高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《三不等式》归纳整合
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3.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)二元一次不等式(组)的几何意义 二元一次不等式(组)的几何意义是二元一次不等式(组)表示 的平面区域.一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面 直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 平面区域.区域不包括边界时,边界直线(Ax+By+C=0)应 画成虚线. (2)二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),实数Ax+ By+C的符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊 点(x0,y0),根据实数Ax0+By0+C的正负即可判断不等式表 示直线哪一侧的平面区域,可简记为“直线定界,特殊点定 域”.特别地,当C≠0时,常取原点作为特殊点.
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【例3】 f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)<0,则a的取值范围是 ________. 解析 (1)当a=0时,f(x)<0恒成立,故a=0符合题意;
(2)当 a≠0 时,由题意得:aΔ<=0a2+4a<0 ⇔a-<40<a<0 ⇔
-4<a<0,综上所述:-4<a≤0. 答案 (-4,0]
(1)当Δ<0时,-1<a<2,M=∅⊆[1,4];
(2)当Δ=0时,a=-1或2;
当a=-1时,M={-1}⃘[1,4];
当a=2时,M={2}⊆[1,4].
(3)当Δ>0时,a<-1或a>2.
设方程f(x)=0的两根x1,x2,且x1<x2, 那么M=[x1,x2],M⊆[1,4]⇔1≤x1≤x2≤4
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4.求目标函数最优解的两种方法 (1)平移直线法.平移法是一种最基本的方法,其基本原 理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离 相等; (2)代入检验法.通过平移法可以发现,取得最优解对应 的点往往是可行域的顶点,其实这具有必然性.于是在选 择题中关于线性规划的最值问题,可采用求解方程组代入 检验的方法求解.
考查角度通常有如下几个方面: 一是对各类不等式解法的考查,其解题关键是对于生疏的,非规 范化的题目转化为熟悉的、规范化的问题去求解;
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二是对含参数的不等式的解法的考查,解含参数的不等式 的基本途径是分类讨论,应注意寻找讨论点,以讨论点划 分区间进行求解. 三是与函数、三角函数、向量等知识相结合,以解题工具 的面貌出现在解答题中,以求解参数的取值范围为主,并 且将更加突出不等式的灵活性、综合性及应用性的考查.
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专题四 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等” 缺一不可,可以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能 取到最值,可以考虑用函数的单调性求解 【例 8】 设 f(x)=x52+0x1.
(1)求f(x)在[0,+∞)上的最大值; (2)求f(x)在[2,+∞)上的最大值;
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【例7】某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个.现 有两种规格的原料,甲种规格每张3 m2,可做文字标牌1个, 绘画标牌2个;乙种规格每张2 m2,可做文字标牌2个,绘画 标牌1个,求两种规格的原料各用多少张?才能使得总用料面 积最小.
解 设需要甲种原料 x 张,乙种原料 y 张,则可做文字标牌
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【例2】设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M,如果M⊆[1,4],
求实数a的取值范围.
解 M⊆[1,4]有两种情况:
其一是M=∅,此时Δ<0;其二是M≠∅,此时Δ=0或Δ>0,
下面分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)=x2-2ax+a+2,
则有Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2),
值或最大值.
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2x+y-2≥0, 【例6】已知实数 x,y 满足x-2y+4≥0,
3x-y-3≤0.
求 w=x2+y2
的最大值和最小值. 解 画出不等式组
2x+y-2≥0,
x-2y+4≥0, 3x-y-3≤0
表示的平面区域,
如图所示的△ABC 包括边界及其内部.
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要点归纳
1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础,是不等式 的证明和解不等式的主要依据.因此,要熟练掌握和运用 不等式的八条性质: ①a>b⇔b<a; ②a>b,b>c⇒a>c; ③a>b⇔a+c>b+c; ④a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc; ⑤a>b,c>d⇒a+c>b+d; ⑥a>b>0,c>d>0⇒ac>bd; ⑦a>b>0⇒an>bn; ⑧a>b>0⇒n a>n b.
⇔x1- <-2 13-2<x<71或+2x>3-,1+2
7 .
所以
7-1 2 <x<
3+1 2.
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【例5】 已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞)时, f(x)≥a恒成立,求a的取值范围. 解 法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称 轴为x=a. ①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求a的取值范围为-3≤a≤1.
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专题一 一元二次不等式的解法与三个二次之间的关系
对于一元二次不等式的求解,要善于联想两个方面的问题: ①相应的二次函数图象及与x轴的交点,②相应的一元二次方程 的实根;反之,对于二次函数(二次方程)的问题的求解,也要善 于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根 (相应的二次函数的图象及与x轴的交点).
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求目标函数z=ax+by+c的最大值或最小值时,只需把直 线ax+by=0向上(或向下)平行移动,所对应的z随之增大 (或减少)(b>0),找出最优解即可.在线性约束条件下,求 目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解步骤为: ①作出可行域;
②作出直线l0:ax+by=0; ③确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点; ④解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最小
2x+y≥5, x+2y≥4, (x+2y)个,绘画标牌(2x+y)个,由题意可得x≥0, y≥0, x,y∈N.
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所用原料的总面积为z=3x+2y, 作出可行域如图. 在一组平行直线3x+2y=z中,经过可行域内 的点且到原点距离最近的直线.过直线2x+y =5和直线x+2y=4的交点(2,1), ∴最优解为x=2,y=1. ∴使用甲种规格原料2张,乙种规格原料1张,可使总的 用料面积最小.
(1)变更主元法: 根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取 值范围的变量要看作主元. (2)分离参数法: 若f(a)<g(x)恒成立,则f(a)<g(x)min. 若f(a)>g(x)恒成立,则f(a)>g(x)max. (3)数形结合法: 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象 直观化.
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【例1】 若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则 m=________. 解析 因为 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),
所以 1,m 是方程 ax2-6x+a2=0 的根,
m>1, 且 m>1⇒1+m=a6,
1·m=a
答案 2
⇒ ma==22. ,
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∵w=x2+y2=(x-0)2+(y-0)2表示的是可行域内的动点 M(x,y)到原点O(0,0)的距离的平方, ∴当点 M 在边 AC 上滑动,且 OM⊥AC 时,w 取得最小值, 于是 wmin=d2=|0+220+-122|2=45; 当点 M 滑到与点 B(2,3)重合时,w 取得最大值, 即 wmax=( 2-02+3-02)2=13, 故 wmin=45,wmax=13.
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⇔1f≤1a>≤0,4,且且f4Δ>>00,.
- 18a-+73a>>00, , 即1≤a≤4,
a<-1或a>2.
解得 2<a<178,∴M⊆[1,4]时,a 的取值范围是-1,178.
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专题二 恒成立问题
对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法 有以下几种
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5.运用基本不等式求最值,把握三个条件 (1)在所求最值的代数式中,各变量均应是正数(如不是, 则需进行变号转换); (2)各变量的和或积必须为常数,以确保不等式一边为定 值,如不是,则要进行拆项或分解,务必使不等式一边的 和或积为常数; (3)各变量有相等的可能,即相等时,变量有实数解,且 在定义域内,如无,则需拆项、分解以使其满足上述条件 或改用其他方法.
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2.一元二次不等式的求解方法 (1)对于一元二次不等式ax2+bx+c>0(或≥0,<0,≤0)(其中 a≠0)的求解,要联想两个方面的问题:①二次函数y= ax2+bx+c与x轴的交点;②方程ax2+bx+c=0的根. (2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),其Δ=b2-4ac, 则方程的根按照Δ>0,Δ=0,Δ<0可分为三种情况.相应 地,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系 也分为三种情况.因此,可分三种情况讨论对应的一元二 次不等式ax2+bx+c>0(或≥0,<0,≤0)(a>0)的解集.
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【例4】 设不等式2x-1>p(x2-1)对满足|p|≤2的一切实数p的取 值都成立,求x的取值范围. 解 令f(p)=2x-1-p(x2-1)=(1-x2)p+2x-1,p∈ [-2,2],可看成是一条线段,且使f(p)>0对|p|≤2的一切实 数恒成立. 所以ff-2>20>,0. 即22xx22- +22xx- -13<>00,
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解 (1)当 x>0 时,有 x+1x≥2,
∴f(x)=x52+0x1=x5+01x≤25.
当且仅当 x=1x,即 x=1 时等号成立,
所以 f(x)在[0,+∞)上的最大值是 25.
(2)∵函数 y=x+x1在[2,+∞)上是增函数且恒为正,
∴f(x)=x5+0x1在[2,+∞)上是减函数,且 f(2)=20.
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法二 令 g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立,
Δ>0, 即 Δ=4a2-4(2-a)≤0 或a<-1,
g-1≥0.
解得-3≤a≤1.
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题型三 简单的线性规划问题
近年来线性规划的一些基本运算问题成为出题的热 点,该部分知识大多都属于基础题目,属于中低档题 目.线性规划的应用题也是高考的热点,关注“线性规 划”问题的各种“变式”:诸如求面积、距离、参数取值 的问题经常出现,①“可行域”由不等式和方程共同确定 (为线段或射线),②“约束条件”由二次方程的“区间根” 间接提供,③“约束条件”非线性,④目标函数非线性, 如:xy--ba(斜率), x-a2+y-b2(距离)等.
所以 f(x)在[2,+∞)上的最大值为 20.
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命题趋势
不等式的应用非常广泛,它贯穿于高中数学的始终.在集 合、函数、数列、解析几何中多有不等式的应用.而不等式在实 际问题中的应用有所加强.通过近几年的高考试题来看,不等式 重在考查简单线性规划的应用、基本不等式的应用和一元二次不 等式的解法,而不等式的性质一般不单独命题.