠EBD,DC=DB,∴△PDC≌△EDB(SAS).
∴∠ADC=∠BDE.
45、
(2)解:AD=BE+DE.
理由如下:
∵等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠ACD+∠BCE=90°,
∵AD⊥DE于点D,
∴∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
∵AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,∴∠ADC=∠BEC=90°,
在△ACD和△CBE中,
∵∠CAD=∠BCE
AC=BC
∠ADC=∠BEC=90°,
∴△ACD≌△CBE(SAS),
∴AD=CE,CD=BE,
∵CE=CD+DE,
∴AD=BE+DE.。

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