直角三角形存在性问题
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数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题,以运动的观点探究几何图形的变化规律问题,称之为动态几何问题,随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中,伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题,就其运动对象而言,有点动、线动、面动三大类,就其运动形式而言,有轴对称(翻折)、平移、旋转(中心对称、滚动)等,就问题类型而言,有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解,而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题,可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型,包括等腰(边)三角形存在问题;直角三角形存在问题;平行四边形存在问题;矩形、菱形、正方形存在问题;梯形存在问题;全等三角形存在问题;相似三角形存在问题;其它存在问题等。
本专题原创编写直角三角形存在性问题模拟题。
在中考压轴题中,直角三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4cm,CD=1cm,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,至A点结束,设E点的运动时间为t秒,连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为秒。
5
2 211
2
2
2或72
【考点】单动点问题,相等腰直角三角形的判定和性质,分类思想的应用。
【解析】∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4cm,∴∠ABC=45°,AB=42cm)。
∵BC=4cm ,CD=1cm ,∴BD=3cm 。
若∠DEB=90°,则BE=
22BD=32
2
(cm )。
原创模拟预测题2. 如图,O 为坐标原点,点B 在x 轴的正半轴上,四边形OACB 是平行四边形,反比例函数16
y x
=在第一象限内的图象经过点A ,与BC 交于点F ,OB=33,BF=
1
2
BC 。
过点F 作EF ∥OB ,交OA 于点,点P 为直线EF 上的一个动点,连接PA ,PO 。
若以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形,请求出所有点P 的坐标。
【答案】解:∵点A 是反比例函数16
y x
=
在第一象限内的图象上的点, ∴可设A ()16a,a >0a ⎛⎫
⎪⎝
⎭ 。
∵四边形OACB 是平行四边形, BF=
12BC ,∴F a 833,2a ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭ 。
∵点F 是反比例函数16
y x
=
在第一象限内的图象上的点,
∴
816a 2a 33a 23a a 2
332
=⇒=+⇒=+。
∴A 823,33⎛
⎫ ⎪⎝⎭ , F 4343,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭。
∵EF ∥OB ,点P 为直线EF 上的一个动点,∴ 可设P 43p,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭ 。
根
据
勾
股
定理,得OA 2
=
100
3
,OP 2
=
216p 3
+
,
AP 2=()
2
2
2
8435223p 3p 43p 333⎛⎫-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭。
当
∠
POA=90°
时
,
有
AP 2
=
OA 2
+
OP
2
,即
22521001616p 43p p 33339-+
=++⇒= ∴416
4P 3,39
3⎛ ⎝ 。
综上所述,满足条件的点P 的坐标为12248
4P 3,3,P 3,33333⎛ ⎝ ,3344P 3,393 ,416
4P 3,39
3⎛ ⎝ 。
【考点】反比例函数综合题,单动点问题,曲线上点的坐标与方程的关系,平行四边形的性质,勾股定理,直角三角形的判定,分类思想和数形结合思想的应用。
【解析】先根据曲线上点的坐标与方程的关系和平行四边形的性质求出点A ,F 的坐标,再分别根据当∠APO=90°时,在OA 的两侧各有一点P ,得出P 1,P 2;当∠PAO=90°时,求出
P 3;当∠POA=90°时,求出P 4即可。
原
创
模
拟
预
测
题
3.
在
ABC
∆中,
,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上,且以=现有两个动点P 、Q 分
别从点A 和点B 同时出发,其中点P 以1cm/s 的速度,沿AC 向终点C 移动;点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。
过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ,连结EQ 。
设动点运动时间为x 秒。
(1)用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度;
(2)当点Q 在BD (不包括点B 、D )上移动时,设EDQ ∆的面积为2
()y cm ,求y 与月份x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)当x 为何值时,EDQ ∆为直角三角形。
(3)分两种情况讨论: ①当EQD Rt ∠=∠时,
E
A
Q
P
4,,EQ PC x EQ AC EDQ
ADC ==-∴∆∆显然有又
,EQ DQ
AC DC
∴
= 4 1.252, 2.543x x x --==即解得
2.5x =解得
②当QED Rt ∠=∠时,
,,CDA EDQ QED C Rt EDQ CDA ∠=∠∠=∠=∠∴∆∆
5(4) 1.252,,125
EQ DQ x x CD DA --∴
==即 3.1x =解得
综上所述,当x 为2.5秒或3.1秒时,EDQ ∆为直角三角形。
E
P
B
D
E
P
原创模拟预测题4. 如图,已知在平面直角坐标系中,四边形ABCO 是梯形,且BC ∥AO ,其中A (6,0),B (3,3),∠AOC=60°,动点P 从点O 以每秒2个单位的速度向点A 运动,动点Q 也同时从点B 沿B→C→O 的线路以每秒1个单位的速度向点O 运动,当点P 到达A 点时,点Q 也随之停止,设点P ,Q 运动的时间为t (秒).
(1)求点C 的坐标及梯形ABCO 的面积;
(2)当点Q 在CO 边上运动时,求△OPQ 的面积S 与运动时间t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围;
(3)以O ,P ,Q 为顶点的三角形能构成直角三角形吗?若能,请求出t 的值;若不能,请说明理由.
【答案】(1)43 (2)2
3(4)2
S t t =--(32≤≤t ) (3)当t=1或t=2时,△OPQ 为直角三角形 【解析】
试题分析:(1)作CM ⊥OA 于点M,知CM 3=,由∠AOC =60°易求BM=1,求出C 点坐标;由B 点坐标可求BC 的长,从而梯形面积可求; (2)用含有t 的代数式分别表示△OPQ 的高和底,求出△OPQ 的的面积即可表示出S 与运动时间t 的函数关系式;
Q P O C B
A
Q P O C B
A
(2)如图1,当动点Q 运动到OC 边时,OQ=t -4, 作QG ⊥OP ,∴∠ OQG=30°,
∴)4(2
121t OQ OG -==,∴)4(23t QG -=,
又∵OP=2t ,
∴)4(2
3221t t S -⨯⨯=
2
4)t t =-(32≤≤t ); (3)根据题意得出:30≤≤t ,
当20≤≤t 时,Q 在BC 边上运动,延长BC 交y 轴于点D , 此时OP=2t ,222)3()3(t OQ -+=,222)]3(2[)3(t t PQ --+=, ∵∠POQ <∠POC=60°,
∴若△OPQ 为直角三角形,只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°, 若∠OPQ=90°,如图2,则∠PQD =90°,
∴四边形PQDO 为矩形, ∴OP=QD ,∴2t=3-t , 解得t=1,
若∠OQP=90°,如图3,则OQ 2+PQ 2=PO 2
,
即222224)3()33()3()3(t t t =+-++-, 解得:t 1=t 2=2,
当32≤<t 时,Q 在OC 边上运动, 若∠OQP=90°,
考点: 1.二次函数;2.直角三角形的判定.
Q A
B
C O
P 图(3)。