2020年湖南省长沙市黄冈中学网校高三数学文下学期期末试卷含解析

2020年湖南省长沙市黄冈中学网校高三数学文下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 抛物线y=4x2关于直线x﹣y=0对称的抛物线的准线方程是( )
A．y=﹣B．y=C．x=D．x=﹣
参考答案：
D
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先求出抛物线y=4x2的准线l，然后根据对称性的求解l关于直线y=x对称的直线，即为抛物线y=4x2关于直线x﹣y=0对称的抛物线的准线方程．
解答：解：∵y=4x2的标准方程为：x2=，
∴其准线方程为y=﹣，
y=﹣关于y=x对称方程为x=﹣．
所以所求的抛物线的准线方程为：x=﹣．
故选：D
点评：本题主要考查了抛物线的准线，曲线关于直线对称的求解，属于对基础知识的考查．
2. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的
成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为 16.8，则的值分别为（）
A． 5,2 B． 5,5 C． 8,5 D．8,8
参考答案：
C
略
3. 函数的定义域为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
试题分析：函数有意义等价于，所以定义域为，故选D.
考点：函数的定义域.
4. 如图，在三棱锥S—ABC中，SA丄平面ABC,SA = 3，AC=2，AB丄BC，点P是SC的中点，则异面直线SA与PB所成角的正弦值为
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
D
5. 已知集合，则等于（）
A． B.
C． D.
参考答案：
C
6. 函数，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
7. 现从甲、乙、丙、丁、戌5名同学中选四位安排参加志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作有一人参加。

甲不会开车、乙不会翻译，但都能从事其他三项工作，而丙丁戌能胜任全部四项工作，则不同安排方案的种数是
A．108 B．78 C．72 D．60
参考答案：
B
略
8. 已知等差数列的前项和为，又知，且，，则
为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
考点：定积分，等差数列的性质
9. 有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A 股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）
A．7 B．6 C．5 D．4
参考答案：
A
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】由题意作出文氏图，能求出只持有B股票的股民人数..
【解答】解：由题意作出文氏图，如下：
其中m+n+p=7．
∴只持有B股票的股民人数是7人．
故选：A．
10. 已知等比数列{a n}的各项均为正数，，则的最小值为（）
A. B. C. 10 D. 20
参考答案：
D
【分析】
根据基本不等式以及等比数列性质求最值.
【详解】因为，所以的最小值为20，
故选D
【点睛】本题考查基本不等式求最值以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 以下四个命题中：
①从20名老人，40名中年人，50名青年人中按分层抽样的办法选出22人作为代表参加一次关于环保的问题的问卷调查，那么在选出的22人中有8名中年人.
②若 则 ③集合
，
，则集合
④.
其中真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号） 参考答案： ①④
12. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若，则△ABC 周长的
最大值为 .
参考答案：
6
13. 已知函数f (x)
＝ax2＋bx ＋与直线y ＝x 相切于点A(1,1)，若对任意
x ∈[1,9]，不等式f (x －t)≤x
恒成立，则所有满足条件的实数t 组成的集合为__________．
参考答案：
{4} 略
14. 若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为 ，切线方
程为 ． 参考答案： （1，2），
15. 若直线的参数方程为，则直线的斜率为 ．
参考答案：
【知识点】直线的参数方程．N3
解析：∵直线的参数方程为，消去参数化为普通方程为 3x+2y ﹣7=0，故直线的
斜率为
，故答案为：
．
【思路点拨】把直线的参数方程化为直角坐标方程，即可求出直线的斜率．
16. 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1， 点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点． 直线A 1E 与GF 所成角等于__________．
参考答案：
略
17. 若向量，满足
，
，且，的夹角为
，则
，
．
参考答案：
，，所以。

【解析】略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知α是第三象限的角，且f(α)＝，
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－π)＝，求f(α)；
(3)若α＝－π，求f(α)．
参考答案：
(1)f(α)＝
＝
＝＝－cosα.
(2)由cos(α－π)＝得：cos－2π＋(α＋) ＝cos(＋α)＝－sinα＝．
∴sinα＝－．
∵α是第三象限的角，∴cosα<0.
∴f(α)＝－cosα＝＝＝．
(3)若α＝－π，
∵－π＝－5×2π－，
∴cos(－π)＝cos(－5×2π－)
＝cos(－)＝cos＝．
∴此时，f(α)＝－cos(－π)＝－．19. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：(θ是参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l1：2ρsin(θ+)－=0，射线l2：θ=(ρ>0)与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）把参数方程消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的极坐标方程．
（Ⅱ）利用极坐标方程求得P、Q的坐标，可得线段PQ的长．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：，普通方程为（x﹣1）
2+y2=7，
x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6=0；
（Ⅱ）设P（ρ1，θ1），则有，解得ρ1=3，θ1=，即P（3，）．
设Q（ρ2，θ2），则有，解得ρ2=1，θ2=，即Q（1，），
所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．
【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用以及极坐标的意义，属于基础题．
20. （本小题满分14分）定义：上为增函数，则称为“k次比增函数”，其中
，已知.
（I）若是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；
（II）当时，求函数上的最小值；
（III）求证：
参考答案：
21. （本小题满分12分）
已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
（Ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值；（Ⅱ）设直线与、轴分别交于点，问当点在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ），证明见解析.
令，得，令，得
∴，
∴为定值，定值是.
考点：直线与圆锥曲线的综合应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质.
【易错点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及圆与圆锥曲线的位置关系，椭圆的基本性质，综合
性比较强，考查逻辑推理以及计算能力，是中档题. 圆锥曲线是高考的一个必考题，也是一个难点，尤其是圆锥曲线与直线的位置关系的考查是一个难点，要能从题找到等式或不等式，找到题中的形的关系，找到参数的关系.
22. 已知函数，其中.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）已知函数.其中，若对任意，存在，使得
成立，求实数m的取值范围.
参考答案：
（1）（1分）
令，
①当时，，∴，函数在上单调递增；（2分）
②当时，，所以，即，
∴函数在上单调递增；（3分）
③当时，，令，得，
且，由,由
∴在和上单调递增，在单调递减，（5分）
综上，当时，函数在上单调递增，
当时，在上单调递增，
在上单调递减. （6分）（2）∵存在，使得成立，
∴存在使得且成立，
∴，由（1）知，当时，上单调递增，
（8分）
又时，
由可知，，则在上单调递增，
此时，
∵且
∴且恒成立，
∴且，
∵可看作关于的一次函数，
则，∴（10分）同理，，∴，（11分）
又∵，∴
（12分）。