2016年安徽数学竞赛试题(初赛)
安徽省合肥168中2016届九年级(上)数学竞赛试卷(解析版)
2015-2016学年安徽省合肥168中九年级（上）数学竞赛试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为( )A．B．C．2 D．32．甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为( )A．3：5 B．4：3 C．4：5 D．3：43．如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=8，AB=7，则BC+CD等于( ) A．B．5C．4D．34．在△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于D．则=( ) A．sinB B．cosB C．tanB D．cotB5．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，连AF，CE，设AF，CE交于点G，则等于( )A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠C的平分线与∠B的外角的平分线交于E 点，则∠AEB是( )A．50°B．45°C．40°D．35°7．现有球迷150人欲同时租用A，B，C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A，B，C 三种型号客车载容量分别为50人，30人，10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有( )A．3种B．4种C．5种D．6种8．矩形ABCD中，AB=8，BC=3，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A．点B、C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B、C均在圆P内二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9．分解因式：x（x﹣1）﹣y（y﹣1）=__________．10．记实数x1，x2中的最小值为min{x1，x2}，例如min{0，﹣1}=﹣1，当x取任意实数时，则min{﹣x2+4，3x}的最大值为__________．11．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CP A，且P A=8，PC=6，则PB=__________．12．记s n=a1+a2+…+a n，令，称T n为a1，a2…，a n这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么18，a1，a2，…，a500的“理想数”为__________．13．如果关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是__________．14．如图，在△ABC中，AB=AC=40，．O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交BC于D，且⊙O与AC相切．则D到AC的距离为__________．15．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．若a，b为实数，且a2+3a+1=0，b2+3b+1=0，求的值．17．解方程：．18．甲、乙两车间同生产一种零件，甲车间有1人每天生产6件，其余每人每天生产11件，乙车间有1人每天生产7件，其余的生产10件，已知各车间生产的零件总数相等，且不少于100件不超过200件，求甲、乙车间各多少人？19．（13分）若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数y1，y2，且y1=a（x﹣m）2+4（m＞0），y1，y2的“生成函数”为：y=x2+4x+14；当x=m时，y2=15；二次函数y2的图象的顶点坐标为（2，k）．（1）求m的值；（2）求二次函数y1，y2的解析式．20．（13分）如图，已知E为圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G．求证：EF=FG．21．（13分）△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB于点F，求证：∠AEF=∠B．2015-2016学年安徽省合肥168中九年级（上）数学竞赛试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为( )A．B．C．2 D．3【考点】完全平方公式；代数式求值．【专题】计算题．【分析】（1）利用已知条件a2+b2=4ab与完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的联系，找到与所求比值的关系．（2）逆用一下公式．（3）必须做到每一步都有理有据，逻辑严密．【解答】解：∵a2+b2=4ab，∴a2+b2+2ab=（a+b）2=6ab①∴a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=2ab②，得=∵a＜b＜0，∴ab＞0，a+b＜0，a﹣b＜0，∴==3，∴=．故选A．【点评】本题考查了完全平方公式及代数式的求值，属于基础题，关键利用已知条件a2+b2=4ab与完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的联系找到与所求比值的关系．2．甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为( )A．3：5 B．4：3 C．4：5 D．3：4【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【专题】行程问题．【分析】设两人的速度为未知数，根据“甲在乙到达A之后35分钟到达B”，得到等量关系：甲用的时间﹣乙用的时间=，列出方程，求得甲乙的速度之比即可．【解答】解：设甲的速度为v1千米/时，乙的速度为v2千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为v1千米，到B的路程为v2千米，从而有方程：，化简得，解得=或=﹣（不合题意舍去）．故选D．【点评】根据时间找到相应的等量关系是解决问题的关键；难点是把方程整理为所求未知数的一元二次方程求解．3．如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=8，AB=7，则BC+CD等于( )A． B．5C．4D．3【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】延长DC至E，构建直角△ADE，解直角△ADE求得DE，BE，根据BE解直角△CBE 可得BC，CE，∴CD+BC=DE﹣CE+B C．【解答】解：如图，延长AB、DC相交于E，在Rt△ADE中，可求得AE2﹣DE2=AD2，且AE=2AD，计算得AE=16，DE=8，于是BE=AE﹣AB=9，在Rt△BEC中，可求得BC2+BE2=CE2，且CE=2BC，∴BC=3，CE=6，于是CD=DE﹣CE=2，BC+CD=5．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的运用，考查了30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ADE求BE，是解题的关键．4．在△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于D．则=( )A．sinB B．cosB C．tanB D．cotB【考点】锐角三角函数的定义；角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的任意一点到角的两边距离相等计算．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E．则DE=D C．可证△BED≌△BCD，∴BE=B C．∴AB﹣BC=AB﹣BE=AE，又∵∠A+∠AED=90°，∠A+∠ABC=90°，∴∠ADE=∠ABC，∵sin∠ADE==∴sin∠ABC=．故选A．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角函数的定义．5．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，连AF，CE，设AF，CE交于点G，则等于( )A．B．C．D．【考点】面积及等积变换．【专题】计算题．【分析】连接AC，则有S△AGC：S△ABC=1：3，即可计算四边形AGCD的面积与矩形ABCD 面积的比值，即可解题．【解答】解：连接AC，EF，过B作BM⊥AC，过G作GP⊥AC，延长PG交EF于点Q，∵E、F分别为AB、CB的中点，∴EF为△ABC的中位线，即EF=AC，EF∥AC，∴BN=MN=BM，△EFG∽△CAG，∴QG：PG=1：2，又PQ=MN，∴PG=PQ=MN=MB，又△AGC与△ABC都为AC为底边，∴S△AGC：S△ABC=1：3，=S△AGC+S△ACD则S四边形AGCD=（+）S矩形ABCD△=S．矩形ABC D故选D．【点评】本题考查了矩形面积的计算，三角形面积的计算，本题中求四边形AGCD的面积是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠C的平分线与∠B的外角的平分线交于E 点，则∠AEB是( )A．50°B．45°C．40°D．35°【考点】角平分线的性质．【分析】首先求得AE也是∠A的外角的平分线，根据平角的定义和角平分线的定义求得∠EAB，∠EBA的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得∠AE B．【解答】解：∵E在∠C的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AC的距离，∵E在∠B的外角的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AB的距离，∴E点到AC的距离等于E到AB的距离，∴AE是∠A的外角的平分线．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，，∵EB是∠B的外角的平分线，∴∠ABE=60°，∴∠AEB=180°﹣60°﹣75°=45°．故选B．【点评】此题主要考查角平分线的定义和性质，求得AE是∠A的外角的平分线，是关键．7．现有球迷150人欲同时租用A，B，C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A，B，C 三种型号客车载容量分别为50人，30人，10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有( )A．3种B．4种C．5种D．6种【考点】一元一次不等式的应用．【专题】压轴题；方案型．【分析】设B、C两种车分别租a辆、b辆．然后根据两种情况：A型号租1辆或2辆，列方程进行讨论．【解答】解：设B、C两种车分别租a辆、b辆．①当A型号租用1辆时，则有30a+10b=150﹣50，3a+b=10．又a，b是整数，则a=1，b=7或a=2，b=4或a=3，b=1．②当A型号租用2辆时，则有30a+10b=150﹣50×2，3a+b=5．又a，b是正整数，则a=1，b=2．综上所述，共有4种．故选B．【点评】此题首先注意考虑A型号2种情况．能够根据题意列出二元一次方程，再进一步根据车辆数是整数进行分析．8．矩形ABCD中，AB=8，BC=3，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A．点B、C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B、C均在圆P内【考点】点与圆的位置关系．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD 的长，根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可．【解答】解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP，∴AP=2，∴r=PD==7，PC===9，∵PB=6＜7，PC=9＞7∴点B在圆P内、点C在圆P外故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9．分解因式：x（x﹣1）﹣y（y﹣1）=（x﹣y）（x+y﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】将整式展开，再运用分组分解法，提取公因式即可．【解答】解：x（x﹣1）﹣y（y﹣1）=x2﹣x﹣y2+y=（x2﹣y2）﹣（x﹣y）=（x﹣y）（x+y﹣1）．故答案为：（x﹣y）（x+y﹣1）．【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能继续分解．10．记实数x1，x2中的最小值为min{x1，x2}，例如min{0，﹣1}=﹣1，当x取任意实数时，则min{﹣x2+4，3x}的最大值为3．【考点】二次函数的性质；正比例函数的性质．【专题】新定义．【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，求出最大值．【解答】解：画出函数y=﹣x2+4和y=3x的图象如图：由图可知：当x=1时，函数有最大值，最大值为3，所以min{﹣x2+4，3x}的最大值为3．故答案为3．【点评】本题考查了二次函数的性质和正比例函数的性质，画出函数的图象，数形结合容易求解．11．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CP A，且P A=8，PC=6，则PB=4．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】由∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，∠ABC=60°，可以得到∠BAP=∠PBC，判定两个三角形相似，然后用相似三角形的性质计算求出PB的长．【解答】解：由题意∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，设∠PBC=α，∠ABC=60°则∠ABP=60°﹣α，∴∠BAP=∠PBC=α，∴△ABP∽△BCP，∴，BP2=AP•PC，∴．故答案是：4．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等的两三角形相似，判定△APB∽△BPC，再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出PB的长．12．记s n=a1+a2+…+a n，令，称T n为a1，a2…，a n这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么18，a1，a2，…，a500的“理想数”为2018．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】分类讨论．【分析】先根据已知求出T500的值，再设出新的理想数为T x，列出式子，把得数代入，即可求出结果．【解答】解：∵，∴T500=2004，设新的理想数为T x，501×T x=18×501+500×T500，T x=（18×501+500×T500）÷501，=，=18+500×4=2018．故答案为：2018．【点评】此题考查了数字的变化类，解题的关键是掌握“理想数”这个新概念，找出其中的规律，再根据新概念对要求的式子进行变形整理即可．13．如果关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是﹣1＜a＜﹣．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围．【解答】解：根据方程的求根公式可得：x=[（﹣2（a+1）±]÷2=[（﹣2a﹣2）±2a]÷2=﹣a﹣1±a，则方程的两根为﹣1或﹣2a﹣1，或（x+1）（x+2a+1）=0，解得x1=﹣1，x2=﹣2a﹣1，∵﹣1＜0，∴小于1的正数根只能为﹣2a﹣1，即0＜﹣2a﹣1＜1，解得﹣1＜a＜﹣．故填空答案为﹣1＜a＜﹣．【点评】也可用公式法把原方程进行因式分解，求出方程的根，再求a的取值范围．14．如图，在△ABC中，AB=AC=40，．O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交BC于D，且⊙O与AC相切．则D到AC的距离为15．【考点】圆周角定理；切线的性质．【分析】设AC与⊙O的切点为E，连接OE、OD；在等腰△ABC和等腰△OBD中，可求得∠B=∠ODB=∠C，由此可证得OD∥AC；由于AC与⊙O相切，所以OE⊥AC，那么OE 即为所求的D到AC的距离．在Rt△AOE中，已知了斜边OA的长和∠A的正弦值，即可求出OE的长．【解答】解：连接OD、OE，则OE⊥AC；∵AB=AC，∴∠B=∠C；∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C；∴OD∥AC；因此OE即为所求的D到AC的距离．OE=OB，sinA====，解得：OE=15．故D到AC的距离为15．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、正弦的概念等知识的综合应用能力．15．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为（2，﹣6）．【考点】二次函数综合题．【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△AD C．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．若a，b为实数，且a2+3a+1=0，b2+3b+1=0，求的值．【考点】根与系数的关系．【分析】根据题意得到a、b是关于x的方程x2+3x+1=0的两个实数根，则利用根与系数的关系和完全平方公式的变形来求的值．【解答】解：依题意得：a、b是关于x的方程x2+3x+1=0的两个实数根，则a+b=﹣3，ab=1，所以===7．即=7．【点评】本题考查了根与系数的关系．掌握根据题意得到a、b是关于x的方程x2+3x+1=0的两个实数根是解题的关键．17．解方程：．【考点】换元法解分式方程．【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力．可根据方程特点设y=，将原方程可化简为关于y的方程，然后化成整式方程，解一元二次方程求y，再求x．【解答】解：设y=，则原方程可化为：y﹣=1；两边同乘以y整理得y2﹣y﹣2=0，解得y1=2，y2=﹣1．当y1=2时，=2，化为；2x2+x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=；当y2=﹣1时，=﹣1，化为；x2﹣x+1=0，∵△＜0，∴此方程无实数根；经检验x1=﹣1，x2=都是原方程的根∴原方程的根是x1=﹣1，x2=．【点评】用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．18．甲、乙两车间同生产一种零件，甲车间有1人每天生产6件，其余每人每天生产11件，乙车间有1人每天生产7件，其余的生产10件，已知各车间生产的零件总数相等，且不少于100件不超过200件，求甲、乙车间各多少人？【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】根据各车间生产的零件总数相等和不少于100件不超过200件列出不等式组解决问题即可．【解答】解：设甲车间的人数为x人，乙车间的人数为y人，可得：6+11（x﹣1）=7+10（y ﹣1），可得：y=，根据题意可得不等式组：，解得：，因为x，y取整数，所以：x=12，y=13，答：甲、乙车间各12，13人．【点评】此题主要考查了不等式的应用，根据已知得出正确的不等式关系是解题关键．19．（13分）若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数y1，y2，且y1=a（x﹣m）2+4（m＞0），y1，y2的“生成函数”为：y=x2+4x+14；当x=m时，y2=15；二次函数y2的图象的顶点坐标为（2，k）．（1）求m的值；（2）求二次函数y1，y2的解析式．【考点】二次函数的性质．【专题】新定义．【分析】（1）根据已知新定义和当x=m时，y2=15得出15=m2﹣a（m﹣m）2+4m+10，求出即可；（2）把m的值代入函数y2，根据顶点的横坐标即可求出a，再把a的值代入求出即可．【解答】解：（1）∵y1=a（x﹣m）2+4（m＞0），y1，y2的“生成函数”为：y=x2+4x+14；∴y2=x2+4x+14﹣a（x﹣m）2﹣4=x2﹣a（x﹣m）2+4x+10，∵当x=m时，y2=15，∴15=m2﹣a（m﹣m）2+4m+10，解得：m1=1，m2=﹣5（不合题意舍去）；（2）由（1）得：y2=x2﹣a（x﹣1）2+4x+10=（1﹣a）x2+（2a+4）x﹣a+10，∵二次函数y2的图象的顶点坐标为（2，k）．∴﹣=2，解得：a=4，∴y1=4（x﹣1）2+4，y2=﹣3x2+12x+6．【点评】本题考查了二次函数的性质，求函数的解析式的应用，能读懂题意是解此题的关键，题目比较典型，有一定的难度．20．（13分）如图，已知E为圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G．求证：EF=FG．【考点】切线的性质．【专题】证明题．【分析】根据相似三角形的判定定理证明△FED∽△F AE，根据相似三角形的性质定理得到EF2=FD•F A，根据切割线定理得到GF2=FD•F A，等量代换证明结论．【解答】解：连接EF，∵EF∥CB，∴∠BCD=∠FED，又∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=∠FED，又∠EFD=∠EFD，∴△FED∽△F AE，∴=，∴EF2=FD•F A，∵FG切圆于G，∴GF2=FD•F A，∴EF=FG．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握切割线定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．（13分）△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB于点F，求证：∠AEF=∠B．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先根据射影定理AD2=AE•AB，AD2=AF•A C．所以AE•AB=AF•AC，进而可得出结论．【解答】证明：∵在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，∴在Rt△ABD中，AD2=AE•A C．同理可得，AD2=AF•AB，∴AE•AC=AF•AB，即，∵∠BAC是公共角，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．。
2008-2012安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)
2008年安徽省高中数学联赛初赛试题1.若函数y=f(x)的图象绕原点顺时针旋转π2后，与函数y=g(x)的图象重合，则（ ）． (A) g(x)=f−1(−x) (B) g(x)=f−1(x) (C) g(x)=−f −1(−x) (D) g(x)=−f −1(x)2.平面中，到两条相交直线的距离之和为１的点的轨迹为（ ） ．(A) 椭圆 (B) 双曲线的一部分 (C) 抛物线的一部分 (D) 矩形 3.下列４个数中与cos1∘+cos2∘+...+cos2008∘最接近的是（ ）． (A)−2008 (B)−1 (C)1 (D)20084.四面体的６个二面角中至多可能有（ ）个钝角．(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6$5.12008写成十进制循环小数的形式12008=0.000498...625498...625...，其循环节的长度为（ ）(A)30 (B)40 (C)50 (D)606.设多项式(1+x)^2008=a_0+a_1x+...+a_2008x^2008，则a_0,a_1,...,a_2008中共有（ ）个是偶数. (A) 127 (B) 1003 (C) 1005 (D) 18817.化简多项式sum_{k=m}^{n}C_n^kC_k^mx^(k-m)(1-x)^(n-k)=( ). 8.函数f(x)=frac{3+5sinx}{sqrt(5+4cosx+3sinx)}的值域为( )．9.若数列{a_n}满足a_1>0,a_n=frac{a_1+a_(n-1)}{1-a_1a_(n-1)}(n>=2),且具有最小正周期2008,则a_1=( ). 10.设非负实数a_1,a_2,...,a_2008的和等于1，则a_1a_2+a_2a_3+...a_2007a_2008+a_2008a_1的最大值为( )．11. 设点A(1,1),B,C 在椭圆x^2+3y^2=4上．当直线BC 的方程为( )时，DeltaABC 的面积最大$.13.将６个形状相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各２个）随机放入３个盒子中，每个盒子中恰放２个小球，记η为盒中小球颜色相同的盒子的个数，求η的分布.14.设a1≥1,an=[nan −1−−−−−√](n ≥2)，其中[x]表示不超过x 的最大整数. 证明：无论a1取何正整数时，不在数列{an}的素数只有有限多个．15.设⊙O1与⊙O2相交于A,B 两点，⊙O3分别与⊙O1,⊙O2外切于C,D ，直线EF 分别与⊙O1,⊙O2相切于点E,F ，直线CE 与直线DF 相交于G ，证明：A,B,G 三点共线．参考答案1.D2.D3.B4. B5.C6.D7.$C_n^m$8.$(-4/5sqrt10,sqrt10]9.（错题）10.$1/4$ 11.$x+3y+2=0 12.2007 13. $P(eta=0)=8/15,P(eta=1)=2/5,P(eta=2)=0,P(eta=3)=1/15$14. 思路：先用反证法证明存在$N,使a_N<=N+1;接着用数学归纳法证n>=N 时，n-2<=a_n<=n+1$;$最后证n>=N 时，a_n<=a_(n+1)<=a_n+1$.这样由$a_n->+oo(n->+oo)知对一切自然数m(>=a_N),m 都在数列{a_n}中，结论正确.15. 利用根轴概念，只需证明$C,D,E,F 四点共圆，以A （或B ）为中心进行反演不难得证！2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 一、填空题（每小题8分，共64分） 1.函数()2f x x =的值域是 .2.函数y = 的图象与xy e =的图象关于直线1x y +=对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t = . 5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于 .6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是 .7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 . 二、解答题（共86分）9.（20分）设数列{}n a 满足10a =，121n n a a -=+，2n ≥.求n a 的通项公式.10.（22分）求最小正整数n 使得224n n ++可被2010整除.11.（22分）已知ABC ∆的三边长度各不相等，D ，E ，F 分别是A ∠，B ∠，C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直平分线的交点.求证：ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积.12.（22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n -根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n =时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题8分，共64分） 1.答案：4⎡⎤-⎣⎦.提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 4)4y αααϕ=-+=++（其中cos ϕ=，sin ϕ=ϕ为锐角），所以当0α=时，max 8y =，当αϕπ+=时，min 4y =-，故4y ⎡⎤∈-⎣⎦.2. 答案：1ln(1)x --提示：因两函数图象关于直线1x y +=对称，所以1x y →-，1y x →-， ∴11yx e --=，解得1ln(1)y x =--.3. 答案：13-提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵tan α=，∴2211cos 1tan 3αα==+，则21c o s 22c o s 13αα=-=-.4.提示：由椭圆方程22111x y t t +=+-知，1t >，设其参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）代入双曲线方程1xy =，得sin 2θ=.1=，故t =5.答案：1+提示：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ∆的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为11333-++=+6. 答案：213a b =-且3273a a c =-. 提示：设三个根为1α-，α，1α+，则32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---，右边展开与左边比较得3a α-=，2(1)(1)(1)(1)31b ααααααα=-++++-=-，(1)(1)c ααα-=-+，消去α得2313273a b a a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这就是所求的充要条件. 7.答案：提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点P 在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC ∆面积的2倍，即8. 答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C 个三角形，其中直角三角形有3412C ⨯个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267C C ⨯=. 二、解答题（共86分）9. 解：特征根法. 又114221n n n a a a --++=+，11111n n n a a a ----=+，…………（10分）得21212222(2)(2)(2)111nnn n n n n a a a a a a ----+++=-⋅=-==----，于是(2)2(2)1n n n a -+=--.…（20分）10. 解： 22010|24n n ++⇔2222240mod 2240mod 3240mod 5240mod 67n n n n n n n n ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩2220mod 31mod 543mod 67n n n n n n ⎧+=⎪⇔+=⎨⎪+=⎩……（10分） 又20mod30n n n +=⇔=或2mod3，21mod52mod5n n n +=⇔=，243mod6710n n n +=⇔=或56mod67，故所求最小正整数77n =.…………（22分）11. 证明：由题设可证A ，B C ，D ，E ，F 六点共圆. …………（10分）不妨设圆半径为1，则有1(sin 2sin 2sin 2)2ABC S A B C ∆=++，1(sin sin sin )2DEF S A B C ∆=++. 由于sin 2sin 2sin 2A B C ++111(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)222A B B C C A =+++++ sin()sin()sin()sin()sin()sin()A B A B B C B C C A C A =+-++-++- sin()sin()sin()A B B C C A <+++++sin sin sin A B C =++∴ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积. …………（22分）12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目n 从小到大排序为：1n ，2n ，3n ，…，不难发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：（1）{}i n 满足11i i i n n n +-=+；（2）当i n n =时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目1i n -≤；（3）当1i i n n n +<<时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目i n ≤.……………………………………（10分） 设i k n n =-（4i ≥），注意到212ii i n n n --<<. 当12in k ≤<时，甲第一次时可取k 根火柴，剩余2i n k >根火柴，乙无法获胜. 当12ii n k n -≤<时，21i i n k n --<<，根据归纳假设，甲可以取到第k 根火柴，并且甲此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，乙无法获胜.当1i k n -=时，设甲第一次时取走m 根火柴，若m k ≥，则乙可取走所有剩小的火柴；若m k <，则根据归纳假设，乙总可以取到第k 根火柴，并且乙此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，甲无法获胜.综上可知，11i i i n n n +-=+.因为100不在数列{}i n ，所以当100n =时，甲有获胜策略. …………（22分）2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题一、填空题（每小题8分，共64分）1．以X 表示集合X 的元素个数. 若有限集合C B A ,,满足20=B A ，30=C B ，40=A C ，则C B A 的最大可能值为 .2．设a 是正实数. 若R ∈++++-=x a ax x a ax x x f ，222252106)(的最小值为10，则=a .3．已知实系数多项式d cx bx ax x x f ++++=234)(满足2)1(=f ，4)2(=f ，6)3(=f ，则)4()0(f f +的所有可能值集合为 . 4．设展开式2011)15(10≥+++=+n x a x a a x n n n ， . 若),,,m ax (102011n a a a a =，则=n . 5．在如图所示的长方体EFGH ABCD -中，设P 是矩形EFGH 的中心，线段AP 交平面BDE于点Q . 若3=AB ，2=AD ，1=AE ，则=PQ .6．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为 .7．设直角坐标平面上的点),(y x 与复数i y x +一一对应. 若点B A ,分别对应复数1,-z z （R ∉z ），则直线AB 与x 轴的交点对应复数 （用z 表示）.8．设n 是大于4的偶数. 随机选取正n 边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为 .二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分）9．已知数列}{n a 满足121==a a ，4121-++-=n n a a a （3≥n ），求n a 的通项公式.10．已知正整数n a a a ,,,21 都是合数，并且两两互素，求证：2111121<+++n a a a . 11．设c bx ax x f ++=3)(（c b a ,,是实数），当10≤≤x 时，1)(0≤≤x f . 求b 的最大可能值.12．设点)0,2()0,1()0,1(C B A ，，-，D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠，直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E . 求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线21=x 上.解答1. 10.2. 2.3. {32}.4. 2413.5. 417.6. 2π46r ar +.7. zz z z ++1.第5题第6题8. )3)(1(3--n n .9．1221144n n n n a a aa a ---++=-=-1211112222n n n n n a a a a ----⎛⎫⇒-=-== ⎪⎝⎭11212122----=⇒==+=⇒n n n n n n na n a a .10．设k a 的最小素因子k p ，因为k a 不是素数，所以2k k p a ≥. 于是211222211114(21)114(21)1111242nnk k k k n k nk a p k k n ====≤≤+-≤+--=-<∑∑∑∑11．由(0)(1)fc f a b cf c ⎧=⎪⎪=++⎨⎪=+⎪⎩可知2(1)1)(0)b f f =--≤)()(3233x x x f -=满足题设，b 的最大可能值为233.12．设),(),(),(2211y x P y x E y x D ，，，直线CD 的方程)2(-=x k y ，则222(2)1x k x --=，所以221212122241451()114k k x x x x x x k k -++==-=-++--， ， ① 1212(1)(1)11y yx y x x x +==-+-， 所以21212121121221212121212211112322341111y y x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x --++-+-+--===-------+-+。
2010-2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解
2010-2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. 若,,a b c均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 2．若实数,,a b c 满足等式3||6a b =，9||6a b c =，则c可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3. 3．若ba ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则（ C ）A ．103a b <+≤.B ．113a b <+≤.C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310xx --=的两根也是方程420xax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为na ，如2009200911a =+++=，201020103a=+++=，12320092010a aa a a +++++=（ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22xy +=13 .2．二次函数cbx xy ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知ACAB 3=，︒=∠30CAO ，则c =19． 3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝10．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球. 第二试 （A ） 一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213ab c ab ac bc ++---=，求符可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N.因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP.又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC. 又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条NQIPCA直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c=+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y xbx c=+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y xbx c=+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=， 解得93b a =-，82c a =-. （1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=. (2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤. 由根与系数的关系可得39m n b a+=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y xx =-+.易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26mn m n +++=，即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩（1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x的两根21,xx 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有pk x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -． （2）若1k >，则01>-k . 因为12x xp+=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+xp ．不妨设2|1+xp ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k xm-+=，故121(2)(2)k x xmp m-+++=+，即1214k x xmp m-++=+．又12x xp+=-，所以14k p mp m --+=+，即41)1(=-++mk p m②如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m -++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾.因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．题号一二三总分1～56～1011 12 13 14得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．（A）11 （B）12 （C）13 （D）14 （第2题）3．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值范围是（）．（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k ≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．12. 求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD 相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题）14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.2012-04-16 人教网2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题1．D解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x 轴没有公共点.所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，tan， tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）．（A ）2222(2)0c x b ac x a +-+=（B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a=，且120x x ≠，所以0c ≠，且221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC ·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967（第3题答题）（第4题答题）（第3题）（第4题）【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题6．设33a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=，因此333(2)9)9b +==．7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有： 45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．（第7题答题）（第7题）若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y 所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y轴交于点D ．求∠DBC ∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．抛物线223y xx =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32CE 2，BE ＝25因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
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F第2题图EDBAC第2题图2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间:2016年3月4日下午3：00—5：00）班级:: 姓名： 成绩:考生注意:1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答;3、解题书写不要超出装订线;4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a 、b 满足31|2||3|=+-+-+-a a b a ，则b a +等于（ ）A 、1-B 、2C 、3D 、52、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点F ,设四边形EADF 、BDF ∆、BCF ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则31S S 与42S S 的大小关系为( ）A 、4231S S S SB 、4231S S S S =C 、4231S S S SD 、不能确定3、对于任意实数a ，b ,c ，d ,有序实数对（a ,b ）与（c ，d )之间的运算“*"定义为： ()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，。
全国大学生数学竞赛初赛2016年第八届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
2016年第八届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷及参考答案一、填空题(满分30分，每小题5分)1．若()f x 在点x a =处可导，且()0f a ≠，则()()1/lim n n f a n f a →+∞⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【参考解答】：由于 101lim limxx x x f a f a x x f a f a , 由已知条件： f x 在点x a 处可导，且 0f a ，由带皮亚诺余项的泰勒公式，有()()()()()f x f a f a x a o x a '=+-+-可得()()()()f a x f a f a x o x '+=++，将其代入极限式，则有111011lim1lim lim lim 1lim 1.n xxxn n x f a x o x x f a f a o x f a f a x o x f a x f a f a n f a x f a f a x o x f a x o x f a f a f a f a x o x ee f a2．若()()10,1f f '=存在，则极限()220sin cos tan 3lim1sin x x f x x xI e x →+==⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎝⎭.【参考解答】：22220sin cos 3sin cos lim3limx x f x x xf x x I x x x 22220sin cos 1sin cos 13lim sin cos 1x f x x f x x x x x 2222200sin cos 1sin cos 131lim 31lim x x x x x x f f x x x133111.22f f 3．设()f x 有连续导数，且()1 2.f = 记()2x z f e y =，若zz x∂=∂，()f x 在0x >的表达式为.【参考解答】：由题设，得222x x x zf e y e y f e y x. 令2x u e y ，得到当0u ,有 f u u f u ,即1ln ln .f u f u u f u u所以有 1ln ln , f u u C f u Cu . 再由初值条件 12 f ，可得2C =，即 2f u u .所以当0x 时，有 2.f x x 4．设()sin 2x f x e x =，则()()40f=.【参考解答】：由带皮亚诺余项余项的麦克劳林公式，有323341111222!3!3!f x x x x o x x x o x所以 f x 展开式的4次项为 3441223!3!x x x x ，即有4014!f ，故 4024.f 5．曲面222x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程为.【参考解答】： 移项，曲面的一般式方程为 22,,02x F x y z y z ，有,,,,,2,1x y z n x y z F F F x y . ()()()121221,,//,,//,,n x y z n x y ⇒--，可得21.221x y 由此可得2,1 x y ，将它代入到曲面方程，可得3 z ，即曲面上点()213,,处切平面与已知平面平行，所以由平面的点法式方程可得切平面方程为222130x y z ，即22 3.x y z 第二题： (14分)设()f x 在[0,1]上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<. 试证：当()0,1a ∈时，有()()2300d d .a a f x x f x x ⎛⎫ ⎪> ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ 【参考解答】：不等式的证明转换为证明不等式2300.aaf x dx f x dx 于是对函数求导，302xF x f x f t dt f x202xf x f t dt f x 已知条件 00f ，可得()00F '=，并且由 01f x ，所以函数()f x 在()01,内单调增加，即()0f x >，所以只要证明 220 xg x f t dt f x .又()00g =，所以只要证明()0g x '>，于是有22210g x f x f x f x f x f x 所以()g x 单调增加，所以 0,0g x x . 所以也就有 202xg x f t dt f x ，即()0F x '>，可得()0F x >，因此230xxF x f t dtf t dt单调增加，所以()()00F a F >=，即有2233aaaaF a f t dt f t dt f t dt f t dt.第三题：(14分)某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z ++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d .M xy z x y z=++⎰⎰⎰【参考解答】：令111222,,u x v y w z ⎫⎪=-=-=-⎪⎪⎭，即111222,,x u y v z =+=+=+,则椭球面转换为变量为,,u v w 的单位球域，即222:1 uvw u v w . 则由三重积分的换元法公式，即222,,,,.,,uvwx y z M x y z dxdydz F u v w dudvdw u v w2222221113,,22224w F u v w u v u u v v10,,01,,00x x x uv w x y z yy y u v w uv w z y yuv w所以原积分就等于222324uvw w M u u v v由于单元圆域222:1 uvwu v w关于三个坐标面都对称，所以积分也就等于2222uvw uvw w M uv dudvdw dudvdwuvwdudvdw由于积分区域具有轮换对称性，所以有222uvwuvwuvwu dudvdw v dudvdw w dudvdw222222255226uvw uvw uvww u v dudvdw u dudvdw u v w dudvdw所以222222152122000021sin 2cos .255uvw uvw w u v dudvdw u v w dudvdw r d d r r dr所以最终的结果就为M=+=+=第四题：(14分)设函数()f x在闭区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有连续导数，()()00,1 1.f f==证明：()1111lim d.2nn kkn f x x fn n→∞=⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-=-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭∑⎰【参考解答】：将区间0,1n等份，分点kkxn，则1kxn，且111111lim lim kkn n nxk kxn nk k kkn f x dx f n f x dx f x xn n1111lim limk kk kn nx x kk kx xn nk k kf x f xn f x f x dx n x x dxx x111lim,,kkn xk kk k k kxnk k kf f xn x x dx x xx1211111011lim lim2111lim.222kkn nxk k k k kxn nk knk k knkn f x x dx n f x xf x x f x dx第五题：(14分)设函数()f x在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，且()1d0.I f x x=≠⎰证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x，使得()()12112.If x f x+=【参考解答】：设1,xF x f t dtI则00,1 1.F F由介值定理，存在0,1，使得1.2F 在两个子区间0,,,1上分别应用拉格朗日中值定理：11122201/2,0,,11/2,,1,11f x F FF x xIf x F FF x xI12121112.1/21/2I If x f x F x F x第六题：(14分) 设()f x在(),-∞+∞上可导，且()()(2f x f x f x=+=+，用傅里叶(Fourier)级数理论证明()f x为常数。
历年全国大学生数学竞赛初赛真题全(数学类)十一届试卷高清无水印(2009-2019)
（数学类）试卷第一题：(15分)求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.第二题：(20分)设n nC ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，12100010*******n n n a a a F a --⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (1)假设111212122212n n n n nn aa a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；(2)求n nC⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.第三题：(15分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换. 如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.第四题：(10分)设{}()n f x 是定义在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足()nf x M '≤.（1）证明{}()n f x 在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上处处可导, 为什么？第五题：(10分)设320sin d sin n nt a t t t π=⎰，证明11nn a ∞=∑发散.第六题：(15分)(,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f x y x y ∂∂+=∂∂，计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎫=⎰⎰第七题：(15分)假设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内二阶可导，过点(0,(0))A f ，与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在 ()0,1内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.（数学类）试卷一、（本题共10分）设(0,1)ε∈，0x a =，1sin 0,1,2).n n x a x n ε+=+= （证明lim n n x ξ→+∞=存在，且ξ为方程sin x x a ε-=的唯一根.二、（本题共15分）设01030002010000B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明2X B =无解，这里X 为三阶未知复方阵.三、（本题共10分）设2D ⊂ 是凸区域，函数(,)f x y 是凸函数. 证明或否定：(,)f x y 在D 上连续.注：函数(,)f x y 为凸函数的定义是(0,1)α∀∈以及1122(,),(,)x y x y D ∈，成立12121122((1),(1))(,)(1)(,)f x x y y f x y f x y αααααα+-+-≤+-.四、（本题共10分） 设()f x 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，在1x =可导，(1)0,f =(1)f a '=. 证明：120lim ()d .n n n x f x x a →+∞=-⎰五、（本题共15分）已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：(1,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(3,0,0),(3,1,2),(3,2,4),(0,1,4),(3,1,2),(5,8).A B C D E F G H I ------问∑是哪一类曲面？六、（本题共20分） 设A 为n n ⨯实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量T 1(,,),0n A ααααα=≥ （这里T α表示α的转置），且存在n 维实向量β使得T 0A ββ=. 同时对任意n 维实向量x 和y ，当T 0xAy ≠时有TT 0xAy yAx +≠. 证明：对任意n 维实向量v ，都有T0.vA β=七、(本题共10分) 设f 在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，0 1.f ≤≤ 求证：对任何0ε>，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数()g x ，使得,0,1αβ⎡⎤⎡⎤∀⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()().f x g x dxβαε-<⎰八、(10分) 已知:(0,)(0,)ϕ+∞→+∞是一个严格单调下降的连续函数，满足0lim (),t t ϕ+→=+∞且10()d ()d ,t t t t a ϕϕ+∞+∞-==<+∞⎰⎰其中1ϕ-表示ϕ的反函数. 求证：32212001()d ()d .2t t t t a ϕϕ+∞+∞-⎡⎤⎡⎤+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰（数学类）试卷一、（本题15分）已知四点(1,2,7),(4,3,3),(5,1,0).-试求过这四点的球面方程。
2016初二联赛试题与参考答案
。 ab 【答案】32. 1 1 2 4 8 16 。 2 4 8 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x16 ∴ a 16, b 16, a b 32 。 8．若实数 a, b 满足 2a 2 | b | 1 ，则 a 2 2 | b | 的取值范围为 【答案】 2 a 2 2 | b |
∴ n 14 或 7 或 2 或 5。
第二试（C）
一、（本题满分 20 分） 三只蚂蚁同时从点 A 出发，沿三角形道路 A B C A 爬行，已知第一只蚂蚁在
AB, BC , CA 上爬行速度分别为 12 厘米/秒，10 厘米/秒，15 厘米/秒；第二只蚂蚁在此三
段道路上的速度分别为 15 厘米/秒，15 厘米/秒，10 厘米/秒；第三只蚂蚁在此三段上的 速度分别为 10 厘米/秒，20 厘米/秒，12 厘米/秒。若三只蚂蚁同时回到 A 点，求 ABC 的 值。 解：记 AB c, BC a, CA b ， 则
由 2 x 2 y a ，可知 a 必为偶数， 又 1
22 为整数，所以 a 0, 4, 24, 20 。 a2
故选 C。 （ ）
2．定义运算 a b A.720 C.240 【答案】B。 代入求值的结果。
a ( a 1)( a 2) ( a b 2)( a 2 1
2016 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
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1 ∵ BE 平分 ABC ， ∴ ABE EBC ABC 29.5 。 2
又 BD BD, 故 ABD GBD 。……………………………………（10）
BAC 180 ABC ACB 180 59 30.5 90.5 ,
2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试题及答案
2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试题及答案一、填空题（每小题8分） 1.设1sin cos 2x x +=，则33sin cos x x += ． 答案：11.16解答：由1sin cos 2x x +=，可得112s i n c o s ,4xx +=故3sin cos .8x x =-从而33sin cos x x +=()()221311sin cos sin sin cos cos 1.2816x x x x x x ⎛⎫+-+=+= ⎪⎝⎭2.设i 为虚数单位，化简()()2016201611i i ++-= ．答案：10092.解答：由()212i i +=，可得()2016100812.i +=同理，()2016100812i -=．故()()201620161009112.i i ++-=另解：因为1cos sin ,2244331cos sin ,44i i i i ππππ⎫⎫+=+=+⎪⎪⎪⎭⎭⎫⎫-==+⎪⎪⎪⎭⎭所以，()()2016201620162016100810081008100810081008100933112cos sin 2cos sin 44441008100810083188032cos sin 2cos sin 4444222.i i i i i i ππππππππ⎛⎫⎛⎫++-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=3.已知等差数列121000,,,a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1a = ． 答案：0.505.解答：设等差数列的公差是d ，则有111004950100,100949501000.a d a d +=+=由此得0.01d =，110.4950.505.a =-=4.集合[][][]{}{}23|1,2,,100x x x x R ++∈ 共有 几个元素，其中[]x 表示不超过x 的最大整数． 答案：67.解答：设()[][][]23f x x x x =++，则有()()1 6.f x f x +=+当01x ≤<时，()f x 的所有可能的值为0,1,2,3.因此，()f x 的值域{}6,61,62,63|S k k k k k Z =+++∈，{}1,2,,100S 共有417167⨯-=个元素．5.若关于x 的方程2x x ae =有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ．答案：()20,4.e -解答：设()2x f x x e -=，则()()22.xf x x x e -'=-当0x ≤时，()f x 单调递减；()00f =；当02x ≤≤时，()f x 单调递增；()224f e -=；当2x ≥时，()f x 单调递减；当x →+∞时，()0f x →．因此，()f x a =有三个实根当且仅当204.a e -<<7.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 的离心率等于 ．解答：不妨设E 的方程是22221,x y a b+=其中0a b >>．由P 经过E 的两个焦点，可得P的方程是222,x cy c =+其中c =再由P 与E 恰有三个交点，得2.c b =因此，E的离心率c a = 另解：不妨设椭圆E 的方程为()222210.x y a b a b +=>> 由题意易得抛物线P 以y 轴为对称轴，顶点位于椭圆的短轴端点处 ．不妨设抛物线的开口向上，故可设抛物线的方程为2.y kx b =-因为抛物线经过椭圆E 的焦点，故20,kc b -=其中c =解得2.b k c =故抛物线P 的方程为22b y x b c=-．因该抛物线焦点到顶点的距离为b ，故222,c 4.4c b b b== 代入222b c a +=，得2222214,,45c c c a e a +=== 8.等可能地随机产生一个正整数{}1,2,,2016x ∈ ，则x 在二进制下的各位数字之和不超过8的概率等于 ． 答案：655.672解答：设{}1,2,,2016x ∈ 的二进制表示是{}109102x x x x ，即1002i i i x x ==∑，其中{}0,1.i x ∈特别，2016的二进制表示是{}211111100000．我们考察满足108i i x =>∑的x 的个数，其充分必要条件是1055ii p x==≤∑且49.ii xp =≥-∑如此x 的个数()6554565456555,951.p q p q p C C C C C C C ≤≥-==++=∑从而二进制下各位数字之和不超过8的x 的个数为2016511965-=．因此，所求的概率1965655.2016672== 二、解答题9.已知数列{}n a 满足2110122391,5,, 2.2n n n n a a a a a n a -----===≥用数学归纳法证明：22 3.n n a +=-证明：230123,23a a =-=-，从而223n n a +=-对0,1n =成立． 当2n ≥时，假设12123,23n n n n a a +--=-=-，下证22 3.n n a +=- 由递推公式，有()()()21121122223323923222342152942 3.23n n n n n n n n n n naa a a ++--------==-⋅-⋅+==⋅--因此，223n n a +=-对一切0n ≥成立．注：如不用数学归纳法证明且证明正确，只给一半分（11分）．10.设△ABC 的内切圆与三边相切于点,,D E F ．证明：△ABC 与△DEF 相似当且仅当△ABC 是在三角形．证明：如图，设O 是△ABC 的内心，则1.22AFDE FOE π-∠=∠=同理，,.22BCDEF EFD ππ--∠=∠=不妨设A B C ≥≥，则.FDE DEF EFD ∠≤∠≤∠从而，△ABC 与△DEF 相似232FDE C A C DEF B B EFD A C A πππ∠=+=⎧⎧⎪⎪⇔∠=⇔=⎨⎨⎪⎪∠=+=⎩⎩.3A B C π⇔===11．证明：对任意实数,,a b c并求等号成立的充分必要条件．OFEDCBA证法一设向量,22b c a a αβ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则αβ+=αβ+===根据三角不等式，αβαβ+≥+即得所要证的不等式．不等式等号成立的充分必要条件是α与β平行且方向相同．α与β平行⇔()0.22b c a c a b a b c ⎛⎫⎛⎫+=+⇔-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0a =时，不等式等号成立0bc ⇔≥；当b c =时，不等号恒成立． 综上，不等式等号成立的充分必要条件是“0a =且0bc ≥”或.b c =证法二2c()2222a a b c b c ⇔+++++()()2242a a b c b c ≥++++（移项、合并）()212a abc bc ⇔+++（两边平方） ()()()22222212a ab b a ac c a a b c bc ⎡⎤⇔++++≥+++⎢⎥⎣⎦（展开）()()()4322222a a b c a b bc c abc b c b c ⇔++++++++()()()243222124a a b c a b c bc abc b c b c ⎡⎤≥++++++++⎢⎥⎣⎦（移项、合并）()()222222330.42a b c a bc a b c ⇔+≥⇔-≥ 不等式等号成立的必要条件是()0a b c -=．关于充分条件的讨论同证法一．12.求满足1nmm n mn ≤-≤的所有正整数对(),.m n解答：首先证明两个引理．引理1：()ln xf x x=在(]0,e 上单调递增，在[),e +∞上单调递减． 证明：()21ln xf x x-'=在()0,e 上大于0，在(),e +∞上小于0. 引理2：当0x >时，()ln 1x x +<．特别，设1x n =，则11.ne n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭证明：设()()ln 1f x x x =-+．当0x >时，()01xf x x'=>+，故()f x 单调递增．再由()00f =，得()ln 1.x x >+回到原题．根据引理，ln ln .n mm nm n m n>⇔>有以下几种情形． 情形一：1,2,n m =≥(),m n 均满足题设．情形二：2m =，5n ≥．设()222,5xg x x xx =--≥，则()2l n 2220.xg x x '=-->由()()53,616g g =-=，可得满足题设的(),m n 只有()2,5.情形三：3,2m n ==．易验证()3,2满足题设．情形四：3,1m n m ≥≥+．设().x m g x m x mx =--当1x m ≥+时，()ln x g x m m '=-1110,m m m m mx m x mx m x m ---->--≥->()g x 单调递增．因此，()()g n h m ≥=()()()111111.mmm nmm m m m m m m m +⎡⎤⎛⎫-+-+=-+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当3m =时，() 5.h m =当4m ≥时，根据引理2，()()10n h m m m m >-+>．无(),m n 满足题设． 综上，所有满足题设的正整数对为()()()(),12,2,5,3,2.m m ≥。
第八届(2016)全国大学生数学竞赛预赛试题试题
第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(非数学类, 2016 年 10 月)
绝密 ⋆ 启用前 考试形式： 闭卷 题号 满分 得分 注意：1.所有答题都须写在试卷密封线右边, 写在其他纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记. 3.如答题空白不够, 可写在当页背面, 并标明题号. 一 (填空题, 本题满分 30 分, 共 5 小题, 每小题 6 分) ( ( ) )n 1 f a+ n 1. 若 f (x) 在点 x = a 可导, 且 f (a) ̸= 0, 则 lim = n→+∞ f (a) 一 30 二 14 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分 三 14 四 14 五 14 六 14 总分 100
二 (本题满分 14 分) 设 f (x) 在 [0, 1] 可导, f (0) = 0, 且当 x ∈ (0, 1) , 0 < f ′ (x) < 1 . (∫ a )2 ∫ a 试证当 a ∈ (0, 1) , f (x) dx > f 3 (x) dx .
0 0
三 (本题满分 14 分) 某物体所在的空间区域为 Ω : x2 + y 2 + 2z 2 ⩽ x + y + 2z , 密度函数为 x2 + y 2 + z 2 , 求质量 ∫∫∫ (x2 + y2 + z2) dx dy dz M=
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Ω
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四 (本题满分 14 分) 设函数 f (x) 在闭区间 [0, 1] 上具有连续导数, f (0) = 0, f (1) = 1 . 证明:
2007-2016年安徽省高中数学竞赛初赛试题及标准答案详解
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4A B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ )个。
64862A B C D2.设函数()()lg 101x f x -=+，()()122x x f f --=方程的解为（ ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从１０0到500的全体三位数按顺序排列而成那么Ａ除以126的余数是( ）4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,k k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则（ )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5．在正整数构成的数列1.3.５.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ，易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==1+cos871-cos87 则():A B =.. .A B C D 22７.边长均为整数且成等差数列，周长为60的钝角三角形一共有＿＿＿___＿＿＿_____种.8.设2007n ≥,且n为使得nn a +=取实数值的最小正整数，则对应此n 的n a 为 783660A B C D9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,1０都是奇异数．那么在2７,42,６9，１1１,1２５,13７，３4３,８９９,３５9９,７999这10个数中奇异数有_______＿______＿______个.10．平行六面体1111ABCD A B C D -中，顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序）分别为__＿＿___＿______＿____11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x == ()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n ＝2，3,4… 设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为＿____＿_＿_＿＿___＿_＿１2.设平行四边形ABCD 中,4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为________＿_____＿三．解答题1３.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合). 1）若AOB ∠为钝角或平角（O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题２)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.1４． 数列{}n x 由下式确定: 112,1,2,3,,121n n n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxy p x y z ++=其中p 为给定的正实数，试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当。
2016年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题
2016年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题第一试(3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分。
已知t =，a 是t 的小数部分，b是t -的小数部分，则112b a -=（ ） .A 12.B.C 1 .D2. 三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（ ）.A 9种.B 10种 .C 11种 .D 12种3. 如图，P 为ABC ∆内一点，70BAC ∠=︒，120BPC ∠=︒，BD 是ABP ∠的平分线，CE 是ACP ∠的平分线，BD 与CE 交于F ，则BFC ∠=（ ） .A 85︒ .B 90︒ .C 95︒ .D 100︒4.记11n S n =++，则20162016S =（ ） .A 20162017 .B 20172016 .C 20172018 .D 201820175. 点D 、E 、F 分别在ABC ∆的三边BC 、AB 、AC 上，且AD 、BF 、CE 相交于一点M ,若5AB AC BE CF+=，则AM MD =（ ） .A 72.B 3 .C 52 .D 2 6. 设,,,a b c d 都是正整数，且5234,,319,a b c d a c ==-= 则2b c a d -=（ ） .A 15 .B 17.C 18.D 20二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且BAC DAC ∠=∠，15AB =，12.AD = 过顶点C 作CE AB ⊥于E ，则AE BE= . 2. 已知整数,,a b c 满足不等式22222112820a b c ab b c +++<++，则a b c +-= .3. 若质数p 、q 满足：340q p --=，111p q +<，则pq 的最大值为 .4. 将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2。
2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则
2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 1 页 共 3 页2016年全国初中数学联赛初赛试卷（考试时间：2016年3月13日下午3：00—5：00）一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、C ． 2、C ． 3、D ． 4、C ． 5、B ． 6、A ． 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 78、18．9、3．10三、（本大题满分20分）11、解：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分） 配方得(3a -c )2+(2a -b )2+(3b -2c )2=0， ············································· （10分） 所以3a -c =0，2a -b =0，3b -2c =0，即c =3a ，b =2a ． ······································································· （15分）代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611． ··········································· （20分）解法二：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分）5[c 2-2(365a b +)c +(365a b +)2]+13a 2+10b 2-4ab -2(36)5a b +=0，5(c -365a b +)2+565a 2+145b 2-565ab =0，所以5(c -365a b +)2+145(2a -b )2=0， ··············································· （10分） 由此得，c -365a b+=0，2a -b =0， 解得b =2a ，c =3a ． ···································································· （15分）代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611． ··········································· （20分）四、（本大题满分25分）12、解：（1）由已知得，-x 2+2(m +1)x +m +3=0有两个不相同的实数解， 所以∆=[2(m +1)]2+4(m +3)= 4m 2+12m +16=(2m +3) 2+3＞0，可知m 是任意实数． ································································· （5分） 又因为点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上． 所以方程，-x 2+2(m +1)x +m +3=0的两根一正一负， 所以- (m +3)＜0，解得m ＞-3．所以所求m 的取值范围是m ＞-3． ··············································· （10分） （2）解法一：设点A (a ，0)，B (b ，0)，a ＞0，b ＜0，2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 2 页 共 3 页则a =-3b ，且a +b =2(m +1)，ab =-(m +3)， 解得m =0．函数解析式为y =-x 2+2x +3． ······················································· （15分） 所以A (3，0)，B (-1，0)，C (0，3)。
2016年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题(含答案)
2016年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题第一试(3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分。
已知t =，a 是t 的小数部分，b是t -的小数部分，则112b a-=（ ） .A 12.B.C 1 .D2. 三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（ ）.A 9种 .B 10种.C 11种 .D 12种3. 如图，P 为ABC ∆内一点，70BAC ∠=︒，120BPC ∠=︒，BD 是ABP ∠的平分线，CE 是ACP ∠的平分线，BD 与CE 交于F ，则BFC ∠=（ ）.A 85︒.B 90︒.C 95︒ .D 100︒4.记11n S n =++，则20162016S =（ ） .A 20162017.B 20172016.C20172018.D 201820175. 点D 、E 、F 分别在ABC ∆的三边BC 、AB 、AC 上，且AD 、BF 、CE 相交于一点M ,若5AB ACBE CF+=，则AM MD =（ ） .A 72 .B 3 .C 52.D 26. 设,,,a b c d 都是正整数，且5234,,319,a b c d a c ==-= 则2b ca d-=（ ）.A 15 .B 17 .C 18 .D 20二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且BAC DAC ∠=∠，15AB =，12.AD = 过顶点C 作CE AB ⊥于E ，则AEBE= .2. 已知整数,,a b c 满足不等式22222112820a b c ab b c +++<++，则a b c +-= .3. 若质数p 、q 满足：340q p --=，111p q +<，则pq 的最大值为 .4. 将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2。
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2016全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
（考试时间：2016年7月2日上午9:00—11:30）
注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；
3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．
一、填空题（每题8分，共64分）
1. 22()a b c ，则33sin cos x x ．
2. 设i 是虚数单位，化简(i ＋1)2016+(i －1)2016＝ ．
3. 已知等差数列a 1,a 2,…,a 100的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则a 1＝ ．
4. 集合[][2][3]|1,2,x x x x R …,100共有_______个元素，其中[x ]表示不超过x 的最大整数．
5. 若关于x 的方程x =a e x 恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是_____________.
6. 如图所示的单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设O 是正方形ABCD 的中心，点M ,N 分别在棱A 1D 1,CC 1上，A 1M =12，CN =23，则四面体OMNB 1的体积等于 ．
7. 已知抛物线P 以椭圆E 的中心点为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则的离心率等于________________.
8. 等可能地随机产生一个正整数1,2,,2016
x ，则x 在二进制下的各位数字之和不超过8的概率等于 ．
二、解答题（第9—10题20分，每题21分，第11—12题，每题22分，共86分）
9. 已知数列a n 满足设正实数b a ,满足
2
11012
239
1,5,,2n n n n a a a a a n a ≥2．
用数学归纳法证明：2023n a ．
A 1
10.ΔABC的内切圆与三边相切于点D,E,F．证明：ΔABC与ΔDEF相似当且仅当ΔABC
是正三角形．
11.证明：对任意实数a,b,c都有
2222
ab b a ac c≥22
()
a b c.
并求等号成立的充分必要条件.
12.求满足1≤m n－n m≤mn的所有正整数对(m,n)．。