新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷一集合常用逻辑用语与不等式北师大版(含答案)

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：
单元质检卷一集合、常用逻辑用语与不等式
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
,B={y|y=2-2x},则A∩B=()
1.(2021北京海淀高三模拟)已知集合A=x y=1
lnx
A.(0,2]
B.(0,2)
C.(0,1)∪(1,2)
D.(0,1)∪(1,2]
2.(2021重庆南开中学高三期末)若定义域为R的函数f(x)不是奇函数,则下列命题一定为真命题的是()
A.∀x∈R,f(x)+f(-x)≠0
B.∀x∈R,f(x)=f(-x)
C.∃x∈R,f(x)+f(-x)≠0
D.∃x∈R,f(x)=f(-x)
>0的解集为(-2,a),则实数a的值是()
3.(2021湖南岳阳高三月考)已知不等式-ax+1
x+2
C.1
D.±1
A.-1
B.-1
2
4.(2021湖北十堰高三期中)已知函数f(x)=2x+2-x-a则“a<1”是“f(x)>0”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2021广东惠州高三月考)道路通行能力表示道路的容量,指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数,是度量道路疏导交通能力的指标,通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件
决定.某条道路一小时的通行能力N满足N=1000V
0.4V2+V+d0
,其中d0为安全距离,V为车速(单位:m/s),且V>0.若安全距离d0取40 m,则该道路一小时通行能力的最大值约为()
A.98
B.111
C.145
D.185
6.(2021江西赣州高三期中)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有5个整数,则所有符合条件的实数a的值之和是()
A.13
B.15
C.21
D.26
7.(2021浙江高三开学考试)已知函数f(x)=ax+b
x
,若存在两相异实数m,n使f(m)=f(n)=c,且
a+4b+c=0,则|m-n|的最小值为()
A.√2
2B.√3
2
C.√2
D.√3
8.(2021山东东营高三期末)已知a,b,c是正实数,且不等式a2+b2+c2+mb(a+c)≥0恒成立,则实数m 的取值范围是()
A.(-∞,-√2]
B.[-√2,+∞)
C.[√2,+∞)
D.(-∞,√2]
9.设集合M={y|y=-e x+4},N={x|y=lg[(x+2)(3-x)]},则下列关系正确的是()
A.∁R M⊆∁R N
B.N⊇M
C.M∩N=⌀
D.∁R N⊆M
10.若1
a <1
b
<0,给出下列不等式正确的是()
A.1
a+b >1
ab
B.|a|+b>0
C.a-1a
>b-1
b
D.ln a 2>ln b 2
11.已知命题p :x 2
+3x-4<0,q :2ax-1<0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的值可以是( ) A.-1
2 B.1 C.2
D.0
12.已知a>0,b>0,a log 42+b log 16√2=516
,则下列结论错误的是( )
A.4a+b=5
B.4a+b=5
2
C.ab 的最大值为25
64
D.1a +1b 的最小值为18
5
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021辽宁抚顺高三期中)设集合A={a ,2a 2
},B={|a|,a+b },若A ∩B={-1},则b= . 14.(2021山东淄博高三月考)已知函数f (x )=|2x+m|x 2+1
,命题p :∀x ∈R ,f (x )-f (-x )=0,若命题p 为真命
题,则实数m 的值为 .
15.(2021天津一中高三期末)已知a>0,b>0,且ab=1,则
12a
+
12b
+
8a+b
的最小值为 .
16.(2021江苏南京高三月考)已知f (x )={-x 2+2x +3,x ≤0,x 2+4x +3,x >0,若关于x 的不等式f (x+a )>f (2a-x 2
)在
区间[a-1,a+1]上恒成立,则实数a 的取值范围是 .
三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)设全集是R ,集合A={x|x 2
-2x-3>0},B={x|1-a<x<2a+3}. (1)若a=1,求(∁R A )∩B ;
(2)已知A ∩B=B ,求实数a 的取值范围.
18.(12分)(2021广东湛江高三期中)已知命题p :∃x ∈R ,x 2
+2ax-8-6a=0,命题q :∀x ∈[1,2],1
2
x 2
-ln
x+k-a ≥0.
(1)若当k=0时,命题p 和q 都是真命题,求实数a 的取值范围;
(2)若“命题q 为真命题”是“命题p 为假命题”的必要不充分条件,求实数k 的取值范围.
19.(12分)(2021湖北黄冈高三月考)已知f(x)=ax2+(a2-3)x-3a.
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|x>1或x<-3},求实数a的值;
(2)若关于x的不等式f(x)+x+a<0的解集中恰有2个整数,求正整数a的值.
20.(12分)(2021湖南湘潭高三期中)已知函数f(x)={x2+m
x
,x>0,
log2(-x),x<0
在(0,+∞)上有最小值1.
(1)求实数m的值;
(2)若关于x的方程[f(x)]2-(2k+1)f(x)+k2+k=0恰好有4个不相等的实数根,求实数k的取值范围. 21.(12分)某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面
靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和
地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左、右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6).
(1)当左、右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价.
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为1800a(1+x)
x
元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求实数a的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=mx2-(m+1)x+1.
(1)若m>0,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若a,b,c为正实数,且2ab+bc
a2+b2+c2
的最大值等于f(2),求实数m的值.
单元质检卷一集合、常用逻辑用语与不等式
1.C解析:由已知得A={x|x>0且x≠1},B={y|y<2},所以A∩B=(0,1)∪(1,2),故选C.
2.C解析:∵定义域为R的函数f(x)不是奇函数,∴∀x∈R,f(-x)=-f(x)为假命题,∴∃x∈R,f(-x)≠-f(x)为真命题,故选C.
3.C 解析:因为
-ax+1x+2
>0,即ax -1x+2<0,即不等式(ax-1)(x+2)<0的解集为(-2,a ),所以a>0,且1
a =a ,所以
a=1,故选C .
4.A 解析:因为2x
+2-x
-a ≥2√2x ·2-x -a=2-a (当且仅当x=0时,等号成立),所以由a<1,得f (x )>1>0;
由f (x )>0,得a<2.故“a<1”是“f (x )>0”的充分不必要条件,故选A . 5.B 解析:由题意得N=1000V
0.4V 2+V+40=
1000
0.4V+40
V
+1
,因为V>0,所以0.4V+40V ≥2√0.4V ·40
V =8,当且仅当
0.4V=40
V ,即V=10时,等号成立,所以N ≤1000
8+1≈111,故选B .
6.B 解析:设f (x )=x 2
-6x+a ,其图象为开口向上、对称轴为直线x=3的抛物线,根据题意可得,Δ
=36-4a>0,解得a<9.∵f (x )≤0解集中有且仅有5个整数,结合二次函数图象的对称性可得
{
f(1)≤0,
f(0)>0,
解得0<a ≤5.又a ∈Z ,∴a=1,2,3,4,5,即符合题意的a 的值之和是1+2+3+4+5=15,故选B .
7.B 解析:由题意知,当f (x )=ax+b
x =c 时,有ax 2
-cx+b=0(x ≠0).由f (m )=f (n )=c ,知m ,n 是ax 2
-
cx+b=0(x ≠0,a ≠0,b ≠0)两个不相等的实数根,∴m+n=c a ,mn=b a ,而|m-n|=√(m +n)2-4mn =√
c 2-4ab a 2
.
∵a+4b+c=0,即c=-4b-a ,∴|m-n|=√
16b 2+4ab+a 2
a 2=√16·(
b a ) 2+4·b a +1.令t=b
a ,则|m-n|=√16t 2+4t +1=√4(2t +1
4) 2+3
4,∴当t=-1
8时,|m-n|的最小值为√3
2,故选B .
8.B 解析:由于a ,b ,c 是正实数,所以不等式可化为m ≥-a 2+b 2+c 2b(a+c)
,而
a 2+
b 2+
c 2b(a+c)
=
a 2+
b 22+b 2
2
+c 2b(a+c)
≥
2√a 2·b 2
2
+2√b
2
2
·c 2
b(a+c)
=
√2(ab+bc)
b(a+c)
=√2,因此-
a 2+
b 2+
c 2b(a+c)
≤-√2,当且仅当a 2
=b 2
2且b 2
2=c 2
,即b=√2a=√2c 时,
等号成立,故-
a 2+
b 2+
c 2b(a+c)
的最大值为-√2,因此m ≥-√2,即实数m 的取值范围是[-√2,+∞),故选B .
9.A 解析:因为M={y|y=-e x
+4}={y|y<4},N={x|y=lg[(x+2)(3-x )]}={x|(x+2)(3-
x )>0}={x|(x+2)(x-3)<0}={x|-2<x<3},所以N ⊆M ,∁R M={y|y ≥4},∁R N={x|x ≤-2或x ≥3},所以∁R M ⊆
∁R N ,M ∩N ≠⌀,故选A .
10.C 解析:因为1a
<1
b
<0,所以b<a<0.对于A,
1a+b
<0<1
ab ,故A 错误;对于B,因为b<a<0,所以|a|<|b|,即|a|+b<0,故B 错误;对于C,由于b<a<0,故a-b>0,1
ab
>0,所以a-1a
-b-1b =(a-b )+a -b
ab =(a-b )
1+
1ab
>0,所以a-1
a >b-1
b ,故C 正确;对于D,由于b<a<0,所以b 2>a 2,所以ln a 2<ln b 2,故D 错误.故选C .
11.D 解析:对于p :-4<x<1,对于q :2ax<1.对于A,当a=-1
2时,q :x>-1,p 是q 的既不充分也不必要条件,故A 错误;对于B,当a=1时,q :x<1
2,p 是q 的既不充分也不必要条件,故B 错误;对于C,当a=2时,q :x<1
4,p 是q 的既不充分也不必要条件,故C 错误;对于D,当a=0时,q :x ∈R ,p 是q 的充分不必要条件,故D 正确.故选D .
12.A 解析:由a log 42+b log 16√2=5
16可得,a
2+b
8=5
16,即4a+b=5
2,故A 错误,B 正确;因为5
2=4a+b ≥2√4ab⇒ab ≤25
64,当且仅当a=5
16,b=5
4时,等号成立,所以ab 的最大值为25
64,故C 正确;因为1
a +1
b =2
5
1a +
1b
(4a+b )=
25
5+b a
+
4a b
≥25
(5+2√4)=185
,当且仅当a=512
,b=56
时,等号成立,所以1a
+1
b
的最小值为
18
5
,故D 正确.故选A .
13.0 解析:因为2a 2
≥0,|a|≥0,所以a=-1,a+b=-1,所以b=0. 14.0 解析:命题p 为真命题,即函数f (x )为偶函数,所以|2×(-x)+m|(-x)2+1
=
|2x+m|x 2+1
,因此|2x-m|=|2x+m|,
故m=0.
15.4 解析:∵a>0,b>0,∴a+b>0.又ab=1,∴1
2a +1
2b +8
a+b =ab
2a +ab
2b +8
a+b =a+b 2
+8
a+b ≥
2√
a+b 2
·8
a+b =4,当且仅当a+b=4时,等号成立,结合ab=1,解得当a=2-√3,b=2+√3,或a=2+√3,b=2-
√3时,等号成立.
16.-∞,-1
4∪(2,+∞) 解析:∵y=-x 2
+2x+3在(-∞,0]上单调递增,y=x 2
+4x+3在(0,+∞)上单调递增,-02+2×0+3=02
+4×0+3,∴f (x )={-x 2+2x +3,x ≤0,x 2+4x +3,x >0
在(-∞,+∞)上单调递增.又不等式
f (x+a )>f (2a-x 2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,∴x+a>2a-x 2,即a<x 2+x 在区间[a-1,a+1]上恒成立.当a+1≤-1
2,即a ≤-3
2时,(x 2+x )min =(a+1)2+a+1,∴(a+1)2+a+1>a ,∴a ∈R ,∴a ≤-3
2;当a-1<-1
2<a+1,即-
3
2<a<12时,(x 2
+x )min =-1
22
-12,∴-1
2
2
-12>a ,∴a<-14,∴-32<a<-14;当a-1≥-12,即a ≥1
2时,(x 2+x )min =(a-1)2
+a-1,∴(a-1)2
+a-1>a ,∴a>2或a<0,∴a>2.综上,a<-1
4或a>2. 17.解(1)解不等式x 2
-2x-3>0得A={x|x<-1或x>3}, 所以(∁R A )={x|-1≤x ≤3}. 若a=1,则B={x|0<x<5}, 所以(∁R A )∩B={x|0<x ≤3}. (2)A ∩B=B ,则B ⊆A.
当B=⌀时,则有1-a ≥2a+3,即a ≤-2
3;
当B ≠⌀时,则有{1−a <2a +3,2a +3≤−1或{1−a <2a +3,1−a ≥3,此时两不等式组均无解.
综上,所求实数a 的取值范围是-∞,-23
.
18.解(1)若命题p 为真命题,则有Δ=4a 2
-4(-8-6a )≥0,即a 2
+6a+8≥0,解得a ≤-4或a ≥-2; 若当k=0时,命题q 为真命题,则1
2x 2
-ln x-a ≥0,即a ≤1
2x 2
-ln x 在[1,2]上恒成立, 令g (x )=1
2
x 2
-ln x ,则g'(x )=x-1
x
=
x 2-1x
≥0,且只有f'(1)=0,
所以g (x )在[1,2]上单调递增,最小值为g (1)=12
,故a ≤12
.
因此当命题p 和q 都是真命题时,实数a 的取值范围是(-∞,-4]∪-2,1
2; (2)当命题q 为真命题时,1
2x 2
-ln x+k-a ≥0在[1,2]上恒成立,
由(1)可知a ≤1
2
+k ;
当命题p 为假命题时,由(1)可知-4<a<-2.
由于“命题q 为真命题”是“命题p 为假命题”的必要不充分条件, 所以12+k ≥-2,解得k ≥-5
2.
故实数k 的取值范围是-5
2,+∞. 19.解f (x )=ax 2
+(a 2
-3)x-3a=(ax-3)(x+a ).
(1)若不等式f (x )<0的解集为{x|x>1或x<-3},则a<0,且-a=1,3
a =-3, 故a=-1.
(2)不等式f (x )+x+a<0,即ax 2+(a 2
-2)x-2a<0的解集中恰有2个整数, 即不等式(ax-2)(x+a )<0的解集中恰有2个整数.又a 为正整数,-a<x<2
a , 所以解集必含0,即两整数解为-1,0或0,1. 当a>2时,整数解为-2,-1,0,不符合; 故a=1或a=2.
20.解(1)当x>0时,f (x )=
x 2+m x
=x+m
x ,
若m ≤0,则f (x )在(0,+∞)上单调递增,无最小值,所以m>0,
故f (x )=x+m
x ≥2√m ,当且仅当x=√m 时,等号成立,f (x )取到最小值2√m =1, 所以m=1
4.
(2)依题意,f (x )={x +14
x ,x >0,log 2(-x),x <0,
作出函数f (x )的大致图象如下:
方程[f (x )]2
-(2k+1)f (x )+k 2
+k=0, 即[f (x )-k ][f (x )-k-1]=0, 故f (x )=k 或f (x )=k+1.
方程恰好有4个不相等的实数根,作直线y=k 和y=k+1,则两直线与函数有4个交点,结合图象可知{k +1>1,k <1,
解得0<k<1, 故实数k 的取值范围为(0,1). 21.解(1)设甲工程队的总造价为y 元, 则y=3300×2x+400×
24x
+14400=1800(x +16x )+14400≥1800×2×√x ×16
x +14400=28800,3≤x ≤6,
当且仅当x=16
x ,即x=4时,等号成立.
故当左、右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为28800元. (2)由题意可得1800(x +
16
x
)+14400>1800a(1+x)
x
对任意的x ∈[3,6]恒成立.故
(x+4)2
x
>
a(1+x)x
,
从而
(x+4)2x+1
>a 恒成立,
令x+1=t ,
(x+4)2x+1
=
(t+3)2
t
=t+9t +6,t ∈[4,7].又y=t+9
t +6在t ∈[4,7]上单调递增,故y min =12.25.
所以a 的取值范围为(0,12.25).
22.解(1)f (x )=mx 2
-(m+1)x+1=(mx-1)(x-1). 当0<m<1时,f (x )<0的解集为x 1<x<1
m
;
当m>1时,f (x )<0的解集为x 1m
<x<1;
当m=1时,f (x )<0无实数解. (2)当m=0时,f (x )=-x+1.
对任意x ∈[1,2],f (x )≤f (1)=0<2恒成立.
当m>0时,函数f (x )的图象开口向上,若对任意x ∈[1,2],f (x )≤2恒成立,只需{f(1)≤2,
f(2)≤2,
即{m -(m +1)+1≤2,4m -2(m +1)+1≤2,
解得m ≤32. 故当0<m ≤3
2时,对任意x ∈[1,2],f (x )≤2恒成立.
当m<0时,对任意x ∈[1,2],x-1≥0,mx-1<0,f (x )=(mx-1)(x-1)≤0<2恒成立. 综上可知,实数m 的取值范围为-∞,3
2. (3)若a ,b ,c 为正实数,则由基本不等式得,a 2
+4
5b 2
≥4√55
ab ,1
5b 2+c 2≥
2√5
5
bc , 两式相加得a 2
+b 2
+c 2
≥2√55
(2ab+bc ),
变形得2ab+bc
a 2+
b 2+
c 2≤
√5
2
, 当且仅当a 2
=4
5
b 2
且c 2
=1
5
b 2
,即a=2c=
2√5
5
b 时,等号成立.
所以f (2)=√52,即2m-1=√52,m=
2+√54
.。