金版学案 数学·选修4-5(人教A版)练习：第三讲3.3排序不等式 Word版含解析

第三讲柯西不等式与排序不等式
3.3 排序不等式
A级基础巩固
一、选择题
1．设a≥b＞0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是()
A．P＞Q B．P≥Q
C．P＜Q D．P≤Q
解析：因为a≥b＞0，所以a2≥b2＞0.
因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，
则P≥Q.
答案：B
2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min 损失5 元，经合理安排损失最少为()
A．420 元B．400 元
C．450 元D．570 元
解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．
答案：A
3．若A＝x21＋x22＋…＋x2n，B＝x1x2＋x2x3＋…＋x n－1x n＋x n x1，其中x1，x2，…，x n都是正数，则A与B的大小关系为()
A ．A ＞B
B ．A ＜B
C ．A ≥B
D ．A ≤B
解析：依序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n }的一个排列．依排序原理，得x 1x 1＋
x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3
＋…＋x n x 1.
答案：C
4．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a 1′，a 2′，a 3′，则a 1a 1′
＋a 2a 2′＋a 3a 3′
的最小值为( ) A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 解析：设a 1≥a 2≥a 3＞0，则1a 3≥1a 2≥1a 1
＞0， 由乱序和不小于反序和，知
a 1a 1′＋a 2a 2′＋a 3a 3′≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3
＝3， 所以a 1a 1′＋a 2a 2′＋a 3a 3′
的最小值为3. 答案：A
5．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( )
A ．大于零
B ．大于等于零
C ．小于零
D ．小于等于零
解析：设a ≥b ≥c ＞0，所以a 3≥b 3≥c 3，
根据排序原理，得a 3·a ＋b 3·b ＋c 3·c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a .
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，
所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.
所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
答案：B
二、填空题
6．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“≥”“≤”或“＝”)
解析：阴影面积为a1b1＋a2b2，而空白面积为a1b2＋a2b1.根据顺序和≥反序和可知答案．
答案：≥
7．若c1，c2，c3是4，5，6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．
解析：由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．所以最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.
答案：3228
8．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．
解析：两组数2件、4件、5件与1 元、2 元、3 元的反序和S1＝2×3＋4×2＋5×1＝19(元)．
顺序和S2＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)．
根据排序原理可知至少花19 元，最多花25元．
答案：19 25
三、解答题
9．设a 1，a 2，a 3为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求
a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2的最小值．
解：不妨设a 3＞a 1＞a 2＞0，则1a 3＜1a 1＜1a 2
， 所以a 1a 2＜a 2a 3＜a 3a 1.
设乱序和S ＝
a 1a 3a 3＋a 1a 2a 1＋a 3a 2a 2＝a 1＋a 2＋a 3＝1， 顺序和S ′＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2
. 由排序不等式得
a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＝1， 所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2
的最小值为1. 10．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>12
(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
证明：因为0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2上为减函数， 所以0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.
所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12
(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． B 级 能力提升
1．已知实数a ≥b ≥c ≥0，且a 3＋b 3＋c 3＝3，则a b ＋b c ＋c a 的
最大值是()
A．1 B．2
C．3 D. 3
解析：因为a≥b≥c≥0，知a≥b≥c，
由排序不等式，得
a b＋
b c＋
c a≤a a＋b b＋c c.
又(a a＋b b＋c c)2≤[(a a)2＋(b b)2＋(c c)2]·(1＋1＋1)＝3(a3＋b3＋c3)＝9，
所以a a＋b b＋c c≤3.
故a b＋b c＋c a≤3.
答案：C
2．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则b2
a＋
a2
b的最小值是________．
解析：不妨设a≥b＞0，
则有a2≥b2，且1
b≥
1
a.
由排序不等式b2
a＋
a2
b≥
1
a·a
2＋
1
b·b
2＝a＋b＝1，
当且仅当a＝b＝1
2时，等号成立．
所以b2
a＋
a2
b的最小值为1.
答案：1
3．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列．
求证：1
2＋
2
3＋…＋
n－1
n≤
a1
a2＋
a2
a3＋…＋
a n－1
a n.
证明：设b1，b2，…，b n－1是a1，a2，…，a n－1的一个排列，且b1<b2<…
<b n－1；c1，c2，…，c n－1是a2，a3，…，a n的一个排列，且c1<c2<…<c n
－1，
则1
c1>1
c2>…>
1
c n－1
且b1≥1，b2≥2，…，b n－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，
c n－1≤n，所以1
c1≥
1
2，
1
c2≥
1
3，…，
1
c n－1
≥
1
n，
利用排序不等式，有a1
a2＋
a2
a3＋…＋
a n－1
a n≥
b1
c1＋
b2
c2＋…＋
b n－1
c n－1
≥
1
2＋
2
3
＋…＋n－1
n.所以原不等式得证．。