概率统计练习题

概率统计练习题

概率统计练习题

第一章

1.概率的性质、加法公式、乘法公式及其相互之间的性质和运算。复习例题

1)已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，P(A ∪B)=0.8，那么P(B

A )=______,P(

B A ?)=______. 2)已知P(A)=0.5 ,P(B)=0.6 ,P(AB)=0.4求下列概率：(1)P(B A ) (2)P(A |B ) 3)设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___________.

4)已知事件A ，B 相互独立，且P （A ）>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（） A ．P(A B)=P(A)+P(B) B ．P(A B)=1－P （A ）P （B ） C ．P(A B)=P(A)P(B)

D ．P(A B)=1

5)设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（） A ．0)|(=B A P

B ．P （B |A ）=0

C ．P （AB ）=0

D ．P （A ∪B ）=1

2.古典概型、全概率公式、贝叶斯公式的相关计算 1）将一颗骰子掷三次，求掷出的点数都不同的概率

2）若1，2，3，4，5号运动员随机排成一排，则1号运动员站在正中间的概率为_______________.

3）从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率：

（1）三位数是奇数；（2）三位数为5的倍数；（3）三位数为3的倍数；（4）三位数小于350。解设A 表示事件“三位数是奇数”， B 表示事件“三位数为5的倍数”，

C 表示事件“三位数为3的倍数”，

D 表示事件“三位数小于350”。

基本事件总数为 3

5A V =Ω，

(1)

6.06036

3)(,

33

5242

4

==?=?=A A A P A V A ； (2)

2.06012

1)(,

13

5

2

42

4

==?=?=A A B P A V B ； (3)

4.06024

!34)(,

!343

5

==?=

=A A P V C ； (4) 55.06033

2)(,

23

5

13132413

132

4==?+?=?+?=A A A A D P A A A V D 4）甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是0.01，乙组是0.02，

丙组是0.03，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概率。

解设321,,A A A 分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”，B 表示事件“加工的零件是废品”。

则 03.0)(,02.0)(,01.0)(321===A B P A B P A B P

7

1)(,7

2)(,7

4)(321=

=

=

A P A P A P 11

4

03.004.004.004.07/)03.0102.0201.04(7/02.02)

()

()()(222=

++=?+?+??=

=

B P A B P A P B A P

所以 11

71141)(1)(22=-

=-=B A P B A P 。 5）以A ，B 分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知P （A ）＝0.35，P （B ）＝0.30，并知条件概率为P （A B ）＝0.15，试求：（1）两个区同时发生停止供水事件的概率；（2）两个区至少有一个区发生停水事件的概率。

解（1）由题设，所求概率为 045.015.03.0)()()(=?==B A P B P AB P ；

（2）所求概率为 605.0045.030.035.0)()()()(=-+=-+=+AB P B

P A P B A P 。

第二章

1.随机变量及其分布：了解一维，二维离散型随机变量，连续型随机变量的性质。例如：非负性、完备性、二维随机变量的边际分布，边际密度及其与独立性的关系。

2.掌握一维随机变量函数的分布。

3.随机变量的数字特征（结合第三章随机向量的数字特征：会求期望、方差、协方差、相关系数、及其相互之间的关系。在独立性条件下的相关结论。）

4.常用离散型，连续性随机变量的分布：要求熟记分布律和密度函数，各常用分布的期望，方差。

复习例题

1）设离散型随机变量

α＝，F （x ）为其分布函数，则F （1）=（）

2）.设二维随机向量（X ，Y ）的联合分布函数F （x,y ），其联合分布列为

求：（1）α （2）F(1,1) (3)P{X+Y=0} (4)P{XY=0} （5）X+Y 的概率分布

(6)E(X) E(Y) D(X) D(Y) E(XY) COV(XY) 相关系数ρ

（7）若分布律中出现两个未知数，假设已知条件X 与Y 相互独立，如何求未知数。

3) 设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Z=X-Y ，则E （Z 2

）= E(=+)12z

4）设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，3

1），且X ，Y 相互独立，

则 E(X-3Y-4)= D （X-3Y-4）=

5）设随机变量X ～B （10，2

1

），Y ～N （2，10），又E （XY ）=14，则X 与Y 的相关系数ρ＝

6)设Y X ,为随机变量，且7)(=+Y X D ，4=DX ,1=DY ，则=),c o v (Y X __________。

7）设二维随机向量（X ，Y ）～N （1，1，4，9，

2

1

），则=

),cov(Y X 8).一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和，这两个部件的长度ξ和η为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表：

试求解：因为 E ξ=9?0.3+10?0.5+11?0.2=9.9，E η=6?0.4+7?0.6=6.6，故E (ξ+η)=E ξ+E η=9.9+6.6=16.5；

又ξ和η为两个相互独立的，因此有 E (ξη)=E ξ·E η=9.9?6.6=65.34。

9）设随机变量X 的概率密度为