高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第1讲 函数及其表示 文(含解析)

第二章 函数与基本初等函数I
第1讲 函数及其表示
一、选择题
1．下列函数中，与函数y ＝
13
x
定义域相同的函数为 ( )．
A ．y ＝1
sin x
B ．y ＝ln x
x
C ．y ＝x e x
D ．y ＝sin x x
解析 函数y ＝
13
x
的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }与函数y ＝sin x x
的定义域相同，故选D.
答案 D
2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2
＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析 由x 2
＋1＝1，得x ＝0.由x 2
＋1＝3，得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个． 答案 C
3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )．
解析 根据函数的定义，观察得出选项B. 答案 B
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
|lg x |，0<x ≤10，－1
2x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，
则abc 的取值范围是
( )．
A ．(1,10)
B ．(5,6)
C ．(10,12)
D ．(20,24)
解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ，∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图可知0<a <1,1<b <10,10<c <12. ∵f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |，
∴lg a ＝－lg b ，即lg a ＝lg 1b ⇒a ＝1b
，
∴ab ＝1,10<abc ＝c <12.故应选C. 答案 C
5．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ，a －
b ≤1，
b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2
)，
x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．
A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32
B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，＋∞ 解析 当(x 2－2)－(x －x 2)≤1，即－1≤x ≤32时，f (x )＝x 2
－2；
当x 2－2－(x －x 2)＞1，即x ＜－1或x ＞32时，f (x )＝x －x 2
，
∴f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
－2 ⎝
⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤32，x －x 2
⎝
⎛⎭⎪⎫x ＜－1或x ＞32，
f (x )的图象如图所示，c ≤－2或－1＜c ＜－3
4
.
答案 B
6.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数的图象为（ ）
解析 注意本题中选择项的横坐标为小王从出发到返回原地所用的时间，纵坐标是经过的路程，故选D. 答案 D 二、填空题
7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出，
则f [g (1)]的值为________________．
解析 ∵g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1，由表格可以发现g (2)＝2，f (2)＝3，∴f (g (2))＝3，g (f (2))＝1. 答案 1 2
8．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2
)>f (2x )的x 的取值范围是
________．
解析 由题意有⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x 2
>0，
2x <0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x 2
>2x ，
2x ≥0解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x
的取值范围为(－1，2－1)． 答案 (－1，2－1)
9.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)= 2
log
f(x)的定义域是______.
解析 要使函数有意义，须f(x)＞0，由f(x)的图象可知, 当x ∈(2,8］时，f(x)＞0. 答案 (2,8］
10．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题： ①函数f (x )＝x 2
(x ∈R)是单函数；
②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)
解析 对①，f (x )＝x 2
，则f (－1)＝f (1)，此时－1≠1，则f (x )＝x 2
不是单函数，①错；对②，当x 1，x 2∈A ，f (x 1)＝f (x 2)时有x 1＝x 2，与x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)互为逆否命题，②正确；对③，若b ∈B ，b 有两个原象时．不妨设为a 1，a 2可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；对④，f (x )＝x 2
在(0，＋∞)上是单调递增函数，但f (x )＝x 2
在R 上就不是单函数，④错误；综上可知②③正确． 答案 ②③ 三、解答题
11．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1，1≤x ≤2，
x －1，2<x ≤3，g (x )＝f (x )－ax ，
x ∈[1,3]，其中a ∈R ，记函数g (x )的最大值与最小值的差为h (a )．
(1)求函数h (a )的解析式；
(2)画出函数y ＝h (x )的图象并指出h (x )的最小值．
解 (1)由题意知g (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－ax ，1≤x ≤2，
1－a x －1，2<x ≤3，
当a <0时，函数g (x )是[1,3]上的增函数，此时g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，g (x )min ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝1－2a ；
当a >1时，函数g (x )是[1,3]上的减函数，此时g (x )min ＝g (3)＝2－3a ，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝2a －1；
当0≤a ≤1时，若x ∈[1,2]，则g (x )＝1－ax ，有g (2)≤g (x )≤g (1)；
若x ∈(2,3]，则g (x )＝(1－a )x －1，有g (2)<g (x )≤g (3)，因此g (x )min ＝g (2)＝1－2a ，而g (3)－g (1)＝(2－3a )－(1－a )＝1－2a ，
故当0≤a ≤1
2时，
g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，有h (a )＝1－a ；
当1
2
<a ≤1时，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，有h (a )＝a . 综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1－2a ，a <0，
1－a ，0≤a ≤12
，a ，1
2<a ≤1，2a －1，a >1.
(2)画出y ＝h (x )的图象，如图所示，数形结合可得h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
2
.
12．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝
lg
4－x
x －3
；
(2)y ＝25－x 2
－lg cos x ； (3)y ＝lg(x －1)＋lg
x ＋1x －1＋1
9－x
. 解 (1)⎩⎪⎨
⎪
⎧
4－x ＞0x －3≠0
，⇒x ＜4且x ≠3，
故该函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
(2)⎩
⎪⎨
⎪⎧
25－x 2
≥0，cos x ＞0，即⎩
⎪⎨⎪
⎧
－5≤x ≤5，2k π－π2＜x ＜2k π＋π
2，k ∈Z ，
故所求定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤3π2，5. (3)⎩⎪⎨⎪⎧
x －1＞0，
x ＋1
x －1＞0，9－x ＞0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＞1，x ＞1，x ＜9
或x ＜－1，解得1＜x ＜9.
故该函数的定义域为(1,9)．
13. 设x ≥0时，f(x)=2;x ＜0时，f(x)=1，又规定：g(x)= ()()
3f x 1f x 22
---
(x ＞0)，试写出y=g(x)的解析式，并画出其图象. 解 当0＜x ＜1时，x-1＜0,x-2＜0, ∴g(x)=
31
2-=1. 当1≤x ＜2时，x-1≥0，x-2＜0, ∴g(x)=
615
22-=; 当x ≥2时，x-1＞0，x-2≥0, ∴g(x)=
62
2
-=2. 故g(x)=1
(0x 1)5
(1x 2),22
(x 2)
⎧⎪⎪
≤⎨⎪≥⎪⎩＜＜＜ 其图象如图所示.
14．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；
(2)在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围．
解 (1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2
＋b (x
＋1)＋1－(ax 2
＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧
2a ＝2，
a ＋
b ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1，
故f (x )＝x 2
－x ＋1.
(2)由题意，得x 2
－x ＋1>2x ＋m ，即x 2
－3x ＋1>m ，对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x
2
－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min >m ，又因为g (x )在[－1,1]上递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－1，故m <－1.。