22一阶逻辑公式及解释

（F(2) G(2,2)) （F(3) G(3,2)) (01) (1 1) 0 假命题 2) x( F(f(x)) G(x, f(x)) ) ( F(f(2)) G(2, f(2)) ) ( F(f(3)) G(3, f(3)) ) ( F(3) G(2, 3) ) ( F(2) G(3, 2) ) ( 1 1 ) ( 0 1 ) 1 真命题 例 给定解释：
教学与目的要求： 深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概念及相互之间的关系；记住闭式的性质并
能应用它；对于给定的解释会判断公式的真值，或判定真值不确定（即仍不是命题）。
教学重点、难点: 教学重点：合式公式、一阶逻辑公式的类型，闭式的主要特征 教学难点：一阶逻辑公式的类型，闭式的主要特征
教学内容:
一、本节主要内容
其实，原子公式是由项组成的 n 元谓词. 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式 合式公式 定义 合式公式（简称公式）定义如下：
(1) 原子公式是合式公式. (2) 若 A 是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若 A, B 是合式公式，则(AB), (A B), (AB),
(2) xF(x) (x y G (x,y) xF(x) ) (3) xF(x) (xF(x) y G (y)) (4) (F(x,y) R(x,y)) R(x,y) (5) xy F(x,y) x y F(x,y) 解：解释 I1,个体域为自然数集合 N， F(x,y) : x 等于 y
(AB)也是合式公式 (4) 若 A 是合式公式，则xA, xA 也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串
才是合式公式(谓词公式). 个体变项的自由出现与约束出现 定义 在公式xA 和xA 中，称 x 为指导变元，A 为相 应量词的辖域. 在x 和x 的辖域中，x 的所有出现都 称为约束出现，A 中不是约束出现的其他变项均称 为是自由出现的. 例如, 在公式 x(F(x,y)G(x,z)) 中,
定义 设 A0 是含命题变项 p1, p2, …,pn 的命题公式，
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A1,A2,…,An 是 n 个谓词公式，用 Ai 处处代替 A0 中的 pi (1in) ，所得公式 A 称为 A0 的代换实例. 例如: F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等都是 pq 的换实例， x(F(x)G(x)) 等不是 pq 的代换实例. 定理 命题公式中的重言式的代换实例，在谓词公 式中都是永真式，
实施情况及教学效果分析:
院系部审核意见:
院系部负责人签字 年月 日
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编辑:Dadoes2016
(3) 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i 1
(4) 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1
(5) 量词符号：,
(6) 联结词符号：, , , ,
(7) 括号与逗号：定义 项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项. (2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的 n 元函数，t1,t2,…,tn
A=(F(x,y)G(x,z))为x 的辖域， x 为指导变项, A 中 x 的两次出现均为约束出现， y 与 z 均为自由出现. 闭式: 不含自由出现的个体变项的公式. 例 1：x(F(x) y H(x,y) ) y H(x,y)中， y 为指导变项， 的辖域为 H(x,y)，其中 y 为约束出现的， x 为自 由出现的. 在整个合式公式中， x 为指导变项， 的辖域为(F(x) y H(x,y) )，其中 x 与 y 都是 约束出现的， x 约束出现 2 次， y 约束出现 1 次. 例 2：x y(R(x,y) L(y,z) ) x H(x,y) x y(R(x,y) L(y,z) )中， x,y 都是指导变项，辖域为(R(x,y) L(y,z) )， x 与 y 都是约束 出现的， z 为自由出现的. x H(x,y)中， x 为指导变项， 的辖域为 H(x,y)，其中 x 为约束出现的， y 为自
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授课时间
第四周
第 1 次课
授课章节
2.2 一阶逻辑公式及解释
任课教师 及职称
唐新华 讲师
教学方法 与手段
使用教材和 主要参考书
板书和电子课件结合
课时安排
2 课时
1、教材： 耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2008 2.参考书
左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006
2.2 一阶逻辑公式及解释
字母表
合式公式(简称公式) 个体变项的自由出现和约束出现
解释
永真式（逻辑有效式）
矛盾式（永假式）
可满足式
二、教学内容
字母表
定义 字母表包含下述符号：
(1) 个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1 (2) 个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1
命题公式中的矛盾式的代换实例，在谓词公 式中都是矛盾式. 代换实例(续) 例 2 判断下面公式的类型
(1) xF(x) x F(x) 解：设任意解释 I a)如果存在 a 使得 F(a ) 为假，则xF(x)为假，所以xF(x) x F(x) 为真 b)如果对任意 x 使得 F(x ) 为真，则xF(x)为真，而且x F(x) 也为真，所以xF(x) x F(x) 为真 因此，公式为永真式.
(a) DI＝{2,3}
(b) DI 中特定元素 a=2
(c) DI 上特定函数 f(x) :f(2)=3, f(3)=2
(d) DI 上特定谓词 F(x) :F(2)=0, F(3)=1，
谓词代替
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G(x,y)为 G(i,j)=1, 其中 i,j=2,3 1） x（F(x) G(x,a))
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由出现的 在此公式中， x 为约束出现的，y 为约束出现的，又为自由出现的. z 为自由出现的. 换名规则 将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及对应的指导变项，改成另 一个辖域中未出现过的个体变项符号，公式中的其余部分不变。 例：xF(x) G(x,y)
换名规则：zF(z) G(x,y) 代替规则 将某个自由出现的个体变项及对应的指导变项，改成公式中未出现过的个 体变项符号，处处代替。
此时，前件为真，后件为假 解释 I2,个体域为自然数集合 N， F(x,y) : x 小于等于 y
此时，前件为真，后件为真 因此，公式为非永真式的可满足式
复习思考题、作业题： 判断下面公式的类型
(1) xF(x) x F(x)
下次课预习要点：
山东政法学院教案模版 2.3.1 等值式与前束范式 2.3.2 主要定理 量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分分配等值式 2.3.3 前束范式
代替规则：xF(x) G(z,y)
用处：不存在既是约束出现，又是自由出现的个体变项
公式的解释与分类
给定公式 A=x(F(x)G(x))
成真解释: 个体域 N, F(x): x>2, G(x): x>1
代入得 A=x(x>2x>1)
真命题
成假解释: 个体域 N, F(x): x>1, G(x): x>2
是任意的 n 个项，则(t1, t2, …, tn) 是项. (3) 所有的项都是有限次使用 (1), (2) 得到的.
例：a，b，x，y，f(x,y)=x+y， g(x,y)=x-y 都是项 f(a, g(x,y))=a+ (x-y)是项
其实, 个体常项、变项是项，由它们构成的 n 元函数 和复合函数还是项 原子公式 定义 设 R(x1, x2, …, xn)是任意的 n 元谓词，t1,t2,…, tn 是任意的 n 个项，则称 R(t1, t2, …, tn)是原子公式.
F(x, y) : x y
(c) (d) 谓词 说明下列公式在 I 下的涵义,并讨论真值
公式的分类 永真式（逻辑有效式）：公式在任何解释下都是真的，即无成假赋值 矛盾式（永假式）：公式在任何解释下都是假的，即无成真赋值 可满足式：至少存在一个解释使公式成真
说明： 永真式为可满足式，但反之不真 某些代换实例可判公式类型 代换实例
代入得 A=x(x>1x>2)
假命题
问: xF(x)xF(x) 有成真解释吗？ xF(x)xF(x) 有成假解释吗？
解释 定义 解释 I 由下面 4 部分组成：
(a) 非空个体域 DI (b) DI 中一些特定元素 (c) DI 上特定函数集合 (d) DI 上特定谓词的集合 说明： 1 将公式的个体常项用 I 的特定常项代替，函数和谓词用 I 的特定函数和 2 被解释的公式不一定全部包含解释中的 4 部分. 3 闭式在任何解释下都是命题， 4 不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 例 给定解释 I：
(a) 个体域为自然数集合 DN
(b) DN 中特定元素 a=0
(c) DN 上特定函数 f(x,y)= x+y , g(x,y)= x.y
(d) DN 上特定谓词 F(x,y) 为 x＝y
1） xF(g(x,a), x)) xF(x.0 , x) x(x.0= x) 假命题
2) x y( F(f(x,a),y) F(f(y,a),x) ) x y( F(0+x,y) F(y+0,x) ) x y ( (0+x=y) (y+0=x) )
真命题
3) x y F(f(x,y), g(x,y)) x y F(x+y, x.y) x y (x+y= x.y)假命题
4) F(f(x,y), f(y,z)) F(x+y, y+z) x+y= y+z
例 1 给定解释 I 如下: (a) 个体域 D=N
不是命题
(b) f (x, y) x y, g(x, y) xy