2006年高考数学试题理科(重庆卷)

2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅．

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

k n k

k n n P P C k P --=)1()(．

一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．

（1）已知集合U ={1，2，3，4，5，6，7}，A = {2，4，5，7}，B = {3，4，5}，则（C U A ）∪（C U B ）= （A ）{1，6}

（B ）{4，5}（C ）{2，3，4，5，7}

（D ）{1，2，3，6，7}

（2）在等差数列{a n }中，若a 4+ a 6=12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为 （A ）48

（B ）54

（C ）60

（D ）66

（3）过坐标原点且与圆02

5

2422=+

+-+y x y x 相切的直线的方程为 （A ）y =－3x 或x y 31=（B ）y = 3x 或x y 31-=（C ）y =－3x 或x y 3

1

-=（D ）y = 3x 或x y 31=（4）

对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （A ）平行

（B ）相交（C ）垂直

（D ）互为异面直线

（5）若n

x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 （A ）－540 （B ）－162 （C ）162 （D ）540

（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在[56.5, 64.5]的学生人数是 （A ）20 （B ）30 （C ）40

（D ）50

（7）与向量⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=27,21,21,27b a 的夹角相等, 且模为1的向量是

（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54（B ）⎪⎭

⎫ ⎝⎛-53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-

53,54（C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322（D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322或⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-31,322

（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配 方案有

（A ）30种 （B ）90种 （C ）180种

（D ）270种

（9）如图所示, 单位圆中弧AB 的长为)(,x f x 表示弧AB 与弦AB 所围 成的弓形面积的2倍，则函数)(x f y =的图象是

（10）若a , b , c > 0且324)(-=+++bc c b a a ,则c b a ++2的最小值为 （A ）13-

（B ）13+（C ）232+

（D ）232-

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．

（11）复数 的值是_______．

（12）=+--+++∞

→1

2)

12(312

lim

n n n n _______．

（13）已知=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4cos ,13124sin ,53)sin(,,43,παπββαππβα则_______．

（14）在数列{}n a 中, 若32,111+==+n n a a a （n ≥1）, 则该数列的通项=n a _______．

（15）设,1,0≠>a a 函数)

32l g (

2

)(+-=x x

a x f 有最大值, 则不等式0)75(lo g 2

>+-x x a 的解集为

⌒ ⌒

1 + 2i

3 + i 3

_______．

（16）已知变量y x ,满足约束条件41≤+≤y x ,22≤-≤-y x , 若目标函数y ax z +=（其中0>a ）仅在点（3,1）处取得最大值，则a 的取值范围为_______．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）(本小题满分13分) 设函数2cos 3)(=x f ωx + sin ωxcos ωx + a （其中ω> 0, a ∈R ）, 且)(x f 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π/6． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果)(x f 在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-

65,3ππ上的最小值为3, 求a 的值．

（18）(本小题满分13分)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1/3, 用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数, 求： （Ⅰ）随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）随机变量ξ的期望．

（19）(本小题满分13分)如图, 在四棱锥ABCD P -中, ⊥PA 底面ABCD ,

DAB ∠为直角, ,2,//AB CD AD CD AB == E 、F 分别为PC 、CD 的中点．

（Ⅰ）试证：⊥CD 平面BEF ；

（Ⅱ）设AB k PA ⋅=, 且二面角C BD E --的平面角大于30°, 求k 的取值范围．

（20）(本小题满分13分)已知函数x

e c bx x x

f )()(2

++=, 其中R c b ∈,为常数．

（Ⅰ）若)1(42

->c b , 讨论函数)(x f 的单调性；