上海市十三校高三第一次联考(数学理).doc

上海市十三校高三第一次联考（数学理）
考生注意：
1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上
或答题纸上非规定位置一律无效；
2．答卷前，考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间1。

一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）
1．已知集合B A y y x B x x y y x A 则},0|),{(},2|),{(2
==-=== 。

2．函数)1arccos(2
-=x y 的定义域为 。

3．函数2
)
8
1(+-=x y 的值域是 。

4．函数x x x f cos sin )(+=的单调减区间为 。

5．不等式0)2)(sin |(|<-+x x x 的解集为 。

6．设,4
3),()1(1121612121*=⋅∈+++++=
++n n n S S N n n n S 且 则n 的值是 。

7．已知二次函数[)+∞∈++=,0)(2)(2
的值域为R x c x ax x f ，则)1(f 的最小值为 。

8．设函数R x f 在)(上有定义，下列函数：①|;)(|x f y -=②)(||2
x f x y ⋅=；
③);(x f y --=④)()(x f x f y -+=中偶函数的有 （写出所有正确的序号）
9．已知定义在R 上的函数)(x f ，都有)()2(x f x f -=+成立，设)(n f a n ==，则数列}{n a 中值不同的项最多有 项。

10．用数学归纳法证明：)(2
)
13()()2()1(*N n n n n n n n ∈+=
++++++ 的第二步中，当1+=k n 时等式左边与n=k 时的等式左边的差等于 。

11．已知n n n n n n n n b a b a b a +>+==-+-1,2,2
13
则满足的正整数n 的值为 。

12．从数列)}(2
1{
*
N n n
∈中可以找出无限项构成一个新的等比数列}{n b ，使得该新数列的各项和为71，则此数列}{n b 的通项公式为 。

13．若关于x 的方程]2,2
1
[2)22(log 2
2在区间
=+-x ax 上有解，则实数a 的取值范围为 。

14．已知,0>a 定义在D 上的函数)()(x g x f 和的值域依次是]6,)32([3
++-a a π和 ],)425(,425[422
π++
a a 若存在4
1
|)()(|,,2121<-∈x g x f D x x 使得成立，则a 的取值范围为 。

二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分） 15．“a=1”是“函数(]1,||)(∞--=在区间a x x f 上为减函数”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
16．,90,︒=∠∆PBO POB Rt 中以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于点A ，若弧AB 等分POB ∆的面积，
且α=∠AOB 弧度，则
（ ）
A ．αα=tan
B ．αα2tan =
C ．ααcos 2sin =
D ．ααcos sin 2=
17．设函数)10)(10)(10)(10)(10()(5242322212c x x c x x c x x c x x c x x x f +-+-+-+-+-=
设集合54321*
921,},,{}0)(|{c c c c c N x x x x f x M ≥≥≥≥⊆===设 ，则51c c -为
（ ）
A ．．18
C ．16
D ．14
18．设实数4321,,,a a a a 是一个等差数列，且满足4,3131=<<a a 。

若定义n
a n
b 2
=，给出下列命题：（1）
4321,,,b b b b 是一个等差数列：（2）;21b b <（3）42>b ；（4）324>b ；
（5）.256:42=b b 其中真命题的个数为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
三、解答题（本大题满分78分，共5小题） 19．（本题满分14分）
在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 所对边的长，已知3
1
cos ,3tan ==C B ，
63=b 。

求边AB 的长与ABC ∆的面积。

本题满分14分）
某农村在底共有人口1500人，全年农业生产总值为3000
万元，从起计划内该要的总产值每年增
加50万元，人口每年净增a 人。

设从起的第x 年年底（为第一年，*
N x ∈）该村人均产值为y 万元。

（1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增量不能超过多少人？
21．（本题满分16分） 已知定义在区间]23,
[ππ-上的函数)(x f y =图像关于直线4π=x 对称，当4
π
≥x 时，.s in )(x x f -=
（1）作出)(x f y =的图像； （2）求)(x f y =的解析式；
（3）若关于x 的方程a x f =)(有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有的解的和记为M a ，求M a
的所有可能的值及相应的a 的取值范围。

22．（本题满分16分）
已知函数)0,(1
22
2)(2≠∈--+=
x R x a a x f x x ，其中a 为常数，且.0<a （1）若)(x f 是奇函数，求a 的取值集合A ； （2）当a=-1时，设)(x f 的反函数为)(1
x f
-，且函数)(x g y =的图像与)1(1
+=-x f
y 的图像关于
x y =对称，求)1(g 的取值集合B 。

（3）对于问题（1）（2）中的A 、B ，当},,0|{B a A a a a a ∉∉<∈时，不等式 )4(9102
-<+-x a x x 恒成立，求x 的取值范围。

23．（本题满分18分）
已知函数],[,)(11b a x m kx x f ∈+=当时，)(x f 的值域为],[22b a ，当],[22b a x ∈
时，)(x f 的值域为],[33b a ，依次类推，一般地，当],[11--∈n n b a x 时，)(x f 的值域为
],[n n b a ，其中k 、m 为常数，且.1,011==b a
（1）若k=1，求数列}{},{n n b a 的通项公式；
（2）项m=2，问是否存在常数0>k ，使得数列}{n b 满足?4lim =∞
→n n b 若存在，求k 的值；若不存在，
请说明理由；
（3）若0<k ，设数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为S n ，T n ，求 )()(201021201021S S S T T T +++-+++ 。

参考答案
一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）
1．{（0，0）（2，0）} 2．]2,2[- 3．),0(+∞ 4．)](4
52,4
2[Z k k k ∈+
+π
ππ
π 5．),0(+∞ 6．5 7．4 8．②④ 9．4 10．3k+2
11．2
12．]12,2
3[
13．n
n b )8
1(=
14．（0，1）
二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分） 15．A
16．B
17．C
18．C
三、解答题（本大题满分78分，共5小题） 19．（本题满分14分）
解：在,2
3
sin ,31cos ,3tan ,===
∆B C B ABC 则因为中
3
2
2cos 1sin 2
=
-=C C
…………2分
由正弦定理
2
3
6
3322sin sin =
=c B b C c 得 …………5分
解得c=8，即AB=8。

…………7分
又A+B+C=π，则B C B C B C A sin cos cos sin )sin(sin +=+=……9分
因,6
3
22sin ,21cos +==A B 则 …………11分 .3826sin 2
1
+==
∆A bcs S ABC
…………14分
综上，AB=8，.3826+=∆ABC S
本题满分14分）
解：（1）由题意得，第x 年总产值为（3000+50x ）万元 …………1分 人口数为1500+ax ， …………2分 则,1500503000)(ax
x
x f y ++=
=
…………5分 *
],10,1[N x x ∈∈
…………6分
（2）方法一、由题意得，任取,],10,1[,2121x x x x <∈ 0)
1500)(1500()
3000150050)((15005030001500503000)()(1212112212>++-⨯-=++-++=-ax ax a x x ax x ax x x f x f
恒成立，
…………11分 则,25,3000150050<>⨯a a 得
…………13分 因a 是自然数，则该每年人口的净增量不能超过24分。

…………14分
方法二，由题意得，*
],9,1[,0)()1(N x x x f x f ∈∈>-+恒成立……8分 又ax
x
x a x x f x f ++>++++⇔
>-+500`503000)1(1500)1(5030000)()1(，…………11分
所以,255015003000<⨯<a a 得
…………13分 因a 是自然数，则该每年人口的净增量不能超过24分。

…………14分
21．（本题满分16分）
解：（1）)(x f y =的图像如图所示。

…………4分
（2）任取)(],23,4[2],4
,[x f y x x =∈--∈因函数则
πππ
π
π图像关于直线4
π
=x 对称， 则)2
()(x f x f -=π
…………6分
又当x x x f x f x x f x cos )2
sin(
)2
(
)(,sin )(,4
-=--=-=-=≥
π
π
π
则时……8分
即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧∈-⎪⎭⎫⎢⎣⎡
-∈-=]23,4[,sin 4,,cos )(ππππx x x x x f …………10分
（3）当a=-1时，a x f =)(的两根为0，
;2
,2
π
π
=
a M 则
…………11分
当,4
)(,)22,1(4321x x x x a x f a <<<<=-
-∈π
的四根满足时 由对称性得，;,,04321ππ==+=+a M x x x x 则 …………13分
当3214
)(,22x x x a x f a <=<=-
=π
的三根满足时， 由对称性得，;4
3,2
13π
π
=
=+a M x x 则 …………14分
当.2
,,,)(,1,2221π
==⎥⎦⎤ ⎝⎛-
∈a M x x a x f a 则对称性得两根为时……15分 综上，当;4
322;,)22,1(π
π=-==-
-∈a a M a M a 时当时 当.2
,}1{1,22π=-⎥⎦⎤ ⎝⎛
-
∈a M a 时
…………16分
22．（本题满分16分）
解：（1）由必要条件,0,020)1()1(2
<=--=+-a a a f f 得 所以a=-1，
…………2分
下面 证充分性，当a=-1时，x
x
x f 2121)(-+=，
任取R x x ∈≠,0，
02121121221212121)()(=-++-+=-++-+=
+---x
x
x x x x x x x f x f 恒成立，………4分 由A={-1}。

…………5分
（2）法一，当a=-1时，由,11
log 2121)(2
+-=-+==y y x x f y x
x 得 互换x ，y 得,1
1
log )(2
1
+-=-x x x f …………6分 则2
log )1(2
1
+=+-x x
x f
，
…………7分
从而1
22)(1
--==+x x x g y
…………8分 所以,4)1(-=g …………9分 即B={-4}
…………10分
法二、当a=-1时，由,)1(2
121)(1
得由+=-+=-x f y x f x
x ,1)(),(1-==+y f x y f x
互换x ，y 得1
221)()(1
--=-==+x x x f x g y
…………8分 所以4)1(-=g …………9分 即B={-4}
…………10分
（3）原问题转化为}4,1,0|{,0)910()4()(2
-≠-≠<∈>+---=a a a a a x x a x a g
恒成立，则⎩
⎨⎧≥<-0)0(0
4g x
…………12分
或⎩⎨
⎧>=-0
)0(04g x
…………14分 则x 的取值范围为[，4]。

…………16分
23．（本大题满分18分）
解：（1）因为,)(,],[,)(11为单调增函数时当x f b a x m x x f n n --∈+= 所以其值域为],[11m b m a n n ++--
…………2分 于是)2,(,*
11≥∈+=+=--n N n m b b m a a n n n n
…………4分 又.)1(1,)1(,1,011m n b m n a b a n n -+=-===所以
…………6分
（2）因为为单调增函数时当)(,],[),0()()(11x f b a x k m kx x mf x x f n n --∈>+=+=
所以)2(2,2],,[)(111≥+==++---n kb b m m kb m ka x f n n n n 则因的值域为……8分
法一：假设存在常数0>k ，使得数列2lim lim ,4lim }{1+==-∞
→∞
→∞
→n n n n n n n b k b b b 则满足，得
2
1
,244=
+=k k 则符合。

…………12分
法二：假设存在常数k ＞0，使得数列}{n b 满足.4lim =∞
→n n b
当k=1不符合。

……9分
当)2)(1
2(12)2(2,111≥-+=-+⇔≥+=≠--n k b k k b n kb b k n n n n 时， 则,1
2
)121(1---+
=-k k k b n n
…………11分
当.2
1
,412lim ,10符合得时==-=
<<∞
→k k b k n n …………12分
（3）因为,)(,],[,011为单调减函数时当x f b a x k n n --∈<
所以)(x f 的值域为],[11m ka m kb n n ++--
…………13分 于是)2,(,*
11≥∈+=+=--n N n m ka b m kb a n n n n
…………14分 则)(11----=-n n n n a b k a b
…………15分
又111=-a b
则有⎪
⎩⎪
⎨⎧-≠<+---==-)1,0(,1)(1)1(,k k k
k k i S T i i i
…………16分
进而有
⎪⎩
⎪
⎨⎧-≠<+-+-==+++-+++)1,0(,)1(20112010)1(,2021055)()(22011201021201021k k k k k k S S S T T T
…………18分。