2019-2020学年上海市实验学校高一下学期期末数学试题解析

绝密★启用前
数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：________
题号 一 二 三 四 总分 得分
一、单选题
1．已知函数()sin()(0,)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）
A ．
4
π
B ．
2
π C ．2
π-
D ．3
π-
答案：C
由函数()()(0)f x sin x ，
ωϕωϕπ=+><的图象可知： T π=，2ω=
122f ππϕ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
故选C
2．用数学归纳法证明
()*111
111
123
24
n n N n n n n ++++
≥+++∈+时，由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的项是（ ）
A ．1
21
k + B ．
11211
k k -
++ C ．11
2122k k +++ D ．11
2122
k k -++ 答案：D
分别写出不等式在n ＝k ，n ＝k +1时的式子，两式相减，即可得到所求结论． 解：
当n ＝k 时，有不等式
11111112324
k k k k k ++++≥++++， 当n ＝k +1时，不等式为
11111123212224
k k k k ++++≥++++， 将上面两式的左边相减可得，由n ＝k 到n ＝k +1时，不等式左边应添加的项是
11111
212212122
k k k k k +-=-
+++++. 故选：D 点评：：
本题考查数学归纳法的运用，考查由n ＝k 到n ＝k +1时，不等式的左边的变化，考查运算能力，属于基础题． 3．将函数sin(2)3y x π
=-
图象上的点(,)4
P t π
向左平移s （0s >） 个单位长度得到
点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A ．12
t =
，s 的最小值为6π
B ．32
t =
，s
的最小值为6π
C ．12
t =
，s 的最小值为3π
D ．32
t =
，s
的最小值为3π
答案：A 解：
由题意得，1
sin(2)432
t π
π=⨯
-=， 可得，
因为
P'位于函数sin 2y x =的图象上
所以
，
可得，
s 的最小值为，故选A.
【名师点睛】
三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.
4．对于数列12,,
x x ，若使得0n m x ->对一切*n N ∈成立的m 的最小值存在，则称
该最小值为此数列的“准最大项”，设函数()()sin f x x x x R =+∈及数列12,,
y y ，
且()1006y y y R =∈，若()()
1*11
22n n n n n
n n n f y y y y n N f y y y ππ-+-⎧≥⎪
=∈⎨
⎛⎫+-< ⎪
⎪⎝
⎭⎩
，则当01y =时，下列结论正确的应为（ ） A ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为2π B ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为3π C ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为4π D ．数列12,,y y 的“准最大项”不存在
答案：B
首先求得1y ，2y ，3y 的范围，运用导数判断()f x 的单调性，考虑当3n 时，数列{}n y 的单调性，即可得到所求m 的最小值． 解：
1006()y y y R =∈，
若111()
()(*)()()
22n n n n n n n f y y y y n N f y y y ππ
-+-⎧⎪
=∈⎨+-<⎪⎩
，
当01y =，可得16y =，
2y f =（6）16sin 6y =+<，
322222()sin()cos (2,3)22222
y f y y y y y πππππ
ππ=+-=+++-=+∈， 由()sin f x x x =+的导数为()1cos 0f x x '=+， 可得()f x 在R 上递增，
当(2,3)x ππ∈，2sin (3)3x x x f πππ<<+<=， 可得当3n 时，13n n y y π+<<， 可得3m π， 数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为3π，
故选：B ． 点评：：
本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：判断单调性，以及三角函数的图象和性质，属于难题．
二、填空题
5．57lim 57n n
n n
n →∞-=+________.
答案：1-
由极限公式中分子、分母同时除以7n ，可得5
()1
7lim 5()17
n n n →∞-+，又由5lim()07
n n →∞=即可求得
结果 解：
5
()1
577lim lim 557()17
n n
n
n n n n n →∞→∞--=++，而5lim()07
n n →∞= ∴57lim 157n n
n n
n →∞-=-+ 故答案为：1- 点评：：
本题考查了极限，根据一个大于1小于0的数，其指数趋于无穷大时极限为0，将极限公式变形求结果，属于简单题 6．函数()2
2cos 31y x π=-的最小正周期为________.
答案：
1
3
由余弦的倍角公式知cos(6)y x π=，结合最小正周期2||
T π
ω=即可求出最小正周期 解：
()22cos 31cos(6)y x x ππ=-=
由余弦函数的最小正周期2||T πω=
知：21
63
T ππ=
= 故答案为：1
3
点评：：
本题考查了已知三角函数求最小正周期，首先根据三角恒等变换中的余弦倍角公式化简，再结合三角函数的周期公式求最小正周期
7
．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边. 若222b c a +-=，则
A ∠=________
答案：
4
π
∵222b c a +-=
∴根据余弦定理可得222cos 222
b c a A bc bc +-===
∵(0,)A π∈ ∴4
A π
∠=
故答案为4
π
.
8．数列{}n a 的前n 项和23n
n S =+，则其通项公式n a =________.
答案：1
5,
12,2n n n -=⎧⎨
≥⎩
当1n =时，115a =S =；当2n ≥时，1
12n n n n a S S --=-=；得到答案.
解：
当1n =时，11235a =S =+=；
当2n ≥时，11
123232n n n n n n a S S ---=-=+--=；
故15,
12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩
故答案为：1
5,
12,2n n n -=⎧⎨≥⎩
点评：：
本题考查了数列的通项公式，没有考虑1a 的情况是容易发生的错误. 9．求和：11
1112123
123n
++++
=++++++
+___________ ．
答案：
21
n
n +
易知该数列的通项1211
2()123(1)1
n a n
n n n n ==
=-+++
+++，故该数列的前n 项
和111
112123123n +
+++++++++为1111111122[(1)()()()]2[1]22334111
n
n n n n -+-+-++-=-=
+++ 10．已知数列{}n a 的前n 项和4n
n S t =+，若{}n a 为等比数列，则t =________. 答案：1-
由等比数列的前n 项和4n
n S t =+，可得数列的前三项，再根据等比数列的定义可得
12484412
t ==+，由此可得结果． 解：
由等比数列的前n 项和4n
n S t =+，可得首项114a S t ==+，
()221161612a S S t t =-=+-+=， ()332641648a S S t t =-=+-+=，
再由等比数列的定义可得1248
4412
t ==+，解得t =−1，经检验符合题意. 故答案为：−1. 点评：：
本题主要考查等比数列的定义，考查等比数列的项与前n 项和的关系，属于基础题.
11．设无穷数列{}n a 的公比为q ，若()245lim n n a a a a →∞
=+++，则q =________.
答案：
1
2
推导出3111(1)(1)
lim[]11n n a q a q a q q q
→∞--=---，从而||1q <，31111q q q q -=---，由此能求出结果． 解：
无穷数列{n a } 的公比为q ，2lim n a →∞
= 45(...n a a a +++ )， 3111(1)(1)
lim[]11n n a q a q a q q q →∞--∴=---，
||1q ∴<，3
1111q q q q
-=---， 由0q ≠，整理，得2
10q q +-=，
由||1q <
．
． 点评：：
本题考查等比数列的公比的求法，考查数列极限以及等比数列的求和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2018
＝2，则20172019
12a a +的最小值为________. 答案：4
先通过均值不等式求出2017
2019
12a a +
≥再由等比数列等比中项即可求解。

解：
∵{a n }为等比数列，
2201720192018a a a ∴⋅=
2017
2019124a a ∴
+
≥==
当且仅当
2017
2019
12
a a =
220191702a a =时，取得等号.
∴
2017
2019
12a a +
的最小值为4.
点评：：
此题考查数列的取值范围问题，注意等比中项和均值不等式的使用，属于较易题目。

13．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =. 若B 为钝角，1
cos 24
C =-，则ABC ∆的面积为________
21
2124
cos C sin C =-=-，0C π<<
sin C ∴=
2a =，2sinA sinC =
由正弦定理
sin sin a C A C =可得：sin 24sin a C
c a A
=== 21
2214
cos C cos =-=-，0C π<<
cosC ∴=
由余弦定理可知2222cos c a b ab C =+-可得：
2120b --=
解得b =1
sin 2
ABC
S
ab C =
= 点睛：本题主要考查的知识点是正弦定理和余弦定理．直接利用倍角公式求出sin C 的值，然后利用2a =，2sinA sinC =根据正弦定理求出c 的值，再由二倍角的余弦函数公式化简已知等式求出cosC 的值，由a ，c 及cosC 的值利用余弦定理列出关于b 的方程，求出b 的值，利用三角形面积公式即可求出答案 14．已知函数()()[]5sin 2,0,,0,52f x x x πθθπ⎛
⎤
=-∈∈ ⎥⎝
⎦
，若函数()()3
F x f x =-的所有零点依次记为123,,,
,n x x x x 且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，若
123212222n n x x x x x --+++
++83
2
n x π+=
，则θ=__________. 答案：
9
π 由题意，令2,2
x k k Z π
θπ-=
+∈，解得,4
2
2
k x k Z π
θ
π
=
+
+
∈. ∵函数()f x 的最小正周期为22T π
π=
=，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，[]0,5x π∈ ∴当0k =时，可得第一个对称轴4
2
x π
θ
=
+
，当9k =时，可得19542
x πθ
π=
+≤. ∴函数()f x 在[]
0,5π上有9条对称轴
根据正弦函数的图象与性质可知：函数()()5sin 2f x x θ=-与3y =的交点有9个点，即12,x x 关于4
2
x π
θ
=
+
对称，23,x x 关于342
x πθ
=
+对称，…，即
122()42x x πθ+=⨯+，2332()42x x πθ+=⨯+，…，1172()42
n n x x πθ
-+=⨯+.
∵123218322222
n n n x x x x x x π--++++++= ∴317832()4242422
πθπθπθπ
⨯++++⋅⋅⋅++=
∴9
πθ=
故答案为
9
π. 点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到1n x -与n x 的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.
三、解答题
15．如图，在梯形ABCD 中，AB a =，BC b =，1
2
CD a =-
，G 为对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，求向量EF 和AG （结果用向量a 、b 表示）.
答案：34EF a =
，()
2
3
AG a b =+. 在梯形ABCD 中，由E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，即有1
()2
EF DC AB =
+、△DGC 与△BGA 相似，结合已知条件及向量的加法的几何应用，即可求EF 和AG 解：
∵在梯形ABCD 中，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点且12CD a =-即1
2
DC a =，AB a = ∴1113
()()2224
EF DC AB DC AB a =+=+=，△DGC 与△BGA 相似且相似比为1:2
∴2
3
AG AC =
，而AC AB BC =+ 故，有()
2
3
AG a b =+ 点评：：
本题考查了向量的几何应用，由几何图形中代表各线段的已知向量，结合相似三角形的
线段比例关系、向量的加法三角形法则求目标向量
16．已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列{}n c 对任意*n N ∈，都有
12
12
222n
n n
c c c a ++++
=成立，求122012c c c +++的值.
答案：（1）n a n =；（2）20132.
（1）由等比中项的性质列出关于公差d 的方程，解方程可得d 的值，代入等差数列的通项公式化简； （2）由（1）化简
12
1222
2
n
n n c c c a ++++
=，令n 取n ﹣1代入列出一个式子，两个式子相减即可求出c n ，由等比数列的前n 项和公式求出122012c c c +++的值．
解：
（1）设递增的等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0， ∵a 1、a 2、a 4成等比数列，∴a 22＝a 1a 4， ∴（1+d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝1， ∴数列{a n }的通项公式为：a n ＝1+n ﹣1＝n ； （2）由（1）得，12
12
222n
n n
c c c a ++++
=， 则
12
2222
n n c c c +++=n +1，① 当n ≥2时，11221
222n n c c c n --+++=，② ①﹣②得，12n n c
=，所以c n ＝2n ， 当n ＝1时，122
c
a =，则c 1＝4不满足上式，
所以122012c c c +++＝4+22+23+…+20122
＝2＋
()20122013212212
-=-
点评：：
本题考查等比中项的性质，等差数列的通项公式，以及等比数列的前n 项和公式，注意检验首项，是易错题，属于中档题．
17．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n 个月从事
旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()cos()f n A wn k θ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[1,12]n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0w >，(0,)θπ∈. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ① 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人； ③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. （1）试根据已知信息，求()f n 的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由. 答案：(1)()2200cos 3006
3f n n π
π⎛⎫
=+
+
⎪⎝⎭
；(2)答案见解析. 试题分析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为12的周期函数，进而求得w ，利用规律②③可求得三角函数解析式中的振幅A ，k 和θ，则函数的解析式可得；（2）利用余弦函数的性质根据题意求得2cos(
)6
3
n π
π
+
的范围，进而求得n 的范围，再根据[]1,12n ∈，*n N ∈，进而求得n 的值.
试题解析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为12的周期函数，所以6
w π
=
.
∵该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人，2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人 ∴500100A k k A +=⎧⎨
-=⎩，解得200
300A k =⎧⎨=⎩
.
∵最少的2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人 ∴200cos(
2)3001006π
θ⨯++=，即cos()13
π
θ+=-.
∵()0,θπ∈ ∴23
πθ=
∴2()200cos(
)3006
3
f n n π
π
=+
+ （2）令()cos()400f n A wn k θ=++≥ ∴21cos(
)6
32
n π
π+
≥ ∴[126,122]()n k k k Z ∈--∈
∵[1,12]n ∈ ∴[6,10]n ∈ ∴6,7,8,9,10n =
答：一年中6,7,8,9,10月是该地区的旅游“旺季”.
18．对于任意n ∈*N ，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”. （1）已知数列：1，|1|m +，2m 是“K 数列”，求实数m 的取值范围；
（2）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当首项1a 与公差d 满足什么条件时，数列{}n S 是“K 数列”？
（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且11232n n S S a +-=，n ∈*N . 设
1(1)n n n n c a a λ+=+-，是否存在实数λ，使得数列{}n c 为“K 数列”. 若存在，求实数λ的
取值范围；若不存在，请说明理由.
答案：(1)2m >或3m <-；(2) 11a d +>且0d ≥；(3) 53
6
λ>. 解：
（1）由题意可得2111
11m m m ⎧+->⎪⎨-+>⎪⎩
.
23m m ∴><-或
（2）1(1)2
n n n d
S na -=+
， 数列{}n S 是“K 数列”；
∴ 11n n S S +->
11n a +∴>
∴11a nd +>对*n N ∈恒成立
0d ∴≥
∴11a d +>且0d ≥ （3）∵11232n n S S a +-= ∴11232(2)n n S S a n --=≥ ∴123(2)n n a a n +=≥
∵2123a a =也成立 ∴123(1)n n a a n +=≥
∴13
2
n n a a += ∴数列{}n a 是公比为3
2
的等比数列 ∵11a = ∴1
3()
2
n n a -=
∴1
33
()
(1)()2
2n n n n c λ-=⋅+-⋅
由题意得：11n n c c +->，即111353()(1)()12222n n n λ-+⋅⋅+-⋅⋅>. 当n 为偶数时，12152()32n λ->⋅+恒成立，53
6λ>
； 当n 为奇数时，12152()32n λ->⋅-恒成立，11
2
λ>-.
综上，536
λ>. 19．已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足()
*11
12
n n A A n n N n +-=+∈，且11a =，数列{}n b 满
足(
)*
2120n n n b b b n N
++-+=∈，3
2b
=，其前9项和为36.
（1）当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1a ，1b ，2b ，2a ，3a ，3b ，4b ，4a ，5a ，
5b ，…，求该数列的前n 项和n S ；
（2）设1
n n n
c a b =
+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数l 、
()m k l m <<，使得k c 、l c 、m c 成等差数列？若存在，求出l 、m （用k 表示），若不
存在，请说明理由.
答案：（1）2
2
2,243
,4141
,414n n n k n S n k n n k ⎧=⎪⎪+⎪==-⎨⎪⎪-=-⎪⎩
，*k N ∈；（2）存在；21l k =-，2452m k k =-+.
（1）根据通项公式与求和公式的关系求出n a n =，利用等差数列基本量运算求得
1n b n =-，利用分类讨论思想求出结果．
（2）由（1）可知：1
21
n c n =-，若对于任意给定的正整数(2)k k 存在正整数l ，()m k l m <<，
使得k c ，l c ，m c 成等差数列，利用分类讨论思想和整除问题，结合反证法可得结果． 解：
（1）因为11
12n n A A n n +-=+， 于是数列{}n A
n
是首项为1，公差为 的等差数列，
所以
1122
n A n n =+， 则：(1)
2
n n n A +=
， 当2n 时，1n n n a A A n -=-=， 又因为11a =， 所以n a n =，
又因为2120n n n b b b ++-+=， 于是数列{}n b 是等差数列， 设{}n b 的前n 项和为n B ， 由于95936B b ==， 则：54b =， 由于：32b =， 则：5322d b b =-=， 解得：1d =．
所以：2(3)1n b n n =+-=-；
当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上； 当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，
可以得到一个新的数列：1a ，1b ，2b ，2a ，3a ，3b ，4b ，4a ，5a ，5b ，⋯，
则：数列{}n a 的前n 项和(1)
2
n n n B -=
． 当2n k =时，22(1)(1)
22
n k k k k k k k S S A B k +-==+=+=． 当43n k =-时，
2432122(21)(23)(1)463n k k k S S A B k k k k k k ---==+=-+--=-+．
当41n k =-时，2
41212(21)(21)42n k k k S S A B k k k k k k --==+=-+-=-；
进一步整理得：22
2(2)
463(23)
42(41)n k n k k k n k S k k
n k ⎧=⎪-+=-⎪=⎨-=-⎪⎪⎩
．
（2）由（1）可知：1
21
n c n =-，
若对于任意给定的正整数(2)k k 存在正整数l ，()m k l m <<， 使得k c ，l c ，m c 成等差数列． 则：2l m k c c c =+， 即：
211
212121
l k m =+---， 解得：2
22(21)1421421
kl k l k m k k l k l +--==-+----，
即：2
(21)1421
k m k k l -=+---．
则对于任意的正整数(2)421k k k l --能整除2
(21)k -，且4210k l -->．
由于当2k 时，21k -中存在多个质数． 所以：421k l --只能取1和21k -或2
(21)k -． 若4211k l --=时，则21l k =-，2452m k k =-+． 于是，2
473(43)(1)0m l k k k k -=-+=-->， 符合k l m <<．
若42121k l k --=-时，k l =出现矛盾， 则舍去．
若2
421(21)k l k --=-， 则：2m k +=，
于是0m ， 出现矛盾，故舍去．
综上所述：当2k 时，存在正整数21l k =-，2452m k k =-+， 满足k l m <<，使得k c ，l c ，m c 成等差数列． 点评：：
本题考查的知识要点：通项公式与求和公式的关系，等差数列基本量运算，整除问题，以及分类讨论思想和反证法的应用，同时考查了运算求解能力与转化思想，属于综合题． 20．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足()2
41n n S a =+，数列{}
n b 满足12b =，24b =，且等式2
11n n n b b b -+=对任意2n ≥成立.
（1）将数列{}n a 与{}n b 的项相间排列构成新数列1122,,,,,,,
n n a b a b a b ，设该新数
列为{}n c ，求数列{}n c 的通项公式和前2n 项的和2n T ；
（2）对于（1）中的数列{}n c 的前n 项和n T ，若n n T c λ≥⋅对任意*n N ∈都成立，求实数λ的取值范围.
答案：（1）2,212,2n n n n k c n k
=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，*k N ∈，21
222n n T n +=+-；（2）1λ≤.
（1）由24(1)n n S a =+，1n =时，2
114(1)a a =+，解得1a ．2n 时，144()n n n a S S -=-，
化为：11()(2)0n n n n a a a a --+--=，可得12n n a a --=，利用等差数列的通项公式可
得n a ，数列{}n b 满足12b =，24b =，且等式2
11n n n b b b -+=对任意2n 成立，利用等比
数列的通项公式可得n b ，进而得出n c ，分组求和可得2n T ；
（2）由n n T c λ，结合（1）对n 分奇数偶数两种情况讨论，分别转化为不等式恒成立，结合数列的单调性即可得出． 解：
（1）由2
4(1)n n S a =+，
1n =时，2
114(1)a a =+，解得11a =．
2n 时，221144()(1)(1)n n n n n a S S a a --=-=+-+，
化为：11()(2)0n n n n a a a a --+--=，
数列{}n a 的各项均为正数，10n n a a -∴+>，
12n n a a -∴-=，
∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为2．
12(1)21n a n n ∴=+-=-．
数列{}n b 满足12b =，24b =，且等式2
11n n n b b b -+=对任意2n 成立．
∴数列{}n b 是等比数列，首项为2，公比为
4
22
=． 2n n b ∴=．
2,212,2n n n n k c n k
=-⎧⎪
∴=⎨⎪=⎩，*k N ∈．
212(121)2(21)
22221
n n n n n T n ++--∴=+=+--．
（2）n n T c λ，
2n k =时，2122
2k k
k λ
++-的最小值， 212222()222k k k
k k f k ++--==+，
2k 时单调递减，22225
()222
f k -∴+=．
1k =时，f （1）1423
22
+-=
=． 3
2
λ
∴． 21n k =-时，11
n n n
T c c λ
++-的最小值， 同理可得：1λ．
综上可得：实数λ的取值范围是1λ． 点评：：
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。