高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算第2课时积、商、幂的对数课

对数及其运算
第2课时积、商、幂对数
课堂导学
三点剖析
一、利用对数运算法那么计算问题
85+lg 2
1; (2)log a n a +log a n a 1+log a n a
1(a>0且a≠1); (3)2log 510+log 50.25;
(4)2log 525+3log 264;
(5)log 2(log 216).
思路分析：要注意灵活运用对数运算法那么,要会正用法那么,也要会逆用法那么,更要会变形用法那么. 解：
85+lg 2
1 =(lg12.5+lg 21)-lg 8
5 =lg(12.5×21)+lg 5
8 =lg(12.5×21×58) =lg10=1.
(2)log a n a +log a n a 1+log a n a
1 =
n 1log a a-nlog a a n
1-log a a =-n 1n n 1-=-n. (3)2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 552
=2.
(4)2log 525+3log 264=2log 552+3log 226
=4log 55+18log 22=4+18=22.
(5)log 2(log 216)=log 2(log 224)
=log 24=log 222=2.
温馨提示
计算时要将式子中真数积、商、幂、方根运用对数运算法那么将它们化为对数和、差、积、商,然后化简求值;另一方面就是将式子中对数和、差、积、商运用对数运算法那么将它们化为真数积、商、幂、方根,然后化简求值.总之,要根据解题具体需要正用及逆用法那么,灵活地运用法那么.
二、对数式条件求值问题
【例2】lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45.
思路分析：运用对数运算法那么变形lg 45,最后变为仅含lg2和lg3式子.
解：lg 45=
21lg45=2
1lg5×9 =21(lg5+lg9)=21lg 210+2
1lg32 =2
1(lg10-lg2)+lg3 =21(1-0.3010)+0.4771=0.8266. 温馨提示
条件求值问题,关键是如何利用条件,条件直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值式子同时变形,找到共同点.
三、对数运算法那么综合应用问题
【例3】(1)化简27
lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg -+++; (2)lgx+lgy=2lg(x-2y),求证:log
y
x 2=4. (1)解法一:先采用“分〞方法. 原式=3
lg 33lg 43lg 213lg 1093lg 543lg --++ ==5
11. 解法二:采用“合〞方法. 原式=2781lg )327
93lg(21532152-⨯⨯⨯⨯==5
11. (2)证明:∵lgx+lgy=2lg(x -2y),
∴lgxy=lg(x -2y)2.
∴xy=(x -2y)2,
即x 2-5xy+4y 2=0.
∴x=4y 或x=y(舍去). ∴y
x =4. ∴log 2
y x =log 24=log 2(2)4=4.
对数式化简两种方法.一是把真数分解质数,然后把对数分成假设干个对数代数和,最后进展化简;二是把同底对数之和合并成一个对数,对真数进展化简.这两种解题思路,便是我们解决对数式化简问题重要方法,在碰到这类问题时,要善于灵活地选用上面所讲方法. 各个击破
类题演练1
计算:(1); (2)21lg 49324
3-lg 8+lg 245. 解析：(1)
= ==12
lg 12lg =1. (2)
21lg 49324
3-lg 8+lg 245 =21(5lg2-2lg7)43-×23lg2+2
1(2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+2
1lg5 =21lg2+21lg5=2
1(lg2+lg5) =21lg10=21. 变式提升1
计算:(1)lg52+
32lg8+lg5lg20+(lg2)2; (2)
解析：(1)lg52+3
2lg8+lg5lg20+(lg2)2 =2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2
=2lg10+(lg5+lg2)2
=2+(lg10)2=3.
(2)
= ==2
1. 类题演练2
lgx=m,lgy=n,求lg x -lg(
10
y )2值. 解析：lg x -lg(10y )2=21lgx-2lg 10
y =21lgx-2(lgy-lg10)=21m-2n+2.
3n =2,求log 38-log 336(用n 表示).
解析：由3n =2,得n=log 32.
∴log 38-log 336=log 323-log 362=3log 32-2log 36=3log 32-2log 32×3
=3log 32-2(log 32+log 33)=log 32-2=n-2.
类题演练3
化简log 248
7+log 21221-log 242. 解法一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法那么,把log 2
487,log 212,log 242拆成假设干个对数代数和,然后再化简.
原式=
21log 2+log 2(3×22)2
1-log 2(7×2×3) =21log 27-21log 23-2log 22+log 23+2log 2221-log 2721-log 222
1-log 23 =21-log 22=21-. 解法二:由于所给对数底数一样,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算. 原式=log 2=log 221=2
1-. 变式提升3
证明(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=1.
证明:(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5
=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5
=(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2
=(lg2+lg5)2
=(lg10)2
=1.。