二轮重点讲练 数学(新高考版)作业1

专题训练·作业(一)
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的) 1．已知M ＝{y|y ＝x 2，y ∈R }，N ＝{x|x 2＋y 2＝2，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．{(－1，1)，(1，1)} B ．{1} C ．[0，1] D ．[0，2]
答案 D
解析 (直接法)因为M ＝{y|y ＝x 2，y ∈R }＝[0，＋∞)，N ＝{x|x 2＋y 2＝2，x ∈R }＝[－2，2]，所以M ∩N ＝[0，2]．
2．设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，且z 2＝－2i ，则有( ) A ．a ＋b ＝－1 B ．a －b ＝－1 C ．a －b ＝0 D ．a ＋b ＝0 答案 D
解析 (直接法)因为z 2＝(a ＋bi)2＝(a 2－b 2)＋2abi ＝－2i ，所以a 2－b 2＝0，2ab ＝－2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝1，
所以a ＋b ＝0，故选D.
3．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝6
6，则sin2α的值为( )
A.1
3 B.23 C.33
D.53
答案 B
解析 (等价转化法)因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛
⎭⎪
⎫2α＋π22＝1－sin2α2＝16，所以sin2α＝2
3，故选
B.
4．(2020·福建福州八县一中期中)若不等式mx 2＋x －2<0的解集为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．－1
8<m ≤0
B ．m<－1
8
C ．m>－1
8
D ．m<－1
8
或m ＝0
答案 B
解析 (特值法)当m ＝0时，由x －2<0，得x<2，不是R ，∴m ≠0，排除A 、C 、D.故选B. 5．如图，已知函数f(x)的图像关于坐标原点O 对称，则函数f(x)的解析式可能是( )
A ．f(x)＝x 2ln|x|
B ．f(x)＝xlnx
C ．f(x)＝e |x|
x
D ．f(x)＝ln|x|
x
答案 D
解析 (排除法)根据f(x)关于原点对称可知该函数为奇函数， 对于A ，f(－x)＝x 2ln|x|＝f(x)，为偶函数，不符合； 对于B ，定义域不对应；
对于C ，当x>0的时候，f(x)>0恒成立，不符合该函数图像特征，故错误； 对于D ，f(－x)＝ln|x|
－x ＝－f(x)，符合判定，故选D.
6．若2x ＋5y ≤2－
y ＋5－
x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0
答案 B
解析 (构造法)把不等式变形为2x －5－x ≤2－y －5y ，构造函数y ＝2x －5－x ，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y.故选B.
7．(2020·吉林省长春三模)设椭圆C 的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|＝4
3|QF 1|，则椭圆C 的离心率为( )
A.12
B.34
C.57
D.23 答案 C
解析 (等价转化法)由|PF 2|＝2c 得|PF 1|＝2a －2c ，|QF 1|＝
3a －3c 2，|PQ|＝7a －7c 2，|QF 2|＝a ＋3c
2，由cos ∠F 2PQ ＝cos ∠F 2PF 1得7c 2－12ac ＋5a 2＝0，得e ＝5
7
，选C.
8．(2020·广州市高三调研测试)已知实数a ＝2ln2，b ＝2＋2ln2，c ＝(ln2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c<b<a B ．c<a<b C ．b<a<c D ．a<c<b
答案 B
解析 (估算法)∵0<ln2<1，∴a ＝2ln2∈(1，2)，c ＝(ln2)2∈(0，1)，b ＝2＋2ln2∈(2，4)，∴c<a<b.故选B.
9.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，点M 是BB 1的中点，则三棱锥C 1－AMC 的体积为( ) A. 3 B. 2 C ．2 2 D ．2 3 答案 A
解析 (等价转化法)取BC 中点D ，连接AD.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，所以AD ⊥BC.又BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ，而BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1，即AD ⊥平面MCC 1，所以点A 到平面MCC 1的
距离就是AD.在正三角形ABC 中，AB ＝2，所以AD ＝ 3.又AA 1＝3，点M 是BB 1的中点，所以S △MCC 1＝12S 矩形BCC 1B 1＝12×2×3＝3，所以VC 1－AMC ＝V A －MCC 1＝13×3×3＝
3.
10．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支异于顶点的任意一点，则直线PF 的斜率的变化范围是( ) A ．(－∞，0)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D ．(1，＋∞) 答案 C
解析 (极限法)设A 为左顶点，易知该双曲线渐近线斜率为±1.当P →A 时，PF 的斜率k →0；当PF ⊥x 轴时，斜率不存在，即k →＋∞或k →－∞；当P 在无穷远处时，PF 的斜率k →1.故选C.
11．(2020·北京西城联考)设1<x<2，则lnx x ，⎝⎛⎭⎫lnx x 2，lnx 2
x 2的大小关系是( )
A.⎝⎛⎭⎫lnx x 2<lnx x <lnx 2
x 2
B.lnx x <⎝⎛⎭⎫lnx x 2<lnx 2x 2
C.⎝⎛⎭⎫lnx x 2<lnx 2x 2<lnx x
D.lnx 2x 2<⎝⎛⎭⎫lnx x 2<lnx x
答案 A
解析 方法一(特值法)：∵1<e<4，∴1<e<2，取x ＝e ，验证易知选A.
方法二(构造法)：令f(x)＝x －lnx(1<x<2)，则f ′(x)＝1－1x ＝x －1
x >0，∴函数f(x)＝x －lnx(1<x<2)
为增函数，∴f(x)>f(1)＝1>0，即x>lnx>0，∴0<lnx x <1，∴⎝⎛⎭⎫lnx x 2<lnx x .又lnx 2x 2－lnx x ＝2lnx －xlnx x 2>0，
∴⎝⎛⎭⎫lnx x 2<lnx x <lnx 2
x
2.
二、多项选择题(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求)
12．(2020·山东省济宁市检测)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f(x)＝e x (x ＋1)，则下列命题正确的是( ) A ．f(1)＝0
B ．当x ＞0时，f(x)＝－e －
x (x －1) C ．函数f(x)有3个零点
D ．f(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1) 答案 ACD
解析 (直接法)A 中，f(1)＝－f(－1)＝－e －1(－1＋1)＝0，∴A 正确；
B 中，函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f(x)＝e x (x ＋1)，当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝e －x (－x ＋1)，∴f(x)＝－f(－x)＝e －x (x －1)，∴B 错误；
C 中，当x ＝0时，f(0)＝0.因此函数f(x)有三个零点：0，±1.∴C 正确；
D 中，当x ＜0时，f(x)＝e x (x ＋1)，f ′(x)＝e x (x ＋2)，可得x ＝－2时，函数f(x)取得极小值， f(－2)＝－1
e
2.可得其图像：
∴f(x)＜0时的解集为(－∞，－1)∪(0，1)，∴D 正确．
13．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的图像向右平移π2个单位长度得到g(x)的图像，则下列判断正确
的是( )
A ．函数g(x)在区间⎣⎡
⎦⎤
π12，π2上单调递增
B ．g(x)的图像关于直线x ＝
7π
12
对称 C ．函数g(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π
3上单调递减
D ．g(x)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π
3，0对称
答案 ABD
解析 (直接法)由题意，将函数f(x)＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，可得g(x)
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，对于A ，由π12≤x ≤π2，得－π2≤2x －2π3≤π3，则函数g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π12，π2上
单调递增是正确的；对于B ，令x ＝7π12，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2×7π12－2π3＝sin π2＝1，所以函数
g(x)的图像关于直线x ＝7π12对称是正确的；对于C ，－π6≤x ≤π3，则－π≤2x －2π
3≤0，则函
数g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上先减后增，所以不正确；对于D ，令x ＝π3，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2×π3－2π3＝0，所以g(x)的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，0对称是正确的，故选ABD.
14.(2020·山东省济宁市质检)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则( )
A.BC →
＝－12AB →＋AD →
B.AF →＝13AB →＋13AD →
C.BF →
＝－23AB →＋13AD →
D.CF →＝16AB →－23
AD →
答案 ABC
解析 (直接法)∵BC →＝BA →＋AD →＋DC →，且AB ＝2AD ＝2DC ，∴BC →＝－AB →＋AD →＋12AB →
＝－
12AB →＋AD →，故A 正确；又∵AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)，∴AF →＝12AB →＋12×23BC →＝12AB →＋13BC →＝13
AB
→
＋13AD →，故B 正确；∵BF →＝BA →＋AF →＝－AB →＋13AB →＋13AD →，∴BF →
＝－23AB →＋13AD →，故C 正确；∵CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋13AB →＋13AD →＝－16AB →－23AD →，D 不正确．故选ABC.
三、填空题
15．设a>b>1，则log a b ，log b a ，log ab b 的大小关系是________． 答案 log ab b<log a b<log b a
解析 (特例法)令a ＝100，b ＝10，则log ab b ＝13，log a b ＝1
2，log b a ＝2.即log ab b ＜log a b ＜log b a.
16．已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设
14C
的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系如下：b ＝ae
－kx
，
其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年(已知log 20.767≈－0.4)． 答案 2 292
解析 (数学文化)由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k ＝12a ，解得k ＝ln2
5 730.
现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%. 所以76.7%＝e －ln25 730x ，得ln0.767＝－ln2
5 730x ，
x ＝－5 730×ln0.767
ln2
＝－5 730×log 20.767≈2 292.
17．(2020·山东省济宁市质检)我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺． 答案 1.5
解析 (数学文化)由题意知十二个节气的日影子长为等差数列，
设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＋a 9＝16.5，S 12＝84，
代入得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋4d ）＋（a 1＋8d ）＝16.5，
12a 1＋12×11d
2＝84，
联立方程解得a 1＝1.5.
18．若关于x 的方程|x|
x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________．
答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞
解析 (数形结合法)当x ＝0时，显然是方程的一个实数解； 当x ≠0时，方程|x|x ＋4
＝kx 2可化为1
k ＝(x ＋4)|x|(x ≠－4)．
设f(x)＝(x ＋4)|x|(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1
k
，原题可以转化为两函数图像有三个非零交点．
则f(x)＝(x ＋4)|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x （x>0），
－x 2
－4x （x<0且x ≠－4）
的大致图像如图所示，
由图，易得0<1
k
<4，
解得k>1
4
，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 19．(2020·安徽省安庆第三次模拟)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2
＝1的左、右焦点，A ，B
分别为C 上第二、四象限的点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则该矩形的面积是________，AB 所在直线的方程是________． 答案 2 y ＝－
24
x 解析 (直接法)由已知得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ①，|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2②， ①2－②得|AF 1|·|AF 2|＝2，∴矩形AF 1BF 2的面积为S ＝|AF 1|·|AF 2|＝2.
矩形AF 1BF 2的外接圆方程为x 2＋y 2＝3，与椭圆C 的方程联立得A ⎝⎛⎭⎫
－263，
33. 又AB 过坐标原点，∴AB 的斜率为k AB ＝k OA ＝－24
， ∴AB 所在直线的方程为y ＝－
2
4
x. 20．被誉为“数学之神”的阿基米德(公元前287—公元前212)，是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之
二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：y ＝1
4x 2交于A ，B 两点，则弦AB 与抛物线
C 所围成的封闭图形的面积为________． 答案
643
解析 由题意可取A(－4，4)，B(4，4)，所以两条切线方程为y －4＝－2(x ＋4)，y －4＝2(x －4)，即2x ＋y ＋4＝0，2x －y －4＝0，其交点为P(0，－4)，则△APB 的面积为1
2×[4－(－
4)]×[4－(－4)]＝32，所以弦AB 与抛物线C 所围成的封闭图形的面积为23×32＝64
3
.
1．(2020·深圳市高三二次调研)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则2x 1＋3，2x 2＋3，…，2x n ＋3的平均数和方差分别为( ) A ．2a ，2b B ．2a ，4b C ．2a ＋3，2b D ．2a ＋3，4b
答案 D
解析 根据平均值和方差的性质知：
2x 1＋3，2x 2＋3，…，2x n ＋3的平均数和方差分别为2a ＋3和4b.故选D.
2．【多选题】(2020·湖南省长沙市联考)已知函数f(x)＝cosxsin2x ，下列命题中正确的是( ) A ．∀x ∈R ，都有f(－x)＝－f(x)成立
B ．存在常数T ≠0，∀x ∈R 恒有f(x ＋T)＝f(x)成立
C ．f(x)的最大值为23
9
D ．y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤－π6，π
6上是增函数
答案 ABD
解析 A 中f(－x)＝cos(－x)sin(－2x)＝－cosxsin2x ＝－f(x)，为奇函数，正确；B 中f(x ＋2π)＝f(x)，为周期函数，正确；C 中f(x)＝2sinxcos 2x ＝2sinx(1－sin 2x)＝2sinx －2sin 3x ，令t ＝sinx ，t ∈[－1，1]，则f(t)＝2t －2t 3，令f ′(t)＝2－6t 2＝0，得t ＝±33，即f(t)在⎣⎡⎭⎫－1，－3
3为减函数，在⎣
⎡⎦⎤－
33，
33为增函数，在⎝⎛⎦⎤33，1为减函数，且f(－1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫33＝43
9
，所
以439为最大值，错误；D 中当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π6时，sinx ∈⎣⎡⎦⎤－12，12⊆⎣⎡⎦⎤－33，3
3，所以f(x)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π6上为增函数，正确．故选ABD. 3．(2020·广东省肇庆市高三统测)下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是( ) A ．y ＝－1x
B ．y ＝2x －2－
x C ．y ＝sinx D ．y ＝x 2
答案 B
解析 (排除法)函数是奇函数，排除D ；又在定义域上单调递增，排除A 、C.选B. 4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 1＋a 101<0 C ．a 1＋a 101＝0 D ．a 51＝51
答案 C
解析 (特例法)a n ＝0，则a 1＋a 101＝0.选C.
5．(2020·广州综合测试)已知点O 为坐标原点，点M 在双曲线C ：x 2－y 2＝λ(λ为大于0的常数)上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则|ON|·|MN|的值为( ) A.λ4 B.λ
2
C ．λ
D ．无法确定
答案 B
解析 (特例法)因为M 为双曲线上任一点，所以可取M 为双曲线的右顶点，不妨考虑渐近线y ＝x ，可知△OMN 为等腰直角三角形，此时|OM|＝λ，|ON|＝|MN|＝λ
2
，所以|ON|·|MN|＝λ2
. 6．(2019·广州五校联考)已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，
x 2－2x ，x<0，若f(3－
a 2)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－3，1)
解析 如图，画出f(x)的图像，由图像易得f(x)在R 上单调递减，∵f(3－a 2)<f(2a)，∴3－a 2>2a ，解得－3<a<1.
7．(2020·四川南充高三诊断测试)已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧2－ax ，x ≤0，
2x 3－ax 2＋1，x>0，若f(x)>0恒成立，则
实数a 的取值范围是________． 答案 [0，3)
解析 ∵f(x)>0恒成立，∴f(1)>0，2－a ＋1>0，a<3.
(1)当x ≤0时，f(x)＝2－ax 必须有最小值，∴a ≥0，此时f(x)min ＝f(0)＝2>0. (2)当x>0，f(x)＝2x 3－ax 2＋1，f ′(x)＝6x 2－2ax. 令f ′(x)＝6x 2－2ax ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝a
3
.
当a>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，a
3，f ′(x)<0，f(x)单调递减， x ∈⎝⎛⎭⎫a
3，＋∞，f ′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 3
27
＋1>0， ∴0<a<3.
当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)>1>0.
综合(1)，(2)有0≤a<3.
8．已知函数f(x)＝x （x ＋a ）2是奇函数，则实数a 的值为________．
答案 0
解析 方法一(直接法)：∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，即－1
（－1＋a ）2＝－1
（1＋a ）2
，
解得a ＝0.
方法二(等价转化法)：∵f(x)＝x
（x ＋a ）2是奇函数，
∴y ＝(x ＋a)2为偶函数，∴a ＝0.。