高中数学 平面解析几何——圆锥曲线与方程

高中数学 平面解析几何——圆锥曲线与方程
一、单选题
1．若双曲线x 2a 2−y 2
b
2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．√3
B ．2
C ．12
D ．2√33
2．已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2
b
2=1(a >0，b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线C 1与曲线C 2：
x 2+y 2
−b 2
=0在第二象限的交点为M ，且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13
，则双曲线C 1
的离心率为( ) A ．√32
B ．3
C ．√3
D ．32
3．抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点为 F ，点 A(6,y 0) 是 C 上一点， |AF|=2p ,则 p =
（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．经过点 M(2√3,2√2) 且与双曲线 y 24−x 2
3=1 有共同渐近线的双曲线方程为（ ）
A ．x 2
6−y 28
=1
B ．y 26−x 2
8
=1
C ．x 2
8−y 26
=1
D ．y 28−x 2
6
=1
5．过双曲线 E ：x 2a 2−y 2
b
2=1(a >0，b >0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线 E 交于
A ，
B 两点，与双曲线 E 的渐近线交于
C ，
D 两点，若 |AB|=√
32
|CD| ，则双曲线 E 的渐近线
方程为（ ） A ．y =±√2x
B ．y =±√3x
C ．y =±2x
D ．y =±2√3x
6．若双曲线 x 2a 2−y 2
b
2=1 的一条渐近线经过点 (3,4) ,则此双曲线的离心率为( )
A ．√
73
B ．54
C ．43
D ．53
7．双曲线x 2a 2−y 2
b
2=1的离心率为√3，则它的渐近线方程是（ ）
A ．y =±√2x
B ．y =±√22
x
C ．y =±2x
D ．y =±12
x
8．已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点
A(0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√5
5MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p 的值等于（ ）
A ．18
B ．2
C ．14
D ．4
9．椭圆x 2
9+y 24−k =1的离心率为45，则k 的值为（ ）
A．－21B．21C．−9
25或21D．9
25或21
10．曲线x 2
10−m+
y2
6−m=1(m<6)
与曲线x
2
5−m+
y2
9−m=1(5<m<9)
的（）
A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．准线相同
11．已知双曲线Γ过点M(3,4)且其渐近线方程为y=±2√3
3x
，ΔABC的顶点A,B恰为Γ的
两焦点，顶点C在Γ上且|AC|>|BC|，则sin∠BAC−sin∠ABC
sin∠ACB=（）
A．−2√7
7B．2√7
7
C．−2D．2
12．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
13．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（）
A．4.25米B．4.5米C．3.9米D．4.05米
14．已知双曲线C：x2
a2
−y
2
b2
=1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以OF2为直径的圆
M与双曲线C相交于A，B两点，其中O为坐标原点，若AF1与圆M相切，则双曲线C的
离心率为 A ．√2+3√62
B ．√2+√62
C ．3√2+√62
D ．3√2+2√62
15．已知椭圆 y 2a 2 + x 2b
2 =1(a>b>0)与直线 y a −x b =1 交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．√5−12
B ．√3−12
C ．√3+14
D ．√5+14
16．设双曲线 C ： x 2a 2−y 2
b
2=1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，点 P 在 C 上，
且满足 |PF 1|=3a .若满足条件的点 P 只在 C 的左支上，则 C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]
B ．(2,+∞)
C ．(2,4]
D ．(4,+∞)
17．设椭圆C ：x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在C 上（M 位于第一
象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若|MN|=|F 1F 2|，2√2|MF 2|=|NF 2|，则C 的离心率为（ ） A ．√24
B ．12
C ．6√2−37
D ．3√2−37
二、填空题
18．双曲线C ：x 2a 2−y 2
b
2=1(a >0，b >0)上一点P （点P 在第一象限），过双曲线C 中心O 且与坐
标轴不平行的直线l 交双曲线C 左右两支于A ，B 两点（点A ，B 异于点P ），设直线PA ，PB 的斜
率分别为k 1、k 2，且k 1k 2=1
4
，则双曲线C 的离心率为 .
19．过点(2√3，√3)且渐近线与双曲线C ：y 2−x 2
2
=1的渐近线相同的双曲线方程为 .
20．已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点， P 为 C 上的一点，若 |PF|=3 ，则点 P 的坐标为 21．已知点 (1,2) 在抛物线 y 2=2px 上，则该抛物线的焦点坐标为 ． 22．已知抛物线 y 2=2ax 的准线方程为 x =−2 ，则 a = ． 23．抛物线x 2=−2y 的焦点到准线的距离为 ．
24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2=8x 上一点P 到点A （4，0）的距离等于它到准线的
距离，则PA= ．
25．椭圆 x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0) 上的任意一点 P (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点 B 1,B 2
的连线交 x 轴于点 M 和 N ，则 |OM|+|ON| 的最小值是 ．
26．已知抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 2
7﹣Y 29
=1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的焦点为
K ，点A 在抛物线上，且|AK|=√2|AF|，则△AFK 的面积为
27．如图从双曲线 x 2a 2−y 2
b
2=1 （其中 b >a >0 ）的左焦点F 引圆 x 2+y 2=a 2 的切线，切点为
T ，延长 FT ，交双曲线右支于P ，若M 为线段 FP 的中点，O 为原点，则 |MO|−|MT| 的值为（用 a 、b 表示） ．
28．设F 为抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点，过F 作倾斜角为 60° 的直线交C 于A ，B 两点，
若 |AF|−|BF|=4 ，则 |AB|= .
29．已知椭圆E ： x 2a 2+y 2
b
2 =1（a ＞b ＞0）的焦距为2c （c ＞0），左焦点为F ，点M 的坐标为（﹣
2c ，0）．若椭圆E 上存在点P ，使得PM= √2 PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ．
30．已知双曲线x 2a 2−y 2
b
2=1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：(x −3)2+y 2=4相切，右焦点
和圆心重合，则该双曲线的标准方程为 ．
31．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为 F ．过点 M(−1，0) 的直
线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 FA ⊥FB ，则直线 l 的斜率为 ．
32．过双曲线x 2- y 2
15
=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x-4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2-|PN|2的最小值为 ．
33．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0) ， B(1,√3) ，动点 P 满足 OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 |x|+|y|=1 ，则动点 P 形成的轨迹长度为 .
34．已知F 是抛物线 C ：y 2=2px(p >0) 的焦点，抛物线C 上的点 A ，B 满足 AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 A ，B 在准线上的射影分别为 M ，N ，且 △MFN 的面积为5，则 |AB|=
三、解答题
35．某海域有 A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游
的路线像一个椭圆，其焦点恰好是 A 、B 两岛．曾有渔船在距A 岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在 A 、B 两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同）， A 、B
两岛收到鱼群反射信号的时间比为 5：3 ．你能否确定鱼群此时分别与 A 、B 两岛的距离？ 36．已知直线l 的参数方程为 {x =2+t
y =√3t (t 为参数)， P(2,0) ，曲线C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ=
1 .
（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长 |AB| 以及 |PQ| .
37．已知 F 1 ， F 2 分别是椭圆 E ：x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0) 的左，右焦点， |F 1F 2|=6 ，当 P
在 E 上且 PF 1 垂直 x 轴时， |PF 2|=7|PF 1| .
（1）求 E 的标准方程；
（2）A 为 E 的左顶点， B 为 E 的上顶点， M 是 E 上第四象限内一点， AM 与 y 轴交于点 C ， BM 与 x 轴交于点 D . 求证：四边形 ABDC 的面积是定值.
38．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b
2=1(a >0，b >0)的离心率为√
174，抛物线D ：y 2=2px （p >0）的焦
点为F ，准线为l ，l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，ΔMNF 的面积为8. （1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）求抛物线D 的方程.
39．已知B ，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方
程．
40．已知函数 y =2x 2 ，函数图象上有两动点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) .
（1）用 x 1 表示在点 A 处的切线方程；
（2）若动直线 AB 在 y 轴上的截距恒等于 1 ，函数在 A 、 B 两点处的切线交于点 P ，求证：点 P 的纵坐标为定值.
41．已知双曲线 x 2−y 2
3
=1 ，抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点与双曲线的一个焦点相同，点 P(x 0,y 0) 为抛物线上一点. （1）求双曲线的焦点坐标；
（2）若点 P 到抛物线的焦点的距离是5，求 x 0 的值.
42．已知圆C 的方程为：x 2+(y +1)2=r 2(r >0)
（1）已知过点M(12，−5
2
)的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若r =1，|AB|=√3，求直线l 的方程；
（2）如图，过点N(−1，1)作两条直线分别交抛物线y =x 2于点P ，Q ，并且都与动圆C 相切，求证：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标.
43．已知椭圆 C ： x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0) 的左､右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，且 |F 1F 2|=2 ，点
M(√3，√3
2) 在椭圆 C 上.
（1）求椭圆 C 的标准方程.
（2）P 为椭圆 C 上一点，射线 PF 1 ， PF 2 分别交椭圆 C 于点 A ， B ，试问 |PF 1|
|AF 1
|+
|PF 2|
|BF 2| 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由
. 44．已知双曲线C ： x 2a 2−y 2
b
2 ＝1(a ，b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，其中c>0，
M(c ，3)在C 上，且C 的离心率为2. （1）求C 的标准方程；
（2）若O 为坐标原点，△F1MF2的角平分线l 与曲线D ： x 2c 2+y 2
b
2 ＝1的交点为P ，Q ，试判断
OP 与OQ 是否垂直，并说明理由.
45．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）分别是椭圆C ： x 2
a
2+y 2
3 =1（a ＞0）的左、右焦点． （△）求椭圆C 的方程；
（△）若A ，B 分别在直线x=﹣2和x=2上，且AF 1△BF 1． （△）当△ABF 1为等腰三角形时，求△ABF 1的面积； （△）求点F 1，F 2到直线AB 距离之和的最小值．
46．已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b
2=1(a >b >0) 的离心率为 √33 ，且经过点 (32,√
22) .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）经过点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若△
OAB的面积为4√6
17
，求直线l的方程.
47．已知抛物线E:y2=2px的焦点F恰好是椭圆C:x2+2y2=2的右焦点.
（1）求实数p的值及抛物线E的准线方程；
（2）过点F任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B和M、N点，求两条弦的弦长之和|AB|+|MN|的最小值．
48．已知椭圆C：x2
a2
+y
2
b2
=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，点P为
椭圆上异于A、B的点，且直线PA和PB的斜率之积为−3 4 .
（1）求C的方程；
（2）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM//AP交椭圆于点M，试探究|AP|⋅|AQ|
|OM|2
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
49．已知椭圆C：x2
a2
+y
2
b2
=1（a>b>0）的两个顶点分别为点A(−2,0)，B(2,0)，离心率
为√3
2
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.证明：△BDE与△BDN的面积之比为定值.
50．已知椭圆x2
a2
+y
2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为2√5
5
，且|BF|=
√5．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP//BF，求直线l的方程．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线x 2a 2−y 2b
2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，
所以b a
=√3，
所以该双曲线的离心率为e =c a =√1+(b a )2=2。

故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合双曲线的渐近线方程求解方法和双曲线的焦点的位置，进而得出b a 的值，
再利用双曲线的离心率和b a
的关系式，进而得出该双曲线的离心率。

2．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质 【解析】【解答】如图，
由题知：|OM|=b ，|OF 1|=c ，
∵{|MF 2|−|MF 1|=2a |MF 2|=3|MF 1|，∴|MF 2|=3a ，|MF 1|=a ，∴|M F |2＋
＝|O F |2
，∴MF 1⊥OM ，
∴cos∠MF 1O =|MF 1||OF 1|=a c =a 2+4c 2−9a 2
2×2c⋅a
，∴12a 2=4c 2，∴e 2=3，∴e =√3， 故答案为：C ．
【分析】首先由已知条件即可作出双曲线的图象，然后由双曲线的定义结合已知条件整理化简得出MF 1⊥OM ，再由余弦定理以及离心率公式，代入数值计算出结果即可。

3．【答案】A
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】根据抛物线焦半径公式可得： |AF|=6+p
2=2p
所以 p =4 故答案为：A
【分析】通过抛物线焦半径公式建立方程，求得结果.
4．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 与双曲线 y 24−x 23=1 有共同渐近线的双曲线方程可设为y 24−x 23
=λ，
将点 M(2√3,2√2) 代入上式，得λ=
(2√2)
2
4
−
(2√3)
2
3
=−2，
则所求双曲线方程为y 24−x 23=−2，即 x 2
6−y 28
=1 .
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义及几何性质求解即可.
5．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的应用
【解析】【解答】解：双曲线 E 的渐近线方程为 y =±b a x ，令 x =c ，得 y =±bc
a
，
所以 |CD|=
2bc a
，又因为 |AB|=2b 2a
，所以由 |AB|=√32|CD| ，得 2b 2a =√3bc a ， 整理得 b =√32
c ， a =1
2c ，所以双曲线E 的渐近线方程为 y =±√3x .
故答案为：B
【分析】根据双曲线定义可求得。

6．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意得渐近线方程为 y =±b
a
x ， ∴ 所以 3b a =4 即 b =43a ，
∴ 离心率 e =√a 2
+b 2
a 2
=53 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得 b =4
3a ，根据离心率 e =√a 2+b 2
a 2
即可得解.
7．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】根据题意可知双曲线的离心率为，那么根据，则有，根据双曲线的方程可知为焦点在x 轴上，因此为y=，故选A.
【点评】解决该试题的关键是先确定焦点的位置是在那个轴上，然后根据渐近线方程的求解，主要得到a，b的比值即可。

8．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B，
由抛物线的定义知，|MM′|＝|FM|，
因为|FM|
|MN|=
√5
5，所以
|MM′|
|MN|=
√5
5
，即cos∠NMM′=|MM
′|
|MN|=
√5
5
，
所以cos∠OFA=cos∠NMM′=√5
5
，
而cos∠OFA=|OF|
|AF|=
p
2
√(p2)+22
=√55
，
解得p＝2。

故答案为：B.
【分析】设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B，由抛物线
的定义知|MM′|＝|FM|，再结合|FM|
|MN|=
√5
5，得出
|MM′|
|MN|
的值，再结合余弦函数的定义得出
cos∠NMM′的值，进而得出cos∠OFA的值，再结合余弦函数的定义和已知条件得出p的值。

9．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵方程表示椭圆，∴且，（1）当时， ，，得
；（2）当时，
，
，得
，综上所述：
或
，选C..
10．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质 【解析】【解答】因为
，所以表示椭圆，其焦距为2c=4；又
表示焦点在y 轴的双曲线，其焦距为2c=
=4，所以选
A 。

【分析】涉及a ，b ，c 间的关系，比较简单。

11．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；正弦定理的应用
【解析】【解答】设双曲线方程为 y 2−43
x 2=λ ，因为过点 M(3,4) ，代入得 λ=4 ，即双曲线方
程为 y 24−x 23
=1 ，故 2a =4,2c =2√7 ，由正弦定理可知 sin∠BAC−sin∠ABC sin∠ACB =|CB|−|CA|
|AB|=−2a 2c =−2√77
，
故答案为：A.
【分析】利用有相同渐近线的双曲线的方程代入点的坐标求出λ的值，进而求出双曲线的方程以及a 与c 的值，再结合已知条件利用正弦定理a sinA =b sinB
=2R 整理化简原式即可求出结果。

12．【答案】C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】设M 是界限上的一点，
则|MA 1|+|AA 1|=|MA 2|+|AA 2|，
所以|MA 1|−|MA 2|=|AA 2|−|AA 1|，即||MA 1|−|MA 2||=||AA 2|−|AA 1||， 在△AA 1A 2中，||AA 2|−|AA 1||<|A 1A 2|， 所以点M 的轨迹为双曲线， 即该界线所在曲线为双曲线. 故答案为：C.
【分析】设M是界限上的一点，再利用已知条件得出则|MA1|+|AA1|=|MA2|+|AA2|，所以
||MA1|−|MA2||=||AA2|−|AA1||，在△AA1A2中，||AA2|−|AA1||<|A1A2|，再结合双曲线的定义得出点M的轨迹，从而得出该界线所在曲线。

13．【答案】D
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】如图，设抛物线的方程为x2=ny(n<0)，
将点(5，−5)代入抛物线的方程可得，25=−5n，解得n=−5，
即抛物线的方程为x2=−5y，
令x=3.5，可得3.52=−5y，解得y=−2.45，
则通过隧道的车辆限制高度为7−2.45−0.5=4.05（米)。

故答案为：D．
【分析】设抛物线的标准方程为 x 2=ny(n <0) ，将点 (5，−5) 代入抛物线的方程可得， n =−5 ，从而求出抛物线的标准方程为 x 2=−5y ，再结合代入法，令 x =3.5 ，解得 y =−2.45 ，从而求出通过隧道的车辆限制高度。

14．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质；余弦定理 【解析】【解答】根据题意，有 |AM|=
c 2，|MF 1|=3c
2
， 因为若 AF 1 与圆 M 相切，所以 ∠F 1AF 2=π
2 ，
所以由勾股定理可得 |AF 1|=√2c ，所以 cos∠F 1MA =|AM||F 1M|=1
3 ，
所以 cos∠AMF 2=−1
3
，
由余弦定理可求得 |AF 2|=√c 24+c 2
4−2⋅c 2⋅c 2⋅(−13)=√63
c ，
所以， e =2c
2a =
√2c−√
6c
3
=
3√2+√62 ，
故答案为：C.
【分析】 根据题意作出图形，利用直线与圆的位置关系以及双曲线的简单性质，整理化简求解即可。

15．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】联立方程 {
y 2a 2+x 2
b 2=1y a −x
b =1 ，解方程可得 {x =0y =a 或 {x =−b y =0 ， 不妨设A(0，a)，B(-b ，0)，由题意可知， BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 因为 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(b,a) ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(b,−c) ，
由平面向量垂直的坐标表示可得， b ⋅b −ac =0 ， 因为 b 2=a 2−c 2 ，所以a 2-c 2=ac ， 两边同时除以 a 2 可得， e 2+e −1=0 ，
解得e= √5−12 或 e =−1−√
52 （舍去），
所以该椭圆的离心率为 √
5−12
.
故答案为：A
【分析】联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于a,b,c 的关系式，解方程求解即可.
16．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】若P在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时|PF1|的最小值为c+a，
因为满足题意的点P在双曲线的左支，所以3a<c+a，即2a<c，所以e>2①，
若P在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时|PF1|的最小值为c−a，
想要满足题意的点P在双曲线的左支上，则需要满足3a≥c−a，即4a≥c，所以e≤4②由①②得2<e≤4，
故答案为：C。

【分析】根据双曲线的性质，数形结合表示|PF1|的最大值和最小值，解不等式，表示4a≥c，即可求出离心率e的取值范围.
17．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意作下图，由于|MN|=|F1F2|，并且线段MN，F1F2互相平分，
∴四边形MF1NF2是矩形，其中∠F1MF2=π
2，|NF1|=|MF2|，
设|MF2|=x，则|MF1|=2a−x，
根据勾股定理，|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，(2a−x)2+x2=4c2，整理得x2−2ax+2b2=0，
由于点M在第一象限，x=a−√a2−2b2，
由2√2|MF2|=|NF2|，得|MN|=3|MF2|，即3(a−√a2−2b2)=2c，
整理得7c2+6ac−9a2=0，即7e2+6e−9=0，解得e=6√2−3
7。

故答案为：C．
【分析】依题意结合|MN|=|F 1F 2|，并且线段MN ，F 1F 2互相平分，所以四边形MF 1NF 2是矩形，
其中∠F 1MF 2=π
2，|NF 1|=|MF 2|，设|MF 2|=x ，再利用椭圆的定义，则|MF 1|=2a −x ，根据勾股
定理得x 2−2ax +2b 2=0，由于点M 在第一象限，x =a −√a 2−2b 2，由2√2|MF 2|=|NF 2|，得|MN|=3|MF 2|，所以7e 2+6e −9=0，从而解方程求出椭圆的离心率。

18．【答案】√
52
【知识点】直线的斜率；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可知，A ，B 关于原点对称，设A(m ，n)，则B(−m ，−n)， 则A 点在双曲线上，即m 2a 2−n 2
b 2=1，①
设P(s ，t)，s >0，t >0，则s 2a 2−t 2
b
2=1，②
则①-②得m 2a 2−s 2a 2−n 2b 2+t 2
b 2=0，即(m+s)(m−s)a 2=(n+t)(n−t)b 2， 所以(m+s)(m−s)(n+t)(n−t)=a 2
b
2，
由k 1=n−t m−s ，k 2=n+t m+s ，所以k 1k 2=b 2a 2=14，所以e =√1+b 2a
2=√52. 故答案为：√
52
.
【分析】根据题意首先设出点的坐标，并代入到双曲线的方程由点差法，计算出直线的斜率，结合已知条件以及离心率公式计算出结果即可。

19．【答案】x 2
6−y 23
=1
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据题意，双曲线C ：y 2−x 22=1渐近线方程为y =±√
22
x ，所以要求的双曲线方程
为y 2−x 2
2
=λ(λ≠0)，又因为双曲线过点(2√3，√3)，代入方程可得λ=−3，因此双曲线方程为
x2 6−y2
3=1。

故答案为：x 2
6−y2
3=1。

【分析】利用已知条件结合双曲线渐近线求解方法，得出双曲线C：y2−x 2
2=1
的渐近线，再利用所
求双曲线的渐近线与双曲线C：y2−x 2
2=1
的渐近线相同，从而得出所求的双曲线渐近线，再利用双
曲线过点(2√3，√3)结合代入法，从而得出过点(2√3，√3)且渐近线与双曲线C：y2−x 2
2=1
的渐近线相同的双曲线方程。

20．【答案】(2，±2√2)
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意，抛物线C的焦点为F(1，0)，准线方程为x=−1，由抛物线的几何性质，得点P的坐标为(2，±2√2)
【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的几何性质，即可求出点P的坐标. 21．【答案】(1,0)
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得2p=4，解得p=2，故该抛物线的焦点坐标为(1,0)．
故答案为: (1,0).
【分析】由(1,2)在抛物线上，代入抛物线方程可求出p=2，进而可求出焦点的坐标.
22．【答案】4
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为准线方程为x=−a
2=−2，所以a=4。

故答案为：4。

【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程确定准线的位置，进而求出准线的方程，从而得出实数a的值。

23．【答案】1
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线x2=−2y的焦点(0，−1
2)
，准线方程为y=1
2，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为1．
故答案为：1
【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程即可计算作答.
24．【答案】5
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由抛物线的定义，可得PA=PF，准线方程为x=﹣2．
∵A（4，0），F（2，0），
抛物线y2=8x上一点P到点A（4，0）的距离等于它到准线的距离，
∴P的横坐标为3，
∴PA=2+3=5，
故答案为：5．
【分析】根据抛物线的定义等价代换可求出结果。

25．【答案】2a
【知识点】椭圆的标准方程；平均值不等式在函数极值中的应用
【解析】【解答】设P(x0,y0),M(m,0),N(n,0),由直线方程的截距式和B1, P, M三点共线,
可得x0
m+
y0
b=1⇒m=
bx0
b−y0,同理可求n=
−bx0
−b−y0,
所以|OM|⋅|ON|=
−bx0
−b−y0⋅
bx0
b−y0=
b2x02
b2−y02
=a2.
所以|OM|+|ON|≥2√|OM|⋅|ON|=2a.
故答案为：2a
【分析】由三点共线表示出M,N两点的坐标m,n，由均值不等式求最值.
26．【答案】32
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：由双曲线x 27﹣Y 29
=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y 2=2px 的焦点，∴12=4，解
得p=8．
∴抛物线的方程为y 2=16x ．
其准线方程为x=﹣4，∴K （﹣4，0）．
过点A 作AM△准线，垂足为点M ．则|AM|=|AF|． ∴|AK|=√2|AM|． ∴△MAK=45°． ∴|KF|=|AF|．
∴△AFK 的面积为1
2
|KF|2=32．
故答案为：32．
【分析】由双曲线x 2
7﹣Y 29
=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y 2=2px 的焦点，可得p ．进而得到抛物
线的方程和其准线方程，可得K 坐标．过点A 作AM△准线，垂足为点M ．则|AM|=|AF|．可得|AK|=√2|AM|．可得|KF|=|AF|．进而得到面积．
27．【答案】b −a
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质 【解析】【解答】由图可知点 P 在第一象限．
设 F 1 是双曲线的右焦点，连接 PF 1
∵M 、 O 分别为 FP 、 FF 1 的中点， ∴|MO|=1
2
|PF 1| ．
又由双曲线定义得， |PF|−|PF 1|=2a ，
|FT|=√|OF|2−|OT|2=√c 2−a 2=b ． 故 |MO|−|MT|
=
1
2|PF 1|−|MF|+|FT| =1
2
(|PF 1|−|PF|)+|FT| =b −a ．
故答案为： b −a ．
【分析】由已知条件作出辅助线由此得出|MO|=1
2
|PF 1|，然后由双曲线的定义整理得出|FT|=b ，
从而得出答案。

28．【答案】8
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) （ x 1>0,x 2>0 ），则 |AF|−|BF|=(x 1+p 2)−(x 2+p
2)=x 1−x 2=4 ，
直线 AB 的方程为 y =√3(x −p
2) ，
由 {
y =√3(x −p
2)
y 2=2px
，得 3x 2−5px +34p 2=0 ， 所以 x 1+x 2=53p,x 1x 2=14p 2 ，
所以 (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=169
p 2=42 ， 因为 p >0 ，所以 p =3 ，
所以 |AB|=x 1+x 2+p =8
3
p =8 ，
故答案为：8
【分析】 设直线AB 的方程，与抛物线联立求出A ，B 的横坐标，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得|AF|-|BF|的值，再由|AF|-|BF|=4，求出p 的值，再由性质可得|AB|的值．
29．【答案】[
]
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设P （x ，y ），由PM= √2 PF△PM 2=2PF 2△（x+2c ）2+y 2=2（x+c ）
2
+2y 2△x 2+y 2=2c 2，
椭圆E 上存在点P ，使得PM= √2 PF ，则圆x 2
+y 2
=2c 2
与椭圆E ： x 2a 2+y 2
b
2 =1（a ＞b ＞0）由公共
点，
∴b≤ √2 c≤a△
△
．
故答案为：[ ]
【分析】设P （x ，y ），由PM= √2 PF△x 2+y 2=2c 2．
只需x 2+y 2=2c 2
与椭圆E ： x 2a 2+y 2b
2 =1（a ＞b ＞0）由公共点，即b≤ √2 c≤a ，可求离心率的取值范
围．
30．【答案】x 2
5
−y 24=1
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】由题意可知，双曲线x 2a 2−y 2b
2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±b
a x ，即bx ±
ay =0.
由圆C 的方程为(x −3)2+y 2=4，得圆心为C(3，0)，半径为r =2. 因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为(3，0).c =3
又因为双曲线x 2a 2−y 2
b
2=1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：(x −3)2+y 2=4相切，
所以|3×b±0×a|
√a +b
2=2，即3×b √c =2，解得b =2.所以a 2=c 2−b 2=9−4=5， 所以该双曲线的标准方程为x 2
5−y 24=1.
故答案为：x 2
5
−y 24=1.
【分析】根据题意由双曲线的简单性质以及圆的方程求出各个量，再由圆和双曲线的位置关系以及点到直线的距离公式，整理化简已知条件由此计算出a 与b 的取值，从而得出双曲线的方程。

31．【答案】±√
22
【知识点】直线的斜率；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设直线方程为 x =my −1 ，代入抛物线，整理得 y 2−4my +4=0 ，设 A(x 1，
y 1) ， B(x 2，y 2) ，则 y 1+y 2=4m ， y 1y 2=4 ，
所以 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1，y 1)⋅(x 2−1，y 2)=(x 1−1)⋅(x 2−1)+y 1y 2 ，所以
FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1−2)(my 2−2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2−2m(y 1+y 2)+4=−4m 2+8=0 ，解得
m =±√2 ，所以斜率 k =1m =±√
22 ．
故答案为： ±√
22
【分析】 根据题意可得抛物线C 的焦点F(1，0) ，设直线 l 方程为 x =my −1， A(x 1，y 1) ， B(x 2，y 2) ，联立直线l 与抛物线方程，消掉y 得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得y 1+y 2=4m ， y 1y 2=4 ，由FA△FB ，推出FA →
⋅FB →
=(x 1−1，y 1)⋅(x 2−1，y 2)=(x 1−1)⋅(x 2−
1)+y 1y 2=−4m 2+8=0，解出m ，进而求出直线 l 的斜率。

32．【答案】13
【知识点】圆方程的综合应用；双曲线的定义；双曲线的应用
【解析】【解答】解：圆 C 1：(x +4)2+y 2=4 的圆心为 （−4，0） ，半径为 r 1=2 ；
圆 C 2：(x −4)2+y 2=1 的圆心为 （4，0） ，半径为 r 2=1 ； 设双曲线 x 2−y 2
15=1 的左右焦点为 F 1（−4，0），F 2（4，0） ，
连接 PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，可得
|PM|2−|PN|2=（|PF 1|2−r 12）−（|PF 2|2−r 22
）
=（|PF 1|2−4）−（|PF 2|2−1）
=|PF 1|2−|PF 2|2−3
=（|PF 1|−|PF 1|）（|PF 1|+|PF 2|）−3
=2a （|PF 1|+|PF 2|）−3≥2•2c −3=2•8−3=13 ． 当且仅当P 为右顶点时，取得等号，即|PM|2-|PN|2的最小值13． 故答案为：13．
【分析】利用圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x-4）2+y 2=1的标准方程求出圆心坐标和半径，再利用双曲线的标准方程求出左、右焦点坐标，再利用直线与圆相切的位置关系的判断方法结合双曲线的定义找出|PM|2-|PN|2的最小值，并求出|PM|2-|PN|2的最小值。

33．【答案】2√3+2√7 【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】设 P(a,b) ，则 OP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b) ， 又 A(1,0) ， B(1,√3) ，所以 xOA
⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +y,√3y) ； 由 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得 {a =x +y
b =√3y
，所以 {x =a −√3
3b y =√33b
， 又 |x|+|y|=1 ，所以 |a −√33b|+|√
33
b|=1 ，
即点 P 的轨迹为 |a −√33b|+|√
33
b|=1 .
当 {a ≥√3
3b b ≥0 时， a =1 ； 即点 P 轨迹为图中线段 AB ； 当 {a <√33b b <0 时， a =−1 ；即点 P 轨迹为图中线段 CD ； 当 {a ≥√3
3b b <0 时， a −2√33b =1 ；即点 P 轨迹为图中线段 AD ； 当 {a <√3
3b b ≥0 时， −a +2√33b =1 ；即点 P 轨迹为图中线段 BC ； 由 {a =√3
3b a =1 得 B(1,√3) ，则 |AB|=√3 ； 由 {a =√33b a =−1
得 D(−1,−√3) ，则 |CD|=√3 又 A(1,0) ， C(−1,0) ，
则 |AD|=|BC|=√22+(√3)2=√7 ，
因此动点 P 形成的轨迹长度为 2√3+2√7 .
故答案为： 2√3+2√7 .
【分析】设 P(a,b) ，根据题中条件，得到 {
a =x +y
b =√3y
，求出 {x =a −√3
3b y =√33b ，得到点 P 的轨迹为 |a −√33b|+|√3
3b|=1 ；分 {a <√33b b <0 ， {a ≥√3
3b b <0
， {
a <√33
b b ≥0 ， {a <√33b b ≥0 四种情况，得到对应的轨迹，求出轨迹长度，即可得出结果.
34．【答案】254
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：过点A 作x 轴的垂线垂足于C ，交NB 的延长线于点D ． 设A (y 122p ，y 1)，B (y 222p
，y 2)，则MN=y 1-y 2.
∵S △MFN =5
∴(y 1-y 2)p=10……① ∵△AFC△△ABD ∴
AF AB =AC AD ，即45=y 1y 1−y 2
∴y 1=-4y 2……②
∵AF =AM =y 122p +p 2，FB =BN =y 222p +p 2 ∴y 122p +p 2=4(y 222p
+p 2
)……③ 联立①②③解得y 1=4，y 2=-1，p=2
∴|AB |=y 122p +y 222p +p =254
故答案为：D
【分析】根据相似比，结合直线与抛物线的位置关系，以及三角形的面积公式求解即可.
35．【答案】以 AB 的中点为原点， AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 设椭圆方程为： x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0) 且 c =√a 2−b 2 因为焦点 A 的正西方向椭圆上的点为左顶点， 所以 a −c =20 又 |AB|=2c =40 ， 则 c =20 ， a =40 ， 故 b =20√3
所以鱼群的运动轨迹方程是 x 2
1600+y 21200
=1
由于 A ， B 两岛收到鱼群反射信号的时间比为 5：3 ， 因此设此时距 A ， B 两岛的距离分别为 5k ， 3k 由椭圆的定义可知 5k +3k =2×40=80⇒k =10 即鱼群分别距 A ， B 两岛的距离为50海里和30海里．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】根据题意建立以 AB 的中点为原点， AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 ，设
出椭圆的方程，再结合已知条件即可得出a −c =20，由已知条件|AB|=2c =40计算出a 、b 、c 的值从而求出椭圆的方程即可，由椭圆的定义结合已知条件代入数值计算出结果即可。

36．【答案】（1）解：由 {
x =2+t y =√3t 消去参数 t 得 y =√3(x −2) ，所以 l 的普通方程是 √3x −y −2√3=0 ，
ρ2cos2θ=ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=(ρcosθ)2−(ρsinθ)2＝1 ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2−y 2=1 ．
（2）解：直线 l 的标准参数方程为 {x =2+1
2t
y =√3
2t
代入 x 2−y 2=1 得 t 2−4t −6=0 ， Δ=(−4)2−4×(−6)=40>0 ， t 1+t 2=4 ， t 1t 2=−6 ， t 1,t 2 异号，
所以 |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√42−4×(−6)=2√10 ，
设 Q 对应的参数是 t 0 ，则 t 0=t 1+t
22
=2 ，所以 |PQ|=|t 0|=2 ．
【知识点】双曲线的标准方程；参数方程化成普通方程；直线的参数方程
【解析】【分析】(1)根据题意由{x =2+t
y =√3t 消去参数即可得到直线的方程，再由ρ2cos2θ=1以及二倍
角的余弦公式整理化简即可得出曲线C 的方程。

（2）结合已知条件联立直线与曲线的普通方程，求解两交点的横坐标再由弦长公式求弦长．
37．【答案】（1）解：由题意知 |PF 1|=b 2
a
， |PF 2|+|PF 1|=2a ， |PF 2|=7|PF 1| ，则 8|PF 1|=
2a ，
得 a =2b ，又 c =3 ， a 2=b 2+c 2 ，解得 a =2b =2√3 ，所以 E 的标准方程是 x 212+y 2
3=
1 .
（2）由题意知 A(−2√3，0) ， B(0，√3) ，设 M(m ，n) ， C(0，t) ， D(s ，0) ，
因为 A ， C ， M 三点共线，则 AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得 t =√
3n m+2√3
， B ， D ， M 三点共线，则 BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得 s =√
3m n−√3
， |AD|=s +2√3 ， |BC|=√3−t ， m 212
+n 23=1 ， |AD|⋅|BC|=√3s −2√3t −st +6=n −√3m +2√3(n −√3)(m +2√3)
6
=6√3m−12√3n+36(m+2√3)(n−√3)+6mn (n−√3)(m+2√3)6=6(m+2√3)(n−√3)
(n−√3)(m+2√3)
=12 .
S ABDC =1
2|AD|⋅|BC|=6 .
【知识点】平面向量的坐标运算；数量积的坐标表达式；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的定义整理化简已知条件，即可计算出a =2b ，然后由椭圆里
a 、
b 、
c 的关系，计算出a 与b 的取值，从而即可得出椭圆的方程。

(2)由已知条件设出点的坐标，结合三点共线的性质，代入坐标整理即可得出t =2√
3n m+2√3
，同理即可
得出s =
−√3m
n−√3
，结合数量积的坐标公式代入整理化简即可得出关于m 的代数式，利用已知条件结合三角形的面积公式计算出结果即可。

38．【答案】（1）由题意，双曲线 C ：y 2a 2−x 2b 2=1的离心率为 √17
4，
可得 e =c a =√1+(b a )2=√
174
，解得 b a =14，可得 a b =4，
所以双曲线 C 的渐近线方程为 y =±4x ；
（2）由抛物线 D ：y 2=2px ，可得其准线方程为 l ：x =−p
2，
代入双曲线渐近线方程 y =±4x 得 M(−p 2，−2p)， N(−p
2，2p)，
所以 MN =4p ，
则 S △MFN =12×4p ×p =8，解得 p =2，
所以抛物线 D 的方程为 y 2=4x ．
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1)根据题意由双曲线的简单性质即可求出b a =14
，再由渐近线方程代入计算出结果
即可。

(2)由抛物线的方程即可求出准线的方程，再结合已知条件求出双曲线的渐近线方程，从而得出 MN =4p ，然后由把结果代入到三角形的面积公式由此计算出P 的值，从而得出抛物线的方程。

39．【答案】【解答】以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐
标系xOy.如图所示．由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)，c ＝4.由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为
x 225+y 2
9
=1 (y≠0)． 【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【分析】利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆
的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．
40．【答案】（1）解： ∵y =2x 2 ， ∴y ′=4x ，所以，函数 y =2x 2 在点 A 处的切线斜率为
4x 1 ，
因此，函数 y =2x 2 在点 A 处的切线方程为 y −2x 12=4x 1(x −x 1) ，即 y =4x 1x −2x 1
2 （2）证明：设直线 AB 的方程为 y =kx +1 ，联立 {y =kx +1
y =2x 2 ，得 2x 2−kx −1=0 ， 由韦达定理得 x 1+x 2=k 2
， x 1x 2=−12 .
由于抛物线 y =2x 2 在点 A 处的切线方程为 y =4x 1x −2x 12 ，则该抛物线在点 B 处的切线方程为 y =4x 2x −2x 22 ，
联立 {
y =4x 1x −2x 1
2y =4x 2x −2x 2
2 ，解得 {x =x 1+x 2
2y =2x 1x 2 ， 因此，点 P 的纵坐标为 2x 1x 2=−1 （定值）。