一元二次方程二次项系数为1的配方法.2.1配方法
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( x 3) 2 15, 开平方，得x 3 15, x1 3 15, x2 3 15.
（2）移项，得
2 x 2 x 2 4 x 1 2
x2 4x 1
配方，得
开平方，得
( x 2) 2 5
x2 5
x1 2 5 , x2 2 5.
独立 作业
w１．根据题意，列出方程：
知识的升华
35m
w1.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部 分栽种花草,在使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应是多少？
w解：设道路的宽为 x m，根据题意得 w(35-x) (26-x) ＝850. w即 wx2 - 61x－60 ＝0. wx1 ＝1; wx2 ＝60(不合题意,舍去).
【规律方法】利用配方法解一元二次方程的步骤： （1）移项：把常数项移到方程的右边; （2）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半 的平方;
（3）变形：方程左边分解因式,右边合并同类项;
（4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转
化为两个一元一次方程；
（5）求解：解一元一次方程； （6）定解：写出原方程的解．
2
【例题】 解方程：x2+8x-9=0． 解：把常数项移到方程的右边，得 x2+8x＝9
两边都加上42，（一次项系数8的一半的平方）得
x2+8x＋42=9＋42. 即 即 （x+4）2=25 x+4=5,或x+4=-5. 两边开平方，得 x+4=±5,
所以
x1=1,x2=-9.
我们通过配成完全平方 式的方法,得到了一元二 次方程的根,这种解一元 二次方程的方法称为配 方法solving by completing the square
第二章 一元二次方程
2.2.1 配方法（一）
回顾与复习
w平方根的意义:
你还认识“老朋友” 吗 如果x =a,那么x= a . 如:如果 x =5,那么x=
2 2
5.
w完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2. w如:x2+12x+ w旧意新释: w (1).解方程 (1) x2=5. =(x+6)2; x2-4x+ =(x)2; x2+8x+ =(x+ )2.
1．配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全 平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平 方即可求出它的解．
2．配方法解一元二次方程应注意什么问题？
关键的一步就是配方，两边都加上一次项系数绝对
值的一半的平方．
只有不努力的学生，没有读不了书的学生。
w你还能规范解下列方程吗? w解方程 (2) x2=4. w 解方程 (3) (x+2)2=5. w 解方程 (4) x2+12x+36=5. w 解方程 (5) x2+12x= -31. w 解方程 (6) x2+12x-15=0. w 解方程 (7) x2+8x-9=0.
w老师提示: w这里是解一元二次方程的 基本格式,要按要求去做.
x1 51 6, x2 51 6 所以： 但因为x表示梯子底部滑动的距离,
所以 x2 51 6 ＜ 0不合题意舍去。
答：梯子底部滑动的距离是 ( 51 6)米。
解一元二次方程的思路是将方程化为(x+m)2=n的形 式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常 数，当n≥0时，两边开平方转化为一元一次方程， 便可求出它的根．
解题过程,求出x的精确解吗?你认为用这种方法
解这个方程的困难在哪里? (小组交流）
将方程转化为（x+m)2=n(n≥0)的形式是解本题的难
点，这种方法叫配方法．
（3）解梯子底部滑动问题中的x满足的方程： x2+12x-15=0
解：移项得 x2+12x=15， 两边同时加上62得，x2+12x+62=15+36， 即(x+6)2=51 两边开平方，得 x 6 51
解 : 1.x x x1 x2
来自百度文库
2
5. 5, 5, 5.
（2）你会解下列一元二次方程吗？ x2=5 x2+2x+1=5 2x2+3=5 (x+6)2+72=102 （3）上节课我们研究梯子底端滑动的距离x(m)
满足方程x2+12x-15=0,你能仿照上面几个方程的
26m
w解这个方程,得
w答:道路的宽应为1m.
【跟踪训练】
2.解下列方程: (1) x 2 6 x 6 0 (2) 2 x 2 4 x 2 x 2 1
解：(1)移项 ，得 x 2 6 x 6 配方，得
x 2 6 x ( 3) 2 6 ( 3) 2
做一做：填上适当的数，使下列等式成立 1．x2+12x+
62 32 22
=(x+6)2
2．x2-6x+
3．x2-4x+ 4．x2+8x+
=(x-3)2
=(x 2 )2
42
=(x + 4 )2
问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关 系？对于形如x2+ax的式子如何配成完全平方式？
a 2 a 2 x ax ( ) ( x ) 2 2
3.若n(n0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值
为
答案：2.
．
4.一元二次方程2 x 2 6 0 的解为 ____________． 【解析】∵一元二次方程 2 x 2 ∴ x2 3 x2= 6 0=3 ∴x= ∴x1= ， － 3 3 答案：x1= ， 3 3 x 2 =－
（2）移项，得
2 x 2 x 2 4 x 1 2
x2 4x 1
配方，得
开平方，得
( x 2) 2 5
x2 5
x1 2 5 , x2 2 5.
独立 作业
w１．根据题意，列出方程：
知识的升华
35m
w1.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部 分栽种花草,在使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应是多少？
w解：设道路的宽为 x m，根据题意得 w(35-x) (26-x) ＝850. w即 wx2 - 61x－60 ＝0. wx1 ＝1; wx2 ＝60(不合题意,舍去).
【规律方法】利用配方法解一元二次方程的步骤： （1）移项：把常数项移到方程的右边; （2）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半 的平方;
（3）变形：方程左边分解因式,右边合并同类项;
（4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转
化为两个一元一次方程；
（5）求解：解一元一次方程； （6）定解：写出原方程的解．
2
【例题】 解方程：x2+8x-9=0． 解：把常数项移到方程的右边，得 x2+8x＝9
两边都加上42，（一次项系数8的一半的平方）得
x2+8x＋42=9＋42. 即 即 （x+4）2=25 x+4=5,或x+4=-5. 两边开平方，得 x+4=±5,
所以
x1=1,x2=-9.
我们通过配成完全平方 式的方法,得到了一元二 次方程的根,这种解一元 二次方程的方法称为配 方法solving by completing the square
第二章 一元二次方程
2.2.1 配方法（一）
回顾与复习
w平方根的意义:
你还认识“老朋友” 吗 如果x =a,那么x= a . 如:如果 x =5,那么x=
2 2
5.
w完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2. w如:x2+12x+ w旧意新释: w (1).解方程 (1) x2=5. =(x+6)2; x2-4x+ =(x)2; x2+8x+ =(x+ )2.
1．配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全 平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平 方即可求出它的解．
2．配方法解一元二次方程应注意什么问题？
关键的一步就是配方，两边都加上一次项系数绝对
值的一半的平方．
只有不努力的学生，没有读不了书的学生。
w你还能规范解下列方程吗? w解方程 (2) x2=4. w 解方程 (3) (x+2)2=5. w 解方程 (4) x2+12x+36=5. w 解方程 (5) x2+12x= -31. w 解方程 (6) x2+12x-15=0. w 解方程 (7) x2+8x-9=0.
w老师提示: w这里是解一元二次方程的 基本格式,要按要求去做.
x1 51 6, x2 51 6 所以： 但因为x表示梯子底部滑动的距离,
所以 x2 51 6 ＜ 0不合题意舍去。
答：梯子底部滑动的距离是 ( 51 6)米。
解一元二次方程的思路是将方程化为(x+m)2=n的形 式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常 数，当n≥0时，两边开平方转化为一元一次方程， 便可求出它的根．
解题过程,求出x的精确解吗?你认为用这种方法
解这个方程的困难在哪里? (小组交流）
将方程转化为（x+m)2=n(n≥0)的形式是解本题的难
点，这种方法叫配方法．
（3）解梯子底部滑动问题中的x满足的方程： x2+12x-15=0
解：移项得 x2+12x=15， 两边同时加上62得，x2+12x+62=15+36， 即(x+6)2=51 两边开平方，得 x 6 51
解 : 1.x x x1 x2
来自百度文库
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5. 5, 5, 5.
（2）你会解下列一元二次方程吗？ x2=5 x2+2x+1=5 2x2+3=5 (x+6)2+72=102 （3）上节课我们研究梯子底端滑动的距离x(m)
满足方程x2+12x-15=0,你能仿照上面几个方程的
26m
w解这个方程,得
w答:道路的宽应为1m.
【跟踪训练】
2.解下列方程: (1) x 2 6 x 6 0 (2) 2 x 2 4 x 2 x 2 1
解：(1)移项 ，得 x 2 6 x 6 配方，得
x 2 6 x ( 3) 2 6 ( 3) 2
做一做：填上适当的数，使下列等式成立 1．x2+12x+
62 32 22
=(x+6)2
2．x2-6x+
3．x2-4x+ 4．x2+8x+
=(x-3)2
=(x 2 )2
42
=(x + 4 )2
问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关 系？对于形如x2+ax的式子如何配成完全平方式？
a 2 a 2 x ax ( ) ( x ) 2 2
3.若n(n0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值
为
答案：2.
．
4.一元二次方程2 x 2 6 0 的解为 ____________． 【解析】∵一元二次方程 2 x 2 ∴ x2 3 x2= 6 0=3 ∴x= ∴x1= ， － 3 3 答案：x1= ， 3 3 x 2 =－