2021-2022学年四川省成都七中高三(上)一诊数学试卷(理科)(附详解)

2021-2022学年四川省成都七中高三（上）一诊数学试卷
（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合M={x|0<x<3}，N={x|1
3
≤x≤6}，则M∪N=()
A. {x|0<x≤6}
B. {x|1
3≤x<3} C. {x|3<x<6} D. {x|0<x≤1
3
}
2.已知z=2−i，则z(z−+i)的虚部是()
A. 2
B. −2
C. 2i
D. −2i
3.如图所示的几何体是由一个正方体截去一个小正方体而得到，则该几何
体的左(侧)视图为()
A.
B.
C.
D.
4.已知向量a⃗=(2,−1)，a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |=8，则|b⃗ |=()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
5.已知F1，F2是椭圆C：x2
9+y2
4
=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大
值为()
A. 13
B. 12
C. 9
D. 6
6.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉
器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为()
A. 1
16
B. 1
8
C. 1
4
D. 1
2
7. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5−a 3=12，a 6−a 4=24，则S
n
a n
=( )
A. 2n −1
B. 2−21−n
C. 2−2n−1
D. 21−n −1
8. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px(p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，
则C 的焦点坐标为( )
A. (1
4,0)
B. (1
2,0)
C. (1,0)
D. (2,0)
9. 星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式M =m +5−5lg d
3.26转换，
其中M 为绝对星等，m 为目视星等，d 为距离(单位：光年).现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为( )
(参考数据：100.906≈8.054，100.716≈5.199，cos34°≈0.8)
A. 26光年
B. 16光年
C. 12光年
D. 5光年
10. 若α∈(π
2,π)，cosα=(2−sinα)tan2α，则tanα=( )
A. √15
15
B. −√1515
C. √53
D. −√53
11. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =A 1A 1=1，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中
λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的个数是( ) ①当λ=1时，△AB 1P 的周长为定值； ②当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值； ③当λ=1
2时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP ； ④当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12. 若a =ln(ln 3
)2，b =2ln(ln2)，c =2
ln2，则a ，b ，c 的大小关系为( )
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 曲线y =
2x−1x+2
在点(−1,−3)处的切线方程为 ．
14. 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2
16
−y 29
=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的
两点，且|PQ|=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为______． 15. 已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−
3π4
,π4
]上单调递增，且直线y =−2与函数
f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是______． 16. 已知正数x ，y 满足x +4y =x 2y 3，则8
x +1
y 的最小值是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 巳知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=36，_____．
请在①a 3=5；②a 2+a 4+a 6=21，③S 7=49，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n
3n }的前n 项和T n ．
18. 某投资公司2012年至2021年每年的投资金额x(单位：万元)与年利润增量y(单位：
万元)的散点图如图：
该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y 关于x 的两个回归模型；
模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：y ̂
=2.50x −2.50； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y =blnx +a 的附近，对投资金额x 做交换，令t =lnx ，则y =b ⋅t +a ，且有∑t 10=22.00，∑y 10=230，
(1)根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程；
(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数)；
(3)根据下列表格中的数据，比较两种模型相关指数R 2，并说明谁的预测值精度更高、更可靠．
回归模型 模型① 模型② 回归方程
y ̂
=2.50x −2.50
y ̂
=blnx +a ∑(10
i=1
y i ,y ̂
i )2
102.28
36.19
附：样本(t i ,y i )(i =1,2,…,n)的最小乘估计公式为b ̂
=∑(n i=1t i −t −
)(y i −y −
)∑(n i=1t i −t −)
，a ̂
=y −−b ̂
t −；
相关指数R 2=1−∑(n i=1y i −y ̂
)2∑
(n
i=1y i −y −)
2
．
参考数据：ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．
19. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是CC 1与A 1B 的中点，△ABA 1为等边三角
形，CA =CA 1，A 1A =A 1M =2BC ．
(Ⅰ)求证：MN//平面ABC；
(Ⅱ)(i)求证：BC⊥平面ABB1A1；
(ii)求二面角A−MN−B的正弦值．
20.已知两圆C1：(x−2)²+y²=54，C2：(x+2)²+y²=6，动圆M在圆C1内部且和
圆C1内切，和圆C2外切．
(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；
(2)过点A(3,0)的直线与曲线C交于P，Q两点．P关于x轴的对称点为R，求△ARQ面
积的最大值．
21.已知x∈[0,+∞)，函数f(x)=e x+sinx，函数g(x)=ax2+2x+1．
(1)若a=1
，证明：f(x)+x≥g(x)+sinx；
2
(2)f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{
x =cos k t,
y =sin k t
(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0．
(1)当k =1时，C 1是什么曲线？
(2)当k =4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．
23. 已知函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|．
(1)画出y =f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)>f(x +1)的解集．
答案和解析
1.【答案】A
≤x≤6}，
【解析】解：∵集合M={x|0<x<3}，N={x|1
3
∴M∪N={x|0<x≤6}．
故选：A．
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为z=2−i，
则z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)=(2−i)(2+2i)=4+2+2i=6+2i，
所以虚部为2，
故选：A．
利用复数的运算性质以及共轭复数的性质即可求解．
本题考查了复数的运算性质，涉及到复数虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处是一个看得到的小正方形．
故选：B．
找到从左向右看得到的图形即可．
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握侧视图是从左向右看得到的视图．
4.【答案】C
【解析】解：因为a⃗=(2,−1)，所以|a⃗|=√22+(−1)2=√5，又因为a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |= 8，
所以|a⃗+b⃗ |²=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =8²，所以|b⃗ |²=64−2⋅5−5=49，所以|b⃗ |=7故选：C．
根据向量运算性质列方程，解方程求解．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
【解答】
解：F1，F2是椭圆C：x2
9+y2
4
=1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|=6，
所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|
2
)2=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，
所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为9．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，
则有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，
(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，
所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=1
8
．
故选：B．
先利用列举法得到共8种不同的跳法，再利用概率公式求解即可．
本题考查概率的求法，利用列举法是关键，是基础题．
【解析】
【分析】
本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于较易题．根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．
【解答】
解：设等比数列的公比为q，
∵a5−a3=12，
∴a6−a4=q(a5−a3)，
∴q=2，
∴a1q4−a1q2=12，
∴12a1=12，
∴a1=1，
∴S n=1−2n
1−2
=2n−1，a n=2n−1，
∴S n
a n =2n−1
2n−1
=2−21−n，
故选：B．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
利用已知条件转化求解E、D坐标，通过k OD⋅k OE=−1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．
【解答】
解：将x=2代入抛物线y2=2px，可得y=±2√p，OD⊥OE，可得k OD⋅k OE=−1，
即2√p
2⋅−2√p
2
=−1，解得p=1，
所以抛物线方程为：y2=2x，它的焦点坐标(1
2
,0)．故选：B．
【解析】解：∵M=m+5−5lg d
3.26
，
∴d=3.26×10m+5−M
5
，
由题意可知，M牛=2.19，m牛=0.77，M织=0.5，m织=0.03，
设地球与牛郎星距离为d1，地球与织女星距离为d2，织女星与牛郎星距离为d，
则d
1=3.26×100.77+5−2.19
5=3.26×100.716≈3.26×5.199≈17，
d2=3.26×100.03+5−0.5
5=3.26×100.906≈3.26×8.054≈26，
d2=d12+d22−2d1d2cos34°=172+262−2×17×26×0.8=257，
故d=√257≈16，
故牛郎星与织女星之间的距离约为16光年．
故选：B．
根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】B
【解析】解：由cosα=(2−sinα)tan2α，得tan2α=cosα
2−sinα
，
即sin2α
cos2α=cosα
2−sinα
，∴2sinαcosα
1−2sin2α
=cosα
2−sinα
，
∵α∈(π
2
,π)，∴cosα≠0，
则2sinα(2−sinα)=1−2sin2α，解得sinα=1
4
，
∴cosα=−√1−sin2α=−√15
4
，
则tanα=sinα
cosα=−√15
15
．
故选：B．
把已知等式变形，然后切化弦，整理后求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系得答
案．
本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】C
【解析】解：对于①，当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段CC 1上，此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ， 当点P 为CC 1的中点时，△AB 1P 的周长为√5+√2， 当点P 在点C 1处时，△AB 1P 的周长为2√2+1， 故周长不为定值，故①错误；
对于②，当μ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段B 1C 1上， 因为B 1C 1//平面A 1BC ，
所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等， 又△A 1BC 的面积为定值，
所以三棱锥P −A 1BC 的体积为定值，故②正确；
对于③，当λ=1
2时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，
因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，
则点P 在线段M 1M 上，
当点P 在M 1处时，A 1M 1⊥B 1C 1，A 1M 1⊥B 1B ， 又B 1C 1∩B 1B =B 1，所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ，
又BM 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1M 1⊥BM 1，即A 1P ⊥BP ， 同理，当点P 在M 处，A 1P ⊥BP ，故③正确；
对于④，当μ=1
2时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ，
因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线的DD 1上，
当点P 在点D 1处时，取AC 的中点E ，连结A 1E ，BE ，
因为BE ⊥平面ACC 1A 1，又AD 1⊂平面ACC 1A 1，所以AD 1⊥BE ， 在正方形ACC 1A 1中，AD 1⊥A 1E ， 又BE ∩A 1E =E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，
故AD 1⊥平面A 1BE ，又A 1B ⊂平面A 1BE ，所以A 1B ⊥AD 1， 在正方形ABB 1A 1中，A 1B ⊥AB 1，
又AD 1∩AB 1=A ，AD 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1B ⊥平面AB 1D 1， 因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，故④正确．
故选：C ．
判断当λ=1时，点P在线段CC1上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断①；当μ=1时，点P在线段B1C1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断②；
当λ=1
2
时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，则点P在线段M1M上，
分别取点P在M1，M处，得到均满足A1P⊥BP，即可判断③；当μ=1
2
时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，则点P在线的DD1上，证明当点P在点D1处时，A1B⊥平面AB1D1，利用过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，即可判断④．
本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．
12.【答案】D
【解析】解：∵a=2ln(|ln3
π|)=2ln(lnπ
3
)，b=2ln(ln2)，c=2ln21e，
而函数f(x)=2lnx在定义域(0,+∞)上单调递增，0<lnπ
3
<ln2<1<21e，
∴a<b<c，
故选：D．
根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可判断．
本题主要考查了对数函数的性质，以及利用函数的单调性比较大小，是基础题．13.【答案】5x−y+2=0
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．【解答】
解：因为y=2x−1
x+2
，(−1,−3)在曲线上，
所以y′=2(x+2)−(2x−1)
(x+2)2=5
(x+2)2
，
所以y′|x=−1=5，
则曲线y=2x−1
x+2
在点(−1,−3)处的切线方程为：
y−(−3)=5[x−(−1)]，即5x−y+2=0．
故答案为：5x−y+2=0．
14.【答案】16
【解析】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，
所以四边形PF1QF2为矩形，
设|PF1|=m，|PF2|=n，
由椭圆的定义可得||PF1|−|PF2||=|m−n|=2a=8，
所以m2−2mn+n2=64，
因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100，
即m2+n2=100，
所以mn=16，
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=16．
故答案为：16．
判断四边形PF1QF2为矩形，利用双曲线的定义及勾股定理求解即可．
本题主要考查双曲线的性质，双曲线的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】[1
4,2 3 ]
【解析】解：∵函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π
4,π
4
]上单调递增，
∴ω×(−3π
4)≥−π
2
，且ω×π
4
≤π
2
，求得0<ω≤2
3
．
且直线y=−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，ωx∈[−2ωπ,0]，
∴−5π
2<−2ωπ≤−π
2
，求得1
4
≤ω<5
4
．
综上可得，实数ω的取值范围为[1
4,2
3 ]，
故答案为：[1
4,2 3 ].
由题意利用正弦函数的图象和性质，求得实数ω的取值范围．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
16.【答案】2√2
【解析】解：令1
y =m ，8
x +1
y =t(t >0)， ∵x +4y =x 2y 3， ∴
8t−m
+
4m
=(
8t−m
)2⋅(1
m
)3，
即m 4−t 2m 2+16=0，
令m 2=a ，则a 2−t 2a +16=0，
所以关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，
∴{△=t 4−64≥016>0
，∴t ≥2√2，当x =4(√2+1)，y =1
2时取等号， ∴8x +1
y 的最小值是2√2． 故答案为：2√2．
利用换元法得到关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，再利用根与系数的关系即可求解．
本题考查了换元法的应用，一元二次方程有两个正实根的求解，属于中档题．
17.【答案】解：(1)选①a 3=5．
设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+
6×52
d =36，a 1+2d =5，
解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选②a 2+a 4+a 6=21， 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+
6×52
d =36，3a 1+9d =21，
解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选③S 7=49，
设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+
6×52
d =36，7a 1+
7×62
d =49，
解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1．
(2)a n
3n =
2n−13n
．
数列{a
n
3n }的前n 项和T n =1
3+3
32+5
33+⋯…+
2n−13n
，
∴13
T n =
13
2+
33
3+⋯…+
2n−33n +
2n−13n+1
，
相减可得：23T n =1
3+2(1
32+1
33+⋯…+1
3n )−2n−13n+1
=1
3
+2×
19[1−(1
3
)n−1]1−13
−
2n−13n+1
，
化为：T n =1−
n+13n
．
【解析】(1)选①a 3=5.设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．
选②a 2+a 4+a 6=21，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．
选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．
(2)a n
3n =
2n−13n
.利用错位相减法可得数列{a
n
3n
}的前n 项和T n ． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵∑t i 10i=1=22.00，∑y i 10
i=1=230， ∴t −
=2.2，y −
=23，
b ̂
=
∑(n i=1t i −t −)(y i −y −
)
∑(n i=1t i −t −
)
=
∑t i 10i=1y i −10t −⋅y
−
∑t i 210i=1−10t
−
2=569−10×2.2×2350.92−10×2.2×2.2=25，则a ̂
=y −
−b ̂t −
=23−
25×2.2=−32，
故模型②中y 关于x 的回归方程为y ̂
=25lnx −32．
(2)当x =20时，模型①的年利润的预测值为y ̂
=2.5×20−2.5=47.5 (万元)， 当x =20时，模型②年利润的预测值为y ̂
=25ln20−32=25×(2ln2+ln5)−32≈25×(2×0.6931+1.6094)−32=42.89(万元)．
(3)由表格中的数据可得，102.28>36.19，即102.28∑(10i=1
y i
−y
−)2>36.19
∑(10i=1
y i
−y −)2
， ∴模型①的相关指数R 2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，
故当x=20时，模型②的预测值比模型①的预测值进度更高，更可靠．
【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
(2)将x=20分别代入两个线性回归方程中，即可求解．
(3)根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BB1的中点P，连接MP，NP，
又M是CC1的中点，则MP//BC，
∵MP⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MP//平面ABC，
又N是A1B的中点，∴NP//A1B1，
而AB//A1B1，∴NP//AB，
∵NP⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴NP//平面ABC，
∵MP∩NP=P，MP、NP⊂平面MNP，
∴平面PMN//平面ABC，
∵MN⊂平面PMN，∴MN//平面ABC．
(Ⅱ)(i)证明：设BC=1，则A1A=A1M=2，
依题意CA1=CA=C1A1，
∴A1M是等腰△A1CC1底边上的中线，则A1M⊥CC1，
∴AC=A1C1=√A1M2+MC12=√5，
∵△ABA1为等边三角形，∴AB=AA1=BA1=2，
∴AB2+BC2=5=AC2，∴AB⊥BC，
同理，A1B2+BC2=A1C2，∴A1B⊥BC，
∵A1B∩AB=B，A1B、AB⊂平面ABB1A1，
∴BC⊥平面ABB1A1．
(ii)解：∵BC⊥平面ABB1A1，AN⊂平面ABB1A1，∴AN⊥BC，
∵正△ABA1中，N为BA1中点，∴AN⊥BA1，
又BC∩BA1=B，BC、BA1⊂平面A1BC，
∴AN⊥平面A1BC，
又AN⊂平面AMN，
∴平面AMN⊥平面A1BC，
设A1C∩AM=Q，连接QN，
则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线， 过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ， ∵MN ⊂平面AMN ，∴BH ⊥MN ， 过B 作BG ⊥MN 于点G ，连接HG ， 又BG ∩BH =B ，BG 、BH ⊂平面BGH ，
∴MN ⊥平面BGH ，又GH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥GH ， ∴∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，
由(i)知BC =1，CM =1，∴BM =√2， △BMA 1中，BA 1=A 1M =2，BM =√2， ∴由余弦定理得cos∠MBA 1=
222×2×√2
=
√2
4
， ∵N 为BA 1中点，∴BN =1， ∴△BMN 中，由余弦定理可得 MN =√12+2−2×1×√2×
√24
=√2，
∵S △BMN =12BM ·BN ·sin∠MBN =1
2
BG ·MN
∴BG =
√2×1×√7
8
√2
=√7
8
，
∵CM//AA 1，CM ：AA 1=1:2，∴CQ ：QA 1=1:2， 又A 1C =√5，∴A 1Q =
2√5
3
， Rt △A 1BC 中，cos∠BA 1C =BA
1
CA 1
=√5，
∴△A 1NQ 中，由余弦定理可得 QN =(
2√53
)2√53
2√
5
=√5
3
， ∴cos∠QNA 1=
(√53
)2+12−(
2√53)2
2×
√53
×1=−
√5
5
， ∴sin∠QNA 1=sin∠BNH =
2√55
，
在Rt △BHN 中，sin∠BNH =BH
BN ， ∴BH =BN ·
2√55
=
2√5
5
，
∴二面角A −MN −B 的正弦值为sin∠BGH =
BH BG
=√32
35=
4√70
35
．
【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，题目较难． (Ⅰ)取BB 1的中点P ，证得MP//平面ABC ，NP//平面ABC ，进而平面PMN//平面ABC ，由此能证明MN//平面ABC ．
(Ⅱ)(i)设BC =1，则A 1A =A 1M =2，CA 1=CA =C 1A 1，从而A 1M 是等腰△A 1CC 1底边
上的中线，则A 1M ⊥CC 1，AC =A 1C 1=√A 1M 2+MC 12=√5，推导出AB ⊥BC ，同理
A 1
B ⊥B
C ，由此能证明BC ⊥平面ABB 1A 1．
(ii)由AN ⊥BC ，AN ⊥BA 1，知AN ⊥平面A 1BC ，从而平面AMN ⊥平面A 1BC ，设A 1C ∩AM =Q ，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线，过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ，又过B 作BG ⊥MN 于点G ，则MN ⊥平面BGH ，从而∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由此能求出二面角A −MN −B 的正弦值．
20.【答案】解：(1)由题意可知，圆C 1的圆心(2,0)，半径为3√6，圆C 2的圆心(−2,0)，
半径为√6， 设圆M 的半径为R ，
则|MC 1|+|MC 2|=(3√6−R)+(√6+R)=4√6>4=|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 则2a =4√6，2c =4，
所以a =2√6，c =2，b =√a 2−b 2=2√5， 故动圆圆心M 的轨迹方程C 为
x 2
24
+y 2
20=1； (2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则R(x 1,−y 1)，
由{x =my +3
5x 2+6y 2
=120，可得(5m 2+6)y 2+30my −75=0，
Δ=(30m)2+4×75(5m 2+6)>0恒成立，由韦达定理可得y 1+y 2=−30m
5m 2+6，y 1y 2=−75
5m 2+6， 由椭圆的对称性，不妨设m <0，
则x 1<3，y 1>0，x 2>3，y 2<0，如图所示，则S △PQR =1
2×2y 1×(x 2−x 1)=y 1×(x 2−
x 1)，S △PAR =12×2y 1×(3−x 1)=y 1×(3−x 1)，
S △ARQ =S △PQR −S △PAR =y 1×(x 2−x 1)−y 1×(3−x 1)=y 1(x 2−3)=y 1(my 2+3−
3)=my 1y 2=m ×(−755m 2+6)=
75−5m+6−m ≤2√(−5m)×6−m =5√304， 当且仅当−5m =6−m ，即m =−√305时取等号，故△ARQ 面积的最大值为5√304
．
【解析】(1)设圆M 的半径为R ，由椭圆的定义得到点M 的轨迹，求出椭圆方程即可；
(2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，与椭圆
联立方程组由韦达定理可得y 1+y 2=−30m 5m 2+6，
y 1y 2=−755m 2+6，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =my 1y 2=m ×(−75
5m 2+6)，计算可得△ARQ 面积的最大值．
本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆定义的理解与应用，椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，直线与圆的位置关系的理解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：当a =12时，令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx =e x −1
2x 2−x −1(x ≥0)，
则G′(x)=e x −x −1，G ″(x)=e x −1≥0，
所以G′(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以G′(x)≥G′(0)=0，
所以G(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以G(x)≥G(0)=0，
所以f(x)+x ≥g(x)+sinx ；
(2)e x +sinx −(ax 2+2x +1)，
由题意得，ℎ(x)min ≥0，
因为ℎ′(x)=e x −2ax −2+cosx ，ℎ′(0)=0，ℎ″(x)=e x −sinx −2a ，ℎ″(0)=1−2a ，
ℎ″′(x)=e x −cosx ≥0，
则ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，
当a ≤12时，ℎ″(0)=1−2a ≥0，则ℎ″(x)≥ℎ″(0)≥0，ℎ′(x)单调递增，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0， 则ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，符合题意；
当a >12时，ℎ″(0)=1−2a <0，由(1)的结论可得ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ″(1+2a)=e 1+2a −2a −sin(1+2a)≥1+(1+2a)−2a −1>0，
故必然存在x 0∈(0,1+2a)使得，x ∈(0,x 0)时，ℎ″(0)<0，
则ℎ′(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ′(x)<ℎ′(0)=0，
则ℎ(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意，
综上，a 的范围为(−∞,12].
【解析】(′)把a =12代入后，构造函数令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx ，对其求导，然后结合导数与单调性关系即可证明；
(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，然后对函数求导，结合导数与单调性关系分析导数符号，再由函数的性质及零点判定定理可求．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用导数及函数性质证明不等式，求解与不等式恒成立问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于难题．
22.【答案】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)， 消去参数t ，可得x 2+y 2=1，
故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；
(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t
，(t 为参数)， 两式作差可得x −y =cos 4t −sin 4t =cos 2t −sin 2t =2cos 2t −1，
∴cos 2t =x−y+12，得x =cos 4t =(x−y+12
)2， 整理得：(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1)．
由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，
∴4x −16y +3=0．
联立{(x −y)2−2(x +y)+1=04x −16y +3=0，解得{x =16936y =4936(舍)，或{x =14y =14． ∴C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).
【解析】(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)，利用平方关系消
去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；
(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t
，(t 为参数)，消去参数t ，可得(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1).由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x −16y +3=0.联立方程组即可求得C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．
23.【答案】解：函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,(x ≥1)
5x −1,(−1
3≤x <1)−x −3,(x <−13)
， 图象如图所示
(2)由于f(x +1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个1单位所得，(如图所示)
直线y =5x −1向左平移一个单位后表示为y =5(x +1)−1=5x +4，
联立{y =−x −3y =5x +4
，解得横坐标为x =−76， ∴不等式f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−7
6}.
【解析】(1)将函数零点分段，即可作出图象；
(2)由于f(x+1)是函数f(x)向左平移了一个1单位，作出图象可得答案；
本题考查了绝对值函数的解法，分段作出图象是解题的关键．属于基础题．。