高二数学第二讲：函数的性质

奇函数
关于原点对称
－f(x)，那么函数 f(x)是奇函数
4.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内
的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个
函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这
条件
(1)对于任意 x∈I，都有 f(x)≤M； (3)对于任意 x∈I，都有 f(x)≥M；
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
(4)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论
M 为最大值
M 为最小值
[注意]
1.函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 的单调性相反. f（x）
(2)若 f(x＋a)＝ 1 ，则 T＝2a(a>0). f（x）
(3)若 f(x＋a)＝－ 1 ，则 T＝2a(a>0). f（x）
4.对称性的三个常用结论 (1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象 关于直线 x＝a 对称. (3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 5. 利用定义证明或判断函数单调性的步骤：
A.(1，2)
B.(－1，2) C.[1，2)
D.[－1，2)
4. 已知单调函数 f(x)，对任意的 x∈R 都有 f[f(x)－2x]＝6，则 f(2)＝( )
A.2
B.4
C.6
D.8
a，a≤b，
5. 对于任意实数 a，b，定义 min{a，b}＝
设函数 f(x)＝－x＋3，g(x)
b，a>b.
f(x)＋f(－x)，则 F(3)＝( )
A.π
B.2π
C.π
D.4π
3
3
3
9. 设函数 f(x)＝(x＋1)2＋sin x的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝________. x2＋1
10. 已知函数 f(x)＝a－ 2 . 2x＋1
(1)求 f(0)； (2)探究 f(x)的单调性，并证明你的结论；
2.“对勾函数”y＝x＋a(a>0)的单调增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减 x
区间是[－ a，0)，(0， a].
3.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝
偶函数
关于 y 轴对称
f(x)，那么函数 f(x)是偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝
(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断. 6. 确定函数单调性有四种常用方法： 定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性. [注意] 1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数 具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集. 2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接， 不要用“∪”.例如，函数 f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减
2. 下列函数 f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”
的是( )
A.f(x)＝2x C.f(x)＝1－x
x
B.f(x)＝|x－1| D.f(x)＝ln(x＋1)
3. 函数 y＝2－x，x∈(m，n]的最小值为 0，则 m 的取值范围是( ) x＋1
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区
间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足
C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)
7. 已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x).若 f(1)＝2，
则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A.－50
B.0
C.2
D.50
8. 已知函数 y＝f(x)满足 y＝f(－x)和 y＝f(x＋2)是偶函数，且 f(1)＝π，设 F(x)＝ 3
函数的性质
一、 知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D
上的任意两个自变量的值 x1，x2
定义
当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)， 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 是增函数
当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就 说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
＝log2x，则函数 h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是______.
6. 已知定义在 R 上的函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且 f(x＋1)是偶函数，不
等式 f(m＋2)≥f(x－1)对任意的 x∈[－1，0]恒成立，则实数 m 的取值范围是( )
A.[－3，1]
B.[－4，2]
个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.
[注意]
1.(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具 有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0).
1 函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数 f(x)＝ .
x
二、 典例精练
1.已知奇函数 f(x)在 R
上是增函数，若 a
f
(log 2
1) ，b 5
f
(log2 4.1) ，c
f
(20为( )
A.a<b<c
B.b<a<c
C.c<b<a
D.c<a<b