抽象函数常见题型

抽象函数的对称性、奇偶周期性常用结论及题型归纳
3、等价定义法
设函数的定义域为D，在定义域内任取 , ，且，
若 >0，则函数单调递增；若有<0，则函数单调递减(证明从略)，以上是函数单调性的第二定义。

数形结合法
赋值法
例1 若奇函数
))((R x x f ∈，满足1)2(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)1(f （ ）
A. 0
B. 1
C.21-
D.2
1 解：由)2()()2(f x f x f +=+联想到原型函数)0()(≠=k kx x f ，又1)2(=f ，21,12=
=∴k k ，x x f 21)(=，则2
1)1(=f ，选D 。

2012届高考冲刺专题4--抽象函数的周期性与对称性
知识点梳理
一、 抽象函数的对称性
定理1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x b f x a f -=+，则函数)
(x f y =的图象关于直线2
b
a x +=
对称。

推论1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+，则函数)
(x f y =的图像关于直线a x =对称。

推论2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)2()(x a f x f -=),则函数)
(x f y =的图像关于直线a x =对称。

总结：x 的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程
推论 3. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+， 又若方程
0)(=x f 有n 个根，则此n 个根的和为na 。

定理2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常
数），则函数)(x f y =的图象关于点)2
,2(
c
b a +对称。

推论 1. 若函数)(x f y =定义域为R ,且满足条件：0)()(=-++x b f x a f 成立，则
)(x f y = 的图象关于点)0,2
(
b
a +对称。

推论2.若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：0)()(=-++x a f x a f （a 为常数），
则函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称。

总结：x 的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为
-1，存在对称中心。

定理3.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f y -=两函数的图象
关于直线2
a
b x -=
对称（由x b x a -=+可得）。

推论1. 函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

推论2. 函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。

定理4.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f c y --= 的图象关
于点)2
,2(
c
a b -对称。

推论. 函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2
(a
b -对称。

二、抽象函数的周期性
定理5.若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f -=+，则)(x f y =是以
b a T +=为周期的周期函数。

推论1.若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是
以)(2b a T +=为周期的周期函数。

推论2.若函数满足条件()()
1,f x a f x +=-
||则T=2a 则)(x f y =是以a T 2=为周期的周期函数。

推论3. 若函数满足条件()()()
1,1f x f x a f x ++=
||-则T=4a 则)(x f y =是以a T 4=为周期的周期函
数。

定理7.若函数)(x f y =的图象关于直线 a x =与 )(b a b x ≠=对称，则)(x f y =是以
)(2a b T -=为周期的周期函数。

定理8.若函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 与点))(0,(b a b ≠ 对称，则)(x f y =是以
)(2a b T -=为周期的周期函数。

定理9.若函数)(x f y =的图象关于直线a x =与 点))(0,(b a b ≠，则)(x f y =是以
)(4a b T -=为周期的周期函数。

总结：x 的系数同为为1，具有周期性。

例题讲解：
题型一、抽象函数的对称轴
1、若函数()2f x x bx c =++对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（ ） A.f (2)<f (1)< f(4) B.f (1)<f (2)< f(4) C.f (2)<f (4)< f(1) D.f (4)<f (2)< f(1) 答案：A 。

2、设函数y= f (x)定义在实数集R 上，则函数y= f (x －1)与y= f (1－x)的图象关于（ ）对称。

A.直线y=0
B.直线 x=0
C.直线 y=1
D.直线 x=1
答案：D 。

由1x x 11x =⇒-=-
题型二、抽象函数的对称中心 1、已知定义为R 的函数()x f 满足()()4x f x f +-=-，且函数()x f 在区间()∞+,2上单调递增.如果21x 2x <<，且4x x 21<+，则()()21x f x f +的值（ ）
A. 恒小于0
B.恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负
答案A 。

分析：图象关于点()0,2对称.()x f 在区间()+∞,2上单调递增，在区间()2,∞-上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.1242x x -<< ，且函数在()+∞,2上单调递增，所以()()124x f x f -<，又由()()4+-=-x f x f ，有
()[]()()1111444)4(x f x f x f x f -=+-=--=-，
∴()()<+21x f x f ()()114x f x f -+()()011=-=x f x f
2、函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象之间（D ）
A ．关于直线x ＝5对称
B ．关于直线x ＝1对称
C ．关于点（5，0）对称
D ．关于点（1，0）对称 答案：D 。

解：据复合函数的对称性知函数y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)之间关于点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D 。

题型三、抽象函数的周期性
1、f(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。

证明：任取函数()x f y =图象上一点()00y x ，即()00x f y =由()x f y =是偶函数得()
0y x 0，
-也在函数()x f y =的图象上，由因为函数()x f y =的图象关于x ＝1对称，点()()00y ,x 2--也
在函数()x f y =的图象上，即()00x 2f y +=，由此可得()()000x 2f x f y +==，所以函数()x f y =的周期为2。

2、设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）
A ．偶函数，又是周期函数
B ．偶函数，但不是周期函数
C ．奇函数，又是周期函数
D ．奇函数，但不是周期函数 答案：C 。

课后作业：姓名： 班级 座号
1、换题
2、定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）
A.是偶函数，也是周期函数
B.是偶函数，但不是周期函数
C.是奇函数，也是周期函数
D.是奇函数，但不是周期函数
答案：A.解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y 轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

3、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有
，则的值是（ ）
A.0
B.
C.1
D.
答案：A 。

解析：令，则；令，
则
由得()()11f x f x x x +=
+，构造函数()()
f x F x x
=，由11222112
22
f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+，所以502f ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
4、已知()113x
f x x
+=-，()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦，()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦，…，()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦，
则()20042f -=（ ）.
A.17
-
B.
17
C. 35
-
D.3
答案：A 。

分析：由()113x f x x +=
-，知()1131x f x x -=+，()2131x f x f x x -⎛⎫
== ⎪+⎝⎭
，
()()3f x f x =.
)(x f 为迭代周期函数，故()()3n f x f x =，()()2004f x f x =，()()20041
227
f f -=-=-.
5、ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱
()f x R x (1)(1)()xf x x f x +=+5
(())2f f 125
221-=x 0)2
1
()21(21)21(21)21(21=⇒=-=-f f f f 0=x 0)0(=f (1)(1)()xf x x f x +=+
称为“走完一段”。

白蚁爬行的路线是,111 →→D A AA 黑蚁爬行的路线是
.1 →→BB AB 它们都遵循如下规则：所爬行的第2+i 段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中)N i ∈.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，
这时黑白蚁的距离是( ) A.1 B.2
C.3
D.0
答案：B.解：依条件列出白蚁的路线→
→→→→CB C C C D D A AA 111111,1 →→AA BA 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A 点.可验证知：黑白二蚁走完六
段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.433161990+⨯=，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在1D 点，白蚁在C 点，故所求距离是2
6、在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，则100x =
答案：1-。

7、定义域为R ，且对任意都有，若
f(2009)=_
答案： 8、已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)= 答案：2.
9、函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为
答案：0.函数关于()01，
-和0x =对称，周期为4()()()01f 1f 2005f =--==。

10、设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时，f (x) = －
2
1
x ，则f (8.6 ) = _______
解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。

故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
11、设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间
),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式. 解：设1211212),12,12(<-<-⇒+<<-∴+-∈k x k x k k k x
0I x ∈ 时，有22)2()2(121,)(k x k x f k x x x f -=-<-<-∴=得由 )(x f 是以2 为周期的函数，2)2()(),()2(k x x f x f k x f -=∴=-∴.
成都市和圆教育
和圆教育一对一个性化教案
高一数学— 2015、2、6 平面向量
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
()y f x =x R ∈()()()
1
11f x f x f x ++=-()21f =
一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
推论1：1(2)1
(4)1(2)()
f x f x f x f x ++∴+=
=-
-+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1
()y f
x -=图象关于直线y x =对称
推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
三、函数周期性的几个重要结论
若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
(1
)(x f a x f =
+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)
(1
)(x f a x f -
=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=
推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=
推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。

1.求函数值
例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，
则)5.7(f 等于（ ）
（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.
例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.
4、判断函数奇偶性
例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立， 判断函数)(x f 的奇偶性.
5、确定函数图象与x 轴交点的个数
例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f
,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.
例1：f(x) 是R 上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x ∈[0，2]时f(x)=x ，求f(2007) 的值
例3：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)=－2x+1，则当[]6,4∈x 时求f(x)的解析式
例7：已知f(x)是定义在R 上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？
例4、 设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）
A ．偶函数，又是周期函数
B ．偶函数，但不是周期函数
C ．奇函数，又是周期函数
D ．奇函数，但不是周期函数。