测量平差习题集

第二部分 自测题
第一章 自测题
一、判断题（每题2分，共20分）
1、 通过平差可以消除误差，从而消除观测值之间的矛盾。

（ ）
2、 观测值i L 与其偶然真误差i ∆必定等精度。

（ ）
3、 测量条件相同，观测值的精度相同，它们的中误差、真误差也相同。

（ ）
4、 或然误差为最或然值与观测值之差。

（ ）
5、 若X 、Y 向量的维数相同，则YX XY Q Q =。

（ ）
6、 最小二乘原理要求观测值必须服从正态分布。

（ ）
7、 若真误差向量的数学期望为0，即0=∆)(E ，则表示观测值中仅含偶然误差。

（ ） 8、 单位权中误差变化，但权比及中误差均不变。

（ ） 9、 权或权倒数可以有单位。

（ ）
10、相关观测值权逆阵Q 的对角线元素ii Q 与权阵P 的对角线元素ii P 之间的关系为
1=ii ii P Q 。

（ ）
二、填空题（每空0.5分，共20分）
1、测量平差就是在 基础上，依据 原则，对观测值进行合理的调整，即分别给以适当的 ，使矛盾消除，从而得到一组最可靠的结果，并进行 。

2、测量条件包括 、 、 和 ，由于测量条件的不可能绝对理想，使得一切测量结果必然含有 。

3、测量误差定义为 ，按其性质可分为 、 和 。

经典测量平差主要研究的是 误差。

4、偶然误差服从 分布，它的概率特性为 、 和 。

仅含偶然误差的观测值线性函数服从 分布。

5、最优估计量应具有的性质为 、 和 。

若模型为线性模型，则所得最优估计量称为 ，最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。

要证明某估计量为最优估计量，只需证明其满足 性和 性即可。

6、限差是 的最大误差限，它的概率依据是 ，测量上常用于制定 的
误差限。

7、若已知观测值向量L 或其偶然真误差向量∆的协方差阵为∑，则L 或∆的权阵定义为L P =∆P = ，
由于验前精度∑难以精确求得，实用中定权公式有 、 、 ，特别是对独立等精度观测向量L 而言，其权阵可简单取为L P = 。

8、已知真误差向量1
⨯∆n 及其权阵P ，则单位权中误差公式为 ，当权阵P 为 此
公式变为中误差公式。

式中，1
⨯∆n 可以为同一观测量的真误差，也可以为 观测量的
真误差。

9、已知独立非等精度观测向量1
⨯n L 的非线性函数变量为)(L f z =，则2
z m = ，
z
p 1
= 。

10、已知某量z 的权倒数
z
p 1
及单位权中误差μ，则z m = 。

三、选择题（每题2分，共20分）
1、已知方位角1213245''±'''=
AP T ，±=km s AP 10 时点位纵横向精度基本相同
（5
102⨯≈ρ）。

A 、1m
B 、1cm
C 、5cm
D 、5mm
2、已知)180(3
ˆ -++=-=C B A W W
A A
，m m m m C B A ===，m m W 3=，则A m ˆ= 。

A 、
m 32 B 、m 32
C 、m 3
2 D 、m 2
3 3、长方形地块的面积由长和宽得到，已知长度的测量值cm m a 14±=，若要求面积的中误差2
5dm m S ≤，则宽度测量值m b 3=的中误差应限制在 范围。

A 、1cm
B 、2cm
C 、3cm
D 、4cm
4、A 、B 两点按双次观测得高差'i h 、"
i h )8,,2,1( =i ，各高差之间相互独立，每一高差的中误差均为mm 2±，则全长高差算术中数的中误差为± 。

A 、2mm
B 、4mm
C 、8mm
D 、16mm
5、水准测量中，10km 观测高差值权为8，则5km 高差之权为 。

A 、2
B 、4
C 、8
D 、16
6、已知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∆3112P ，则2
L p = 。

A 、2
B 、3
C 、
25
D 、3
5 7、已知三角形闭合差向量1
⨯n W 及其相关权阵W P ，i W 中i A 的权为i p ，则i A 的中误差为。

A 、n W P W W T ±
B 、i W T np W P W ±
C 、n
W
P W W T 3± D 、i W T np W P W 3±
8、已知观测值L 的中误差为L m ，L x 2=，2
L y =，则xy m = 。

A 、24L Lm
B 、L Lm 4
C 、2
2L Lm D 、L Lm 2
9、已知),,2,1(n i L x v i i =-=，[]n
L x =，观测值i
L 独立等精度，其权均为1，则2
1v v p
=。

A 、n
B 、n -
C 、
n 1 D 、n
1
- 10、随机向量1
⨯n X 的协方差阵X ∑还可写为 。

A 、)()()(X E X E X X E T T -
B 、)()(X E X E T
C 、)()(X E X E T
D 、)()()(X
E X E XX E T
T
-
第二章 自测题
一、判断题（每题2分，共20分）
1、参数平差中，当误差方程为线性时，未知参数近似值可以任意选取，不会影响平差值及其精度。

（ ）
2、 观测值i L ),,2,1(n i =之间误差独立，则平差值i
L ˆ之间也一定误差独立。

（ ） 3、提高平差值精度的关键是增加观测次数。

（ ）
4、参数平差中要求未知参数i x ˆ之间函数独立，所以它们之间的协方差一定为0。

（ ）
5、对于一定的平差问题，一定有∆∆≤P PV V T
T。

（ ）
6、参数平差中，若X F Z T
ˆδ=，则)(1F N F t
n PV V T T Z --=∑。

（ ） 7、 参数平差中，当观测值之间相互独立时，若某一误差方程式中不含有未知参数，但自由项不为0，则此误差方程式对组成法方程不起作用。

（ ）
8、 数平差定权时，随单位权中误差的选取不同，会导致观测量平差值的不同。

（ ） 9、 差值的精度一定高于其观测值的精度。

（ ）
10、因为V L L +=ˆ，故V L L
Q Q Q +=ˆ。

（ ）
二、填空题（每空1分，共25分）
1、参数平差中，未知参数的选取要求满足 、 。

2、已知某平差问题，观测值个数为79，多余观测量个数为35，则按参数平差进行求解时，误差方程式个数为 ，法方程式个数为 。

3、非线性误差方程式i t i i L x x x f v -=)ˆ,,ˆ,ˆ(21 的线性化形式为 。

未知参数的近似
值越靠近 ，线性化程度就越高；当线性化程度不高时，可以采用 法进行求
解。

4、参数平差中，已知⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=4223N ，2±=μ，则=1ˆx
p ，=1ˆx m ，=2ˆx p ，=2ˆx m 。

若1ˆˆ221++=x x z ，则=z p ，=z m 。

5、已知36=Pl l T
，4=n ，法方程为024ˆˆ322421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡x
x
δδ，则PV V T = ，μ= ，1
ˆx m = ，2
ˆx m = 。

6、设观测值的权阵为P ，将其各元素同乘以某大于0的常数λ后重新进行平差，则下列各
量：X ˆ、V 、μ、X
ˆ∑、V Q 中，数值改变的有 、 ，数值不改变的有 、 、 。

7、V L ˆ∑= ，V X ˆ∑= ，LV ∑= 。

三、选择题（每题2分，共10分）
1、参数平差的法方程可以写为 。

A 、0ˆˆ=+U X Q X
B 、0ˆˆ=+U P X X
C 、0ˆ=+U Q X U
D 、0ˆ=+U X Q U
2、参数平差中，已知⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=
211121ˆX P ，41ˆ±=x m ，则±=μ。

A 、1
B 、2
C 、4
D 、8
3、以L m 、∆m 、v m 分别表示某一量的观测值、真误差、观测值残差的中误差，则2
L m 、2
∆m 、
2v m 之间的关系为 。

A 、2
2
2
∆<=m m m v L B 、2
2
2
v L m m m >=∆ C 、2
2
2
∆==m m m v L D 、2
2
2
L v m m m <=∆
4、参数平差中，L Q ˆ= 。

A 、T
A AN 1
- B 、A N A T
1
-
C 、T A AN P
11--- D 、A N A P T 11---
5、参数平差中，L X Q ˆ= 。

A 、T
A AN 1
- B 、A N A T
1
-
C 、1
-N
A T
D 、T
A N 1
-
第三章 自测题
一、判断题（每题2分，共20分）
1、 同一平差问题，参数平差与条件平差所得观测值的平差值及其绝对精度一定相同。

（ ）
2、若n n L k L k L k z ˆˆˆ2211+++= ，则2
ˆ2
2
ˆ2
22
ˆ2
12
2
1
n
L n L L
z m k m k m k m +++= 。

（ ） 3、条件平差中，0)(>∆-V B 。

（ ）
4、条件平差中，一定有∆∆≤P PV V T T 。

（ ）
5、若某一条件方程式的闭合差为0，则此条件方程式对求解不起作用。

（ ）
6、若有条件方程为011101021140151=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--v v ，观测值间相互独立，则2L 一定不得改正数。

（ ）
7、 若参数平差模型为l X A V +=ˆδ，条件平差模型为0=+W BV ，则Bl W -=。

（ ）
8、 无论参数平差还是条件平差，均有0=LV Q 。

（ ） 9、 条件平差中，若0)(=∆E ，则0)(=W E 。

（ ） 10、条件平差中，P Q V 为幂等阵。

（ ）
二、填空题（每空1分，共20分）
1、条件平差中，条件方程式的选取要求满足 、 。

2、已知某平差问题，观测值个数为79，必要观测量个数为35，则按条件平差进行求解时，条件方程式个数为 ，法方程式个数为 。

3、非线性条件方程式i n i f L L L f 021)ˆ,,ˆ,ˆ(= （i
f 0为常数）的线性化形式为 。

4、测量平差中，为消除多余观测所引起的矛盾，当所列方程为 方程时，称为参数
平差；当所列方程为 方程时，称为条件平差。

由于单纯消除矛盾而给的观测值改正数有无穷多组，为求出唯一估值，参数平差和条件平差都必须依据 原则求出极值，一般称参数平差的极值问题为 极值，条件平差的极值问题为 极值。

5、已知条件平差的法方程为024322421=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡
k k ，则PV V T = ，μ= ， 1k p = ，2k p = ，=21k k m 。

若21k k z +=，则
=z m 。

6、V L ˆ∑= ，L K ˆ∑= ，L W ˆ∑= ，WK Q = 。

三、选择题（每题2分，共10分）
1、条件平差的法方程等价于 。

A 、0=+W K Q K
B 、0=+W Q K W
C 、0=+W P K W
D 、0=+W P K K
2、条件平差中，已知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=8224W Q ，2±=μ，则±=1
k m 。

A 、
78 B 、74
C 、8
D 、4 3、无论平差前定权时单位权中误差怎么选取，条件平差中下列哪组量均不会改变 。

A 、μ、PV V T
、L
ˆ B 、μ、V 、L ˆ C 、L Q ˆ、V 、L ˆ D 、L ˆ∑、V 、L ˆ
4、条件平差中，若令B N B P J T
B 1
1
--=，则P Q L ˆ= 。

A 、
B J B 、2
)(B J I - C 、)(B B J I J - D 、)(B B J I J +
5、条件平差中，法方程的系数阵⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡--=300021012N ，2±=μ，则1w 的限差为± （取
2倍中误差为限差）。

A 、22
B 、24
C 、324
D 、3
2
2 第四、五、六章 自测题
一、判断题（每题2分，共20分）
1、若观测值中仅含偶然误差，则无论用何种平差模型所得V 、L ˆ、2
μ均无偏。

（ ）
2、由具有参数的条件平差解的公式可以直接写出参数平差和条件平差的解式。

（ ）
3、若观测值中仅含偶然误差，则具有参数的条件平差和具有条件的参数平差所得V 均服从正态分布，其维数等于观测值个数。

（ ）
4、由于参数之间不函数独立，故具有条件的参数平差模型中系数阵A 列降秩。

（ ）
5、具有条件的参数平差求解时，可以视其条件方程为误差方程并按参数平差法求解。

（ ）
6、当未知参数具有验前精度时，可以考虑采用参数加权的平差方法，也可以将其视为广义的观测值与实测值一起进行平差。

（ ）
7、观测值分组的参数平差与序贯平差同解。

（ ）
8、若),0(~2
σN i ∆，则i n ∆与
∑=∆
n
i i
1
的分布不同。

（ ）
9、由误差椭圆中心向误差椭圆所作的交线即为该方向的点位中误差。

（ ） 10、若
)(~22
r PV
V T χσ
，则r
20
2
2
σσμ=。

（ ）
二、填空题（每空1分，共30分）
1、已知某平差问题观测值个数为50，必要观测量个数为22，若选6个独立参数按具有参数的条件平差进行求解，则函数模型个数为 ，联系数法方程式的个数为 ；若在22个独立参数的基础上，又选了4个非独立参数按具有条件的参数平差进行求解，则函数模型个数为 ，联系数法方程式的个数为 。

不管选用那种平差方法，上述所得结果都与参数平差结果 。

2、幂等阵的秩等于它的 ，利用此性质可以证明参数平差和条件平差中，
)(V Q R = ，)(ˆL Q R =
3、由二次型的数学期望)(AX X E T = 可以证明，参数平差模型1
1
1
ˆ⨯⨯⨯⨯+=n t t n n l X
A V δ中，)(PV V E T = ；条件平差模型01
1
=+⨯⨯⨯r n n r W V B 中，)(PV V E T = ；具有参
数的平差模型0ˆ1
11
=++⨯⨯⨯⨯⨯r t t
r X n n r W X
B V B δ中，)(PV V E T
= ；具有条件的参数平差模型⎪⎩⎪⎨⎧=++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯0ˆˆ1
1111r t t r X n t t n n W X B l X A V δδ中，)(PV V E T
= 。

4、具有条件的参数平差中，V L Q ˆ= ，V X Q ˆ= 。

若已求得L Q ˆ，则V Q = ，L L Q ˆ= ，LV Q = 。

5、设参数分组的误差方程为[]l X X A A V +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=2121ˆˆδδ，观测值的权阵为P ，令1111PA A N T
=，
2112PA A N T =，1221PA A N T =，2222PA A N T =，则单独求解1ˆX δ的公式为1
ˆX δ= ，
1
ˆX Q = 。

6、已知某平面控制点的权逆阵为⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=y y x
y x x Q Q
Q Q Q ˆˆˆˆˆˆ，则误差椭圆参数2
E = ，2
F = ，12αtg = 。

7、偶然误差特性的检验包括 的检验、 的检验、 的检验、 的
检验、 的检验。

8、误差分布正态性的检验方法包括 、 。

三、选择题（每题2分，共10分）
1、具有参数的条件平差模型0ˆ1
1
1
=++⨯⨯⨯⨯⨯r t t
r X n n r W X
B V B δ中，要求n 、r 、t 满足 。

A 、t r t r n >->, B 、t r r t n >->,
C 、t r t r n ≥-≥,
D 、t r r t n ≥-≥,
2、具有条件的参数平差模型⎪⎩⎪⎨⎧=++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯0ˆˆ1
11
11r t t r X n t t n n W X B l X
A V δδ中，要求n 、r 、t 满足 。

A 、t r r t n >->,
B 、t r r t n >-≥,
C 、r t r t n >-≥,
D 、r t r t n >->,
3、在全部参数加权平差模型1
1
1
ˆ⨯⨯⨯⨯⨯=+r t t r n n r W X
A V
B δ中，2μ= 。

A 、r X P X PV V X T T ˆˆδδ+ B 、t
n X P X PV V X
T T -+ˆˆδδ
C 、t r X P X PV V X T T -+ˆˆδδ
D 、t
X P X PV V X
T T ˆˆδδ+
4、参数平差中，若系数阵A 列降秩，则参数解有 。

A 、唯一解
B 、无解
C 、无定解
D 、只有0解 5、若),,2,1)(1,0(~n i N i =∆，则[]%45.95 =⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧≤∆n P 。

A 、
n 2 B 、n
2 C 、22n D 、n 3
第四部分 自测题答案
第一章
一、判断题
1╳ 2√ 3╳ 4╳ 5╳ 6╳ 7√ 8√ 9√ 10╳ 二、填空题
1 多余观测，一定的（注：如最小二乘原理），改正数，精度估计
2 观测者，观测仪器，观测对象，外界环境，误差
3 X L -=∆，粗差，系统误差，偶然误差，偶然
4 正态，界限性，聚中性，对称性，正态
5 无偏性，一致性，有效性（或最小方差性），最优线性无偏估计量（或最小方差无偏估
计量），偶然，无偏，有效或最小方差 6 真误差，{}9545.02=≤∆σP 或{}
9973.03=≤∆σP ，闭合差（注：较差也可视为闭
合差）
7 1
2
-∑σ，np p x =，s s p 0
=，22
0s
s p =，I （注：单位阵）
8 n
P T ∆
∆±=μ，I ，不同
9
2
2022202212012)()()(
n n
z m L f m L f m L f m ∂∂+∂∂+∂∂= ， n
n z p L f p L f p L f p 1)(1)(1)(12022021201∂∂+∂∂+∂∂= 10 z
p 1
μ
三、选择题
1C 2A 3A 4B 5D 6C 7B 8A 9B 10D
第二章
53
一、判断题
1√ 2╳ 3╳ 4╳ 5√ 6√ 7√ 8╳ 9√ 10╳
二、填空题
1 足数，函数独立
2 79，44
3 i t i t t
i i i i L x x x f x x f x x f x x f v -+∂∂++∂∂+∂∂=),,(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(002010202101 δδδ，平差值，迭代 4 2，2±，38，26±，11
8，222± 5
32，4±，6±，22± 6
V Q ，μ；X ˆ，V ，X ˆ∑ 7 0，0，)(112---P A AN T μ
三、选择题
1D 2B 3B 4A 5D
第三章
一、判断题
1√ 2╳ 3╳ 4√ 5╳ 6√ 7√ 8╳ 9√ 10√
二、填空题
1 足数，函数独立
2 44，44
3 0),,,()ˆ()ˆ()ˆ(021*******=-+∂∂++∂∂+∂∂i n i n n
i i i f L L L f v L f v L f v L f 4 误差，条件，一定的（如最小二乘），自由，条件
5 4，2±，38，2，2
1-，23± 6 0，0，0，I -
三、选择题
1C 2A 3D 4B 5B
54 第四、五、六章
一、判断题
1√ 2√ 3╳ 4╳ 5√ 6√ 7√ 8╳ 9╳ 10╳
二、填空题
1 34，40，54，30，相同
2 迹，多余观测量个数，必要观测量个数
3 )()()(X AE X E A tr T X +∑，20)(σt n -，20σr ，20)(σt r -，20)(σt r n -+
4 0，0，L L Q Q ˆ-，L Q ˆ，L L Q Q -ˆ
5 )()(21221211211221211Pl A N N Pl A N N N N T T ------，1211221211)(---N N N N
6 )4)((22
ˆˆ2ˆˆˆˆ2
y x y x y x Q Q Q Q Q +-++μ，)4)((22ˆˆ2ˆˆˆˆ2y x y x y x Q Q Q Q Q +--+μ，
y x y x Q Q Q ˆˆˆ
ˆ2-
7 误差正负号个数，正负误差分配顺序，误差数值和，正负误差平方和之差，个别误差值 8 直方图法，偏度峰度检验法
三、选择题
1A 2D 3A 4C 5B。