新高一数学衔接班(学生版)

数学衔接
目录
第一章——前言 (1)
第二章——衔接补充 (2)
2.1数与式 (2)
2.1.1乘法公式 (2)
2.1.2因式分解 (7)
2.1.3分式与根式 (10)
2.2方程与方程组以及不等式 (15)
2.2.1韦达定理 (15)
2.2.2分式方程与无理方程以及二元方程组 (19)
2.2.3不等式 (23)
第三章——学习新知 (26)
3.1集合 (26)
3.1.1集合的基本概念 (26)
3.1.2集合的基本性质 (26)
3.1.3集合的表示方法 (27)
3.1.4集合间的基本关系 (29)
3.1.5集合间的基本运算 (31)
3.2常用逻辑用语 (38)
3.2.1充分条件、必要条件、充要条件 (38)
3.2.2全称量词与存在量词 (40)
3.3函数的概念与性质 (43)
3.3.1函数的概念 (43)
3.3.2函数的表示法 (45)
3.3.3分段函数 (45)
3.3.4函数的图象 (47)
3.3.5函数的定义类问题 (49)
3.3.6函数值域的求法 (50)
3.3.7恒成立问题 (52)
第一章——前言
首先，恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习，同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个更高的层次。

当然，随之而来的是学习内容的增多，学习方法的巨变，学习技巧的提高，高中数学对同学们的学习提出了更高的要求，主要体现在高中数学学习时“知识体系更严谨”、“考查方式更灵活”、“数学思想更重要”。

高中数学的知识会让同学们觉得更复杂、关联性更强，这就要求我们需要有“举一反三”、“化繁为简”、“知识迁移”的学习技巧。

在后续的衔接课程中，我们将通过具体的例子去体会上述所讲的各类名词的具体含义。

下面简要列出高中阶段最重要的几类数学思想，请同学们在学习时，多加思考，每次学习时、每次做题时，都使用到了什么数学思想。

“数形结合思想”、“分类与整合思想”、“特殊与一般思想”、“函数与方程思想”
接下来，我们通过几类可以利用初中知识解决的题目来具体体会一下高中数学学习的魅力。

引例1：b kx y +=是什么？x
k y =是什么？c bx ax y ++=2又是什么？引例1体现了____________________________的数学思想，体现了____________的学习技巧引例2：设c b a ,,为均为正数，且b c ≥，证明：b
c b a c a -≤+-+2222引例2体现了________________的数学思想，体现了________________________的学习技巧*思考题：设c b a ,,为均为正数，求证：b
c b a c a -≤+-+2222本题与引例2有什么不同？做一做并体会其中奥妙。

第二章——衔接补充
2.1数与式
2.1.1乘法公式
一、【归纳初中知识】
在初中，我们学习了多项式的运算，知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便，初中我们主要学习了两个基本乘法公式：
①平方差公式：22))((b
a b a b a -=-+②完全平方公式：2
222)(b ab a b a +±=±在初中阶段我们常要求掌握上述2个公式，但从今往后我们更多要求的是对公式的推广、对定理的多重认知，比如我们可以利用引例2
的思想来研究上述公式的几何维度解析。

你能说出上述图形验证了哪一个式子吗？
例1：利用几何图形证明当0,>b a 时，2
222)(b ab a b a ++=+由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子：
⎪⎩⎪⎨⎧±=±±=+ab
b a b a ab b a b a 4)()(2)(22222 ，我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换，恒等变换在高中数学当中是一个非常重要的工具。

二、【衔接高中知识】
高中代数部分是以函数为主线展开学习的，为研究函数的性质，需要同学们具有很强的代数恒等变换能力，在此，我们对乘法公式进行一些拓展，请大家进行部分自主提炼：③完全立方和公式：=+3
)(b a ________________________
④完全立方差公式：=-3)(b a ________________________
公式③、④我们统称为完全立方公式，我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到立方和与立方差的公式呢？
⑤立方和公式：=+33b a _________________________
⑥立方差公式：=-33b a _________________________
最后，我们再填补三数平方和的公式：
⑦三数平方和：=++2)(c b a _________________________三、【例题精讲】
例1：观察下列算式：
8
1322=-16
3522=-24
5722=-32
7922=-（1）按照上述规律续写2个式子；
（2）用文字反应出上述式子的规律；
（3）证明你所发现规律的正确性；
例2：观察下列算式：
7
1233=-19
2333=-37
3433=-61
4533=-（1）按照上述规律续写两个式子；
（2）求--33201920203
320172018+例3：若1
,0-=++=++bc ac ab c b a （1）求2
22c b a ++；
（2）求444c b a ++；
例4：已知0132=+-x x ，求331
x x +的值。

例5：证明：函数3x y =中y 与x 具有相同的增减性
例6：设61
,1(333
++=+=n n y n n x ，则对于任意的0>n ，x 与y 的大小关系为（
）
A.y x >
B.y x <
C.y x ≥
D.y
x ≤由本题，我们可以引出高中乃至高考的重点知识：
⑧基本不等式：初步认识“对勾函数”x
x y 1
+=在平时的学习中，我们应该注重多深究，多追问，多归纳！
课后习题
1、已知1692
2=+q p ，7=-q p ，则______
=pq 2、三角形的三边满足ab c bc a 2222-=-，则该三角形的形状为_________
3、0444)(2=+--+y x y x ，则______)(10=+y x
4、已知：)
)(())(()
)((322344223322y xy y x x y x y x y xy x y x y x y x y x y x +++-=-++-=-+-=-，则=-n
n y x ________________________5、当33=x 时，计算3221)124)(12(x x x x x -+-+
____=6、________
1993199119922=⨯-7、已知x t =+2
)58(，求)68)(48(++t t =_______
8、已知20182019+=t a ，20192019+=t b ，20202019+=t c ，
则=---++bc ac ab c b a 222_________
9、已知10=+y x 且28033=+y x ，则代数式22y x +=___________10、函数x
x x y 1322++=在0>x 时的最小值为________11、已知n m ,均为正数，且1=+n m ，则
n
m 23+的最小值为________***12、函数)0(104212>+++=x x x x y 的最大值为___________
2.1.2因式分解
一、【归纳初中知识】
把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做因式分解。

初中阶段我们常用的两种因式分解方法有：
方式①：提取公因式法)
(b a m bm am +=+方式②：公式法⎪⎩
⎪⎨⎧+±=±-+=-±=+±))(())(()(22233222
22b ab a b a b a b a b a b a b a b ab a 二、【衔接高中知识】
下面我们介绍几种常用的高中因式分解的方法：
方式③：分组分解法
)
)(()()(n m y x n
y x m y x yn
xn ym xm ++=+++=+++方式④：十字相乘法)
)(()(2
b nx a mx ab x na mb mnx ++=+++我们知道形如pq x q p x +++)(2这样的二次三项式可以分解为))((q x p x ++，它的特点是二次项系数为1，常数pq 与一次项系数q p +可以通过“十字相乘，乘积相加”的方式建立联系，得到))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++。

这种方法能推广到更深层次吗？下面来看二次三项式ab x na mb mnx +++)(2，将二次项系数mn 与常数项ab 建立十
字形式：我们发现“十字相乘，乘积相加”刚好得到一次项系数na mb +，从而我们有
***方式⑤：大除法
我们引入这样一个问题：求方程02322
3=-+-x x x 的解
显然，由观察得出_______是方程的一个根，那么该方程左边的多项式必定可以写成下面形式：=-+-23223x x x ___))(________1(-x ，那么我们如何确定空缺部分呢？下面我们介绍大除法：
三、【例题精讲】
例1：分解因式
（1）3
22-+x x （2）3
442-+x x 例2：分解因式
（1）2
)()(222----x x x x （2）2282y
xy x --（3）y
x xy x 6322--+（4）4
33
-+x x 例3：已知n 是正整数，且1001624+-n n 是质数，求n 的值
课后习题
1、若()()422
-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。

2、()()_____3 42
+=--x x x 3、若))((102b x a x mx x ++=-+，且b a ,均为整数，则______
=+b a 4、下列各式中，不是417424+-x x 因式的是（
）A 、2
1
-x B 、2+x C 、2-x D 、4-x 5、分解因式4424-+-x x x =__________________
6、若多项式2
29)1(b ab k a +-+能用完全平方公式进行分解，则=k _________
7、分解因式：_________)()(222=-+-2b a cd d c ab 8、分解因式：432
3+-x x =__________
9、设xy n y x m =-=,，试用n m ,表示233)(y x +***10、多项式652
2++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，计算b a +
2.1.3分式与根式
一、【归纳初中知识】
1.在初中阶段我们把形如B
A 的式子叫做分式，并且常常用到以下性质：⎩
⎨⎧=÷÷=⨯⨯B A M B M A M B M A 1.在初中阶段我们把形如)0≥a a 的式子叫做二次根式，表示的是非负数a 的算数平方根，并且常用到以下性质：
⎪⎩⎪⎨⎧=≥=a
a a a a 22)0()(二、【衔接高中知识】
1.进入高中之后，我们对分式部分知识点的要求就变得逐渐高起来，具体体现在要求同学们需要有更强的运算能力以及恒等变形能力。

2.进入高中之后，我们对根式部分的掌握要求就不再是二次根式，而是更高的三次根式，四次根式，n 次根式等等……
三、【例题精讲】
例1：若411=-n m ，求n
mn m n mn m ----2232的值例2：54(2)2
x A B x x x x +=+++，求B A ,的值例3：设b
a c c a
b
c b a k +=+=+=，求k 的值
例4：设0=++c b a ，求3)11(11(11
(++++++b
a c c a
b
c b a 例5：已知1=abc ，证明11
11=++++++++c ac c b bc b a ab a 例6：阅读材料，回答下列问题：
21211=-613121=-12
14131=-…………我们发现)
1(1111+=+-n n n n （1）计算2020
201912011216121⨯⋅⋅⋅++++；（2）求证：
21)12)(12(163135115131<+-+⋅⋅⋅++++n n
例6：（1）若0<x ，求44332x x x ++；（2）求n n
a （n 为正整数）
例7：已知
x y ==，求22353x xy y -+的值
***例8：已知实数b a ,非负，若ab b a =-⨯-2211，求证：11122=-+-a b b a **例9：若2
20061+=x ，则20193)200520094(--x x 的值为？
课后习题
1、若2532=-y y x ，则=y
x ________2、计算：______)]()[()(11220=-÷÷÷-y
x y x x y 3、比较大小：
（1）1011______1112--；（2）4
62+_______622-4、已知0111=++c
b a ，求证：2
222)(c b a c b a ++=++5、若41=+x x ，计算1
242++x x x 6、下列说法正确的是（
）A.正数有一个偶次方根
B.负数没有偶次方根
C.负数有两个奇次方根
D.正数有两个奇次方根
7、若0>a ，则=-3ax （
）A.ax x B.ax x - C.ax x -- D.ax
x -8、已知5=xy ，则y
x y x y x +=________9、化简：x
x x x x x x x 261962793332+---+-++
10、设2
24422-+-+-=m m m n ，求mn 11、化简：
（1）)21(12<<--a a a ；
（2）),1,0()()(*
N n n b a b a b a n n n n ∈><<++-12、证明：4
1)2)(1(1543143213211<+++⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n
2.2方程与方程组以及不等式
2.2.1韦达定理
一、【归纳初中知识】
1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。

2、对于任意的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，通过判别式ac b 42
-=∆能够判断其方程解的个数。

二、【衔接高中知识】
我们已经知道)0(02
≠=++a c bx ax 如果有两个解，则其分别为；a ac b b x 2421-+-=，a
ac b b x 2422---=则我们可以得到⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121上面揭示了二次方程的根与系数c b a ,,之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。

反之，若21,x x 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121，则我们可以说21,x x 一定是)0(02≠=++a c bx ax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。

三、【例题精讲】
例1：若21,x x 是0122=-+x x 的两个根，求：
（1）2221x x +；（2）22
2111x x +；（3）21x x -；（4）3231x x +
例2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为5-和3
2.例3：已知关于x 的方程014
1)1(22=+++-k x k x ，根据下列条件，分别求出满足条件的k 值.
（1）方程两实根之积为5；（2）方程两实根满足21x x =.
例4：若21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个根，当m 为何值时，2
221x x +有最小值？请你求出这个最小值例5：已知关于x 的方程04)2(22
2=++-+m x m x 有两个实数根，并且两根平方和比两根之积大21，求m 的值.
例6：若关于x 的方程02
=++a x x 有两个根：
（1）当其中一个大于1，另一个小于1时，求a 的取值范围；
（2）当两个根都小于1时，求a 的取值范围.例7：若21,x x 是方程01)12(22=+++-k x k x 的两实数根，且均大于1.
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若2
121=x x ，求k 的值***例8：已知b a ,是一元二次方程012=--x x 的两个实数根，求)2(2
2-+b a a 的值.
课后习题
1、关于x 的一元二次方程0522=++-a a x ax 其中一个根是0，则a =________
2、关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ：
（1）若有一个根为0，则_______=m ，此时方程另一个根为__________
（2）若两根之和为53-
，则_______=m ，此时方程两个根分别为______、________3、方程01222=-+x x 的两根为21,x x ，则______
21=-x x 4、设21,x x 为方程02=++q px x 的两根，且1,121++x x 为方程02=++p qx x 的两根，则________
________,==q p *5、已知实数c b a ,,满足b a -=6，92-=ab c ，则____________,______,===c b a ***6、若实数b a ,满足1≠ab 且09201952=++a a ，05201992=++b b ，求
a b =______7、已知关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 两根之比为5:3，求证：21564b
ac =8、已知方程05)2(22
2=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 9、若一元二次方程04)1(2
=++-x m x 的两个根均满足30≤≤x ，求m 的取值范围
2.2.2分式方程与无理方程以及二元方程组
一、【归纳初中知识】
1、牢记初中阶段所学过解分式方程的关键步骤：
①通过找最简公分母去分母；
②检验增根
2、初中阶段所学习过最直接去根号的方法：平方法
3、初中阶段学习过二元一次方程的基本解法：消元法
二、【衔接高中知识】
1、学会求解复杂的分式方程；
2、学会求解带根式的无理方程；
3、学会求解二元方程组；
三、【例题精讲】
例1、解方程：0)
2(1)2(1422=++---x x x x x 例2：解方程：112)1(31)2(82222=+-+-+x
x x x x x 例3：解方程：1
263=-+x x
例4：解方程：1
253++=-x x 例5：解方程：93253322
2++=++x x x x 例6：解方程：8
219533+=-+-x x x 例7：解方程组：⎩⎨⎧=-+=+01122y x y x 和⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0
34102222y xy x y x
例8：解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--0
1220212y x y x 例9：解方程组：)
0()8()2()3()7()1()5(2222222
22>⎪⎩
⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-r r y x r y x r y x
课后习题
1、关于x 的方程
22144212-+=-++x x x x 的解为__________2、若)
2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A ，则=-B A _____________3、关于x 的方程18)
4(72721)4(=+-+-+x x x x x x 的解为__________________4、关于x 的方程33=-+x x 的解为_________________
5、关于x 的方程1345=+-+x x 的解为___________
6、关于x 的方程04222
=--+-+x x x x 的解为___________7、关于x 的方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0
65202222y xy x y x 的解为_______________8、解方程组：⎩⎨⎧=+=+8
33y xy x xy
2.2.3不等式
一、【归纳初中知识】
初中阶段我们已经学习过一元一次不等式的解法，但在高中学习中往往不够用，我们来总结一下已经学习过不等式的解法：
解b ax >应该分三种情况讨论：
1.若0=a ，且0≥b ，不等式无解；若0,0<=b a ，不等式有无数解
2.若0>a ，则解为a b
x >
3.若0<a ，则解为a
b x <二、【衔接高中知识】我们在高中阶段主要会接触到三类不等式：
1.一元二次不等式：其通常求解方法有“因式分解乘积法”、“二次函数图像法”；
2.分式不等式：其主要求解方法为将分式不等式转化为整式不等式；
3.简单的高次不等式：常用求解方法为“因式分解乘积法”
规律总结：①一般地，解不等式先使不等式右边为______
②一般地，对于一元二次不等式)0(02
<>++c bx ax ，先化二次项系数为_______，然后找出方程02=++c bx ax 的两根21,x x ，最后根据不等号：小于取______，大于取_____。

三、【例题精讲】
例1：因式分解法解不等式：062
<-+x x 例2：因式分解法解不等式：3522
->-x x 例3：图像法解不等式0122
<++-x x 例4：已知不等式022>++bx ax 的解集为32
1<<-x ，求022<++a bx x 的解集例5：解不等式：（1）0113<+-x x （2）13
12≥+-x x 例6：解不等式：0)12)(2(2
<--+x x x
课后习题
1、不等式0262<--x x 的解集为______________
2、不等式0322<--x x 的解集为_________________________
3、已知不等式02<+-b ax x 的解集为32<<x ，则不等式012≥+-bx ax 的解为_______
4、不等式12<-x
的解集为_______________5、不等式0)3)(2)(1(<+-+x x x 的解集为____________________
6、不等式04
322>--x x 的解集为____________________________7、不等式22
1>-+x x 的解集为________________8、解不等式0
)6)(2(2≥-++x x x 9、解不等式：06
3222<++--+x x x x
第三章——学习新知
3.1集合
3.1.1集合的基本概念
在小学和初中，我们已经接触过一些集合。

例如，自然数的集合，有理数的集合，不等式37<-x 的解的集合（常称为解集），到一个定点距离等于定长的点的集合即_______，到一条线段两个端点距离相等的点的集合即________________。

我们再来看下面的一些例子：
（1）1~20以内的所有素数；
（2）我国从2000~2019年的20年内所发射的所有人造卫星；
（3）某汽车厂2019年生产的所有汽车；
（4）2019年1月1日之前与中国建立外交关系的所有国家；
（5）所有的正方形；
（6）到直线l 的距离等于定长d 的所有点；
（7）方程0232
=++x x 的所有实数根；
（8）某中华2019年9月入学的所有高一学生；
在例子（1）中，我们把1~20以内的每一个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样的，例子（2）中，把我国从2000~2019年的20年内发射的每一个人造卫星作为元素，这些元素的全体也构成一个集合。

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

3.1.2集合的基本性质
给定的集合，它的元素就必须是确定的。

比如“中国的直辖市”构成一个集合，这个集合中的元素有北京、上海、重庆、天津，而成都、杭州、南京……等城市则不在这个集合中。

而“成绩较好的同学”不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的，我们把集合的这个性质叫做确定性。

一个集合当中的元素一定不能相同，也就是说同一个集合中不能出现重复的元素，我们把集合的这个性质叫做互异性。

一个集合当中的元素是没有顺序之分的，比如“全球四大海洋”里的元素是大西洋、北冰洋、印度洋、太平洋，这四个元素没有顺序之分。

我们把集合的这个性质叫做无序性。

例1：下列各选项的全体能否构成一个集合（
）A.皮肤很好的人；
B.百米飞人
C.身体素质棒的学生；
D.立等于本身的数
3.1.3集合的表示方法
我们常用小写字母,,,,d c b a ……y x ,等表示集合中的元素，常用大写字母,,,C B A ……U T S ,,等表示集合。

如果元素a 是集合S 中的元素，我们就说a 属于S ，写作S a ∈；
如果元素a 不是集合S 中的元素，我们就说a 不属于S ，写作S a ∉；
常用集合的记法：
①自然数集：N
②整数集：Z
③正整数集：*
N 或+
N ④有理数集：Q
⑤全体实数：R
例2：设集合A 表示世界联合国常任理事国的集合，则：
中国______A ；印度_______A ；英国_______A ；法国_______A ；意大利______A 列举法：
我们可以把“全球四大洋”组成的集合表示为{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}，把方程022
=--x x 的所有实数根表示}2,1{-。

像这种把集合的元素一一列举出来并且用花括号“{}”括起来的表示方法叫做列举法。

例3：用列举法表示下列集合
（1）由x x =3所有实数根组成的集合；（2）由1~20的素数组成的集合
描述法：
当我们遇到一些无法一一列举出元素的集合时，例如“37<-x ”的解集，它的元素是列举不完的，此时我们就采用特征描述法记为：},10{R x x x A ∈<=，又比如全体奇数组成的集合：},12{Z k k x x S ∈+==，像这样用元素特征表示集合的方法称为描述法：
值得注意的是，在这里“丨”前面的字母x 是随便取的，取m t z y ,,,等都可以，只是用字母表示数字的一个方式，表示我们集合中的元素都是数字。

}
{元素的特征，约束条件元素=A 特别地，如果集合中对元素没有约束条件，我们默认为集合中的元素都属于实数R .例4：用描述法表示下列集合
（1）方程0822
4=--x x 的根组成的集合；
（2）由大于10小于20的整数构成的集合；例5：如果集合}1,0,1{-=A 和},0{2
a B =有两个相同的元素，则实数a 的值为______例6：下列选项中，集合T S ,表示同一个集合的是（
）
A.=S {全体等边三角形}，=T {全体正三角形}
B.}2,1{=S ，)}
2,1{(=T C.=S },0{N x x x ∈≥，},0{+∈≥=N x x x T D.=S {中国古代四大发明}，=T {造纸术，指南针，印刷术，地动仪}
例7：已知集合},,),({},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈-∈∈==，则集合B 中元素的个数为__________
再思考这样一个集合}02{2
=++=x x x A ，是否存在满足条件的元素x 呢？
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为φ
例8：在集合}012{2=++=x kx x A 中，分别求出以下情形k 的取值或取值范围是？
（1）当A 中为空集时；
（2）A 中仅有一个元素时；
（3）A 中有两个元素时。

数轴表示法：对于某些集合而言，其元素都是处于一个范围之中，例如}3{≤=x x A ，我们也可以将其表示在数轴上，这样的方法叫做数轴表示法，常用于后面集合的运算当中。

·
3
3.1.4集合间的基本关系
观察下面几个例子，寻找它们之间的关系：
（1）}
5,4,3,2,1{},3,2,1{==B A （2）A 为新华中学高一（1）班全体女同学组成的集合，B 为新华中学高一（1）班全体同学组成的集合；
（3）}
40{},31{≤≤=<<=x x B x x A
可以发现，上述三个例子中，集合A 都可以看作被包含在集合B 中，因为集合A 有的元素，集合B 都有。

一般地，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们常称为集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆（或A B ⊇）
在数学上，我们经常用封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图，例如上述例子中的集合A 与B 的关系可以表示为下图。

一般情况，我们可认为作为子集的集合范围更___。

B A 我们再看下面两个集合：
x A {=x 是两条边相等的三角形}，x B {=x 是等腰三角形}
很明显，上述两个集合的元素是一样，都代表全体等腰三角形。

我们把元素完全一样的两个集合称为相等集合，记作B
A =例9：若两个集合满足A
B B A ⊆⊆且，则B A ,的关系为B A __（类比a b b a ≤≤,）
也就是说，当B A ⊆时，有可能B A =。

特殊地，当B A ⊆且B A ≠时，我们把A 叫做B 的真子集，写作A ⫋B 再思考这样一个集合}02{2
=++=x x x A ，是否存在满足条件的元素x 呢？
一般地，我们把不含有任何元素的集合称作______，记作φ，并且它是任意集合的_______。

例10：分别求出下列集合的子集：
（1）}
{a A =（2）}
,{b a B =（3）},,{c b a C =
思考：},,,,{ 个元素
共n t c b a D ⋅⋅⋅=，请问D 有多少个子集、真子集、非空子集、非空真子集？例11：若}41{<<-=x x A ，}121{+<<-=m x m x B ，若A B ⊆，则m 的取值范围为？例12：设集合}1{++==2x x y y A ，}1),({2
++==x x y y x B ，分析两个集合各自的含义与不同。

3.1.5集合间的基本运算
并集：
考察下列集合：
}
4,3,2,1{},4,3{},2,1{===C B A R
C x x B x x A =≥=<=},1{},1{明显地，上述例子中，集合C 相当于B A ,中所有的元素“加”在一起。

一般地，由集合B A ,中所有元素构成的集合C 叫做A 与B 的并集记作}{B x A x x B A C ∈∈==或 ，用Venn
图表示如下：
例13：判断下列式子正确与否：
（1）1,1,2,2,3}{0{1,2,3}{0,1,2}，
= （2）N N =*0 ；
（3）R Q R = ；
（4）若}1{},1{-==-==x y x B x y y A ，则有}
1{2+==x z z B A 例14：若}31{},21{≤<=<<-=x x B x x A ，求B
A 交集：
考察下列集合：
}
4,3{},5,4,3,0{},4,3,2,1{===C B A }
11{},1{},1{<≤-=-≥=<=x x C x x B x x A 明显地，上述例子中，集合C 是B A ,的公共部分，C 当中的元素既属于A 又属于B 。

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合C 叫做A 与B 的交集记作}{B x A x x B A C ∈∈==且 ，你能用Venn 图表示这种关系吗？
例15：若}6,4,2,0{},5,4,3,2,1{},3,2,1,0{===C B A ，求)
(C B A 例16：若}06{2<--=x x x A ，}02{2
>--=x x x B ，求B A
例17：设}01)1(2{},04{2
22=-+++==+=a x a x x B x x x A .
（1）若B B A = ，求a 的值
（2）若B B A = ，求a 的取值范围；补集：
一般地，如果有两个集合U A ,满足U A ⊆，则我们把属于U 但不属于A 的部分称作A 在U 内的补集，记作}{A x U x x A C U ∉∈=但，并且我们常常把范围更大的集合U 称为全集。

你能用Venn 图表示这种关系吗？
例18：已知全集R U =，}1{<=x x A ，求A
C U 例19：求N
C Z 例20：已知}011{<-+=x x x A ，}02
32{2>+-+=x x x x B ，求A C B
例21：已知某班有54名学生，其中会打篮球的有36人，会打排球的有40人，两种球都不会打的人数比两种球都会打的人数的4
1还少1，问两种球都会打的有多少人？例22：如图，其中U 代表全集，B A ,为U 的两个子集。

（1）在图上用阴影部分表示下列式子
)()(B C A C U U ；)
()(B C A C U U （2）判断集合间关系：
)(_____)()(B A C B C A C U U U ；)
(______)()(B A C B C A C U U U
课后习题
1、下列所给关系正确的有：（
）①R ∈π；②
Z ∈21；③N ∈-1；④Q ∉-3A.0 B.1 C.
2 D.32、下列表示M 、N 为同一集合的是：（
）A.M={顶角为60°的等腰三角形}，N={等边三角形}
B.M },31{Z x x x ∈≤<=，N =}
3,2,1{C.M=}{3x x x =，N=}
1,1{-D.M=}012{2=+-x x x ，N=}
012{2=++x x x 3、设集合}32{≤=x x M ，3=a ，则下列说法正确的是：(
)A.M a ∈ B.M a ∉ C.M a ⊆ D.M
a ≠⊂4、设全集Z U =，集合},12{},,2{Z k k y y B Z k k x x A ∈+==∈==，则下列关系式正确的个数为（
）①B
A ⊆②
B
C A C U U =③B A C U =④A B C U =A.1 B.2 C.3 D.4
5、集合},21{Z y y y A ∈<≤-=的非空真子集个数为：（）
A.6
B.7
C.8
D.无法确定6、定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为(
)A ．0B ．2C ．3D ．6
7、若}23{a x x A ≤+=，}3{≤=x x B ，且A B ⊆，则a 的取值范围为：（
）A.5>a B.5≥a C.11>a D.11
≥a 8、若},8{},,4{},,2{Z k k z z C Z k k y y B Z k k x x A ∈==∈==∈==，则A,B,C 的关系为（）
A.C B A ⊆⊆
B.A C B ⊆⊆
C.A B C ⊆⊆
D.无法确定
9、已知集合{}2|10,A x x A R φ=++== 若，则实数m 的取值范围是（）
A ．4<m
B ．4
>m C ．40<≤m D ．40≤≤m 10、已知集合}086{2≥+-=x x x A ，}032{2<--=x x x B ，则B A C R )(=（
）A.}21{<<-x x B.}31{<<-x x C.}32{<<x x D.}
42{<<x x 12、已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，则a 为_______，集合A 中的另一个元素为_____.
13、已知{}{}22|2004(2)400x x a x a +⨯++-==，则a =．
14、若集合}05{},015{22=+-==+-=q x x x B px x x A ，且}5,3,2{=B A ，则
_____
=+q p 15、设}{},3{2
t x y y B x x A +-==≤=，且φ=B A ，则t 的取值范围是____________16、已知集合}01{2=+-=kx x x A ，}0432{2
=-+-=k kx x x B .
（1）若A 、B 中均有两个元素，求k 的取值范围。

（2）若B A 共有三个元素，求k 的值。

17、设集合}02{},01
5{2<--=≤+-=m x x x B x x x A （1）当3=m 时，求)(B C A R ；
（2）若}41{<<-=x x B A ，求m 的值
18、}25{≤<-=x x A ，}
212{+<<-=m x m x B （1）是否存在实数m ，使得A B ⊆，若存在，求出m 的范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m ，使得B A ⊆，若存在，求出m 的范围，若不存在，请说明理由；
（3）是否存在实数m ，使得φ=B A ，若存在，求出m 的范围，若不存在，请说明理由；
19、某年级进行数理化三科竞赛，参加数学的有203人，参加物理的179人，参加化学的165人，参加数学和物理的143人，参加数学和化学的116人，参加物理和化学的97人，三科窦参加的有89人。

求本次共有多少名学生参加了竞赛。

**20、已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈,且C B ⊆,求a 的取值范围。

3.2常用逻辑用语
3.2.1充分条件、必要条件、充要条件
在初中时，我们对命题已经有了初步的认识，一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

判断结果为真的叫做真命题，判断结果为假的叫做假命题。

并且我们知道，很多命题都可以写作“若p ，则q ”的形式，其中p 表示命题的条件，
q 表示命题的结论。

接下来我们要学习数学中常用的三个逻辑用语——充分条件、必要条件、充要条件。

判断下列命题的真假：
（1）如果平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若0342=+-x x ，则1=x ；
（4）若平面内两条直线b a ,均垂直于另一条直线l ，则b a //.
显然，在命题（1）和（4）中，通过数学知识可以由条件p 推出结论q ，所以他们是真命题，（3）（4）反之。

一般地，如果条件p 可以推出结论q ，我们记作q p ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些p 是q 的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
（4）若b a =，则bc ac =；
（5）若x 是有理数，a 为无理数，则a x +为无理数。

我们已经知道，如果q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

反之，如果我们有p q ⇒，则q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件。

所以，如果p 能推到q ，q 也能推到p ，记为q p ⇔，则我们知道p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，此时我们就说p 是q 的充要条件，显然，也可以说q 是p 的充要条件。

上述（1）~（5），哪些表示前者与后者是充要条件的关系？
例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形是正方形，:q 四边形的对角线互相垂直且平分；（2）:p 两个三角形相似，:q 两个三角形两边成比例；（3）:p 0>xy ，:q 0,0>>y x ；
（4）:p 1=x 是一元二次方程02
=++c bx ax 的一个根，:q )0(0≠=++a c b a 例3：设,a R ∈则“1a >”是“2
1a >”的()
A,充分不必要条件
B,必要不充分条件
C,充要条件
D,既不充分也不必要条件
例4：设p ：实数,x y 满足1x >且1y >，q ：实数,x y 满足2x y +>，则p 是q 的()
A,充分不必要条件
B,必要不充分条件
C,充要条件
D,既不充分也不必要条件
例5：设0,,x y R >∈则“x y >”是“x y >”的()
A,充分不必要条件
B,必要不充分条件
C,充要条件
D,既不充分也不必要条件例6：你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
例7：判断下列各题中，p 是q 的什么条件（1）B P a p ∈:，P a q ∈:（2）21:≤<-x p ，2
10:<
<x q （3）A p :⫋B ，B A q ⊆:（B A ,均为非空集合）
3.2.2全称量词与存在量词
我们知道，命题是可以判断真假的陈述句。

在数学中，有时候会遇到含有变量的陈述句，由于变量的不确定而无法判断真假，因此它们不是命题。

但如果在原有语句上加上一些短语词汇，使得可以判断真假，就能让其变成命题，我们把这样的短语称作量词。

判断下列语句是否是命题，并思考（1）（3）、（2）（4）之间的关系（1）3>x （2）12+x 是整数
（3）对所有的R x ∈，3>x （4）对任意的Z x ∈，12+x 是整数
全称量词：
一般地，短语“对所有的”、“对任意一个”等限定性词汇在逻辑中叫做全称量词，用符号“∀”表示。

含有全称量词的命题叫做全称量词命题，例如“N n ∈∀，12+n 为奇数”。

例8：判断下列全称量词命题的真假（1）所有的素数都是奇数（2）11,>+∈∀x R x （3）Q
x Q C x R ∈∈∀2
,判断下列语句是否是命题，并思考（1）（3）、（2）（4）之间的关系（1）312=+x （2）x 能被3,2整数
（3）存在一个R x ∈，312=+x （4）至少有一个Z x ∈，x 能被3,2整数
存在量词：
一般地，短语“存在”、“至少一个”等词汇在逻辑中叫做存在量词，用符号“∃”表示。

含有存在量词的命题叫做存在量词命题。

例如“02,2
>-+∈∃x x R x ”
例9：判断下列存在量词命题的真假（1）0
1,2
=++∈∃x x R x （2）存在两条相交直线垂直于同一条直线（3）有些平行四边形是菱形
全程量词命题与存在量词命题之间的否定：
一般地，对一个命题p 进行否定，可以得到一个新的命题，我们称作原命题的否定，记作p ⌝。

比如：01:2
>++x x p ，则01:2
>++⌝x x p 我们来看下面几个命题的否定应该如何表达：（1）所有的质数都不是偶数；（2）x x R x >∈∀,；
（3）存在一个对角线互相垂直平分的四边形不是菱形；（4）R x ∈∃，使得0
12≤++x x 我们发现，上述命题是全称量词命题或者存在量词命题，在对这两类命题进行否定时，需要注意两点：1.____________________，2.___________________例10：已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋
15
2
a >0”的否定为真命题，则实数a 的取值范围是________．。