人教B版高三数学理科第一轮总复习周周练(五)(含答案详析)

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第
1 轮
)B ·理 科数学
周 周 练
( 五)
·新课标高中总复
习班级： 第 1轮 B ·理科数学
周周练(五)
__________
姓名： __________
学号： __________
一、选择题
1.曲线 f( x)＝ xln x 在点 x ＝ 1 处的切线方程为 ( )
A ． y ＝ 2x ＋2
B ．y ＝ 2x － 2
C ． y ＝ x － 1 C ． y ＝x ＋ 1
2.二项式 (ax － 3)3
的睁开式的第二项的系数为－
3
，则
a
－ 2x 2dx 的值为 ()
6 2
7
A ．3 B.3
7
10
C ．3 或3
D ．3 或－ 3 3.设 f ′ (x) 是函数 f(x) 的导函数， y ＝ f ′ (x)的图象如图，则 y ＝ f(x) 的图象有可能是
(
)
4.函数 y ＝x ＋ 2cos x －
π )
3在区间 [0， ] 上的最大值是 (
2
π
π
A.6
B.3
3 3
C. 6
D . 3
e x ， f(2) ＝
e 2
5.设函数 f(x) 知足 x 2f ′ (x)＋ 2xf(x) ＝ ，则 x>0 时， f(x)()
x 8
A ．有极大值，无极小值
B ．有极小值，无极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．既无极大值也无极小值
二、填空题
6. 函 数
f(x) ＝ ln(x ＋ 2) ＋ 1 的 递 增 区 间 是
x
________________________________________________________________________ ．
7.已知函数 f(x) ＝x 3＋ 3mx 2＋ nx ＋ m 2 在 x ＝－ 1 时有极值 0，则 m ＝ ______，n ＝ ______.
8.抛物线 y ＝ x 2 在 A(1,1) 处的切线与 y 轴及该抛物线所围成的图形面积为
________．
9.若函数 f(x) ＝－12
在 (－ 1，＋∞ )上是减函数，则实数 b 的取值范围是x ＋ bln(x＋ 2)
2
______________ ．
10.如图，在等腰梯形ABCD 中， AB ∥ DC，且 AD ＝ DC ＝ 2，则梯形 ABCD 的面积的最大值是 __________．
三、解答题
11.已知曲线 f(x) ＝ x3＋ bx 2＋ cx 在点 A( － 1，f( － 1))，B(3 ，f(3)) 处的切线相互平行，且函数 f(x) 的一个极值点为 x＝ 0.
(1)务实数 b， c 的值；
(2)若函数 y＝ f(x)(x ∈[ －1
， 3]) 的图象与直线y＝m 恰有三个交点，务实数m 的取值范2
围．
12.已知 P(x，y)为函数 y＝ 1＋ln x 图象上一点， O 为坐标原点，记直线OP 的斜率 k＝f(x) ．
1
(1)若函数 f(x) 在区间 (m， m＋3)(m>0)上存在极值，务实数m 的取值范围；
t
(2)当 x≥ 1 时，不等式f(x) ≥恒建立，务实数t 的取值范围．
周周练 (五 )
1． C 切点 (1,0) ， f ′( x)＝ ln x ＋ 1，所以切线的斜率 k ＝ f ′ (1) ＝ 1，故切线方程是 y ＝ x
－ 1.
2． C 二项式 (ax － 3
3
的睁开式的第二项为－
3 2 2
6 ) 2 a x ，
所以－ 3 2 ＝－ 3 ，解得 a ＝ ±1.
2 a 2
－ 1 2
1 3
－1 7 2
1 x 3 1
故
x dx ＝ x －2＝ 或
1
－ 2x dx ＝
－2＝ 3.
－
2 3 3
3
3． C
由 y ＝ f ′ (x) 图象可知： f ′(0) ＝0， f ′ (2) ＝0.
当 x<0 时， f ′ (x)>0 ， f(x) 递加；当 0<x<2 时， f ′ (x)<0 ， f(x) 递减；
当 x>2 时， f ′ (x)>0 ， f(x) 递加，且 f(0) 为极大值， f(2)为极小值，应选 C.
4． A y ′＝ 1－ 2sin x ，由 y ′ >0，得 0<x< π
；
6 由 y ′ <0，得 π π
6 <x< ，
2 π π π
所以 y max ＝ ＋
2cos － 3＝ .
6
6
6
e x
2
2
5．D
x f ′ (x)＋ 2xf(x) ＝ [x ·f(x)] ′＝ x ，
x
所以当 x>0 时， [x 2·f(x)] ′＝ e
>0，
x
令函数 g(x) ＝ x 2·f(x) ，所以 g(x) 在 x>0 时递加． 2 2 由 f(2) ＝ e ，得 g(2)＝ e
.
8 2
g x
又 f(x) ＝ x 2 ，
g ′ x ·x 2－ g x ·2x 所以 f ′ (x)＝
x 4
x ·g ′ x － 2g x ＝
x 3
e x － 2g x
＝
3
， x>0.
x
令 h(x) ＝ e x － 2g(x) ，则 h ′ (x)＝ e x
(1－ 2)，
x
故当 x ∈ (0,2)时， h ′(x)<0 ；当 x ∈ (2，＋∞ )时， h ′(x)>0 ，
故 h(x) 在 (0，＋∞ )上的最小值为 h(2)＝ e 2－ 2g(2) ＝ 0.
e x － 2g x ≥0，故 f(x) 在 (0，＋∞ )单一递加．
所以 f ′ (x)＝ x 3
所以当 x ∈ (0，＋∞ )时， f(x) 既无极大值也无极小值．选D.
6． (－ 2，－ 1)， (2，＋∞ ) 函数 f(x) 的定义域是 (－ 2,0)∪ (0，＋∞ )，
又 f ′ (x)＝ 1 － 1 x 2
－ x －2
x ＋ 2 2 ，
2 x ＝ x x ＋2 令 f ′ (x)>0 ，解得－ 2<x< － 1 或 x>2，
所以函数的递加区间是 (－ 2，－ 1)， (2，＋∞ )． 7． 2 9 f ′ (x) ＝ 3x 2＋ 6mx ＋ n ，
由题意， f ′ (－ 1)＝ 3－ 6m ＋n ＝ 0 且 f(－ 1)＝－ 1＋ 3m － n ＋m 2＝ 0，解得 m ＝1， n ＝ 3 或 m ＝ 2， n ＝ 9，
但 m ＝ 1， n ＝ 3 时， f ′(x) ＝3x 2＋ 6x ＋ 3≥0 恒建立，
即 x ＝－ 1 不是 f(x) 的极值点，故 m ＝ 2， n ＝ 9.
1
切线为 y＝ 2x－ 1，由定积分的几何意义得所求图形的面积为8.3
S＝1[x2－ (2x－ 1)]d x
＝
1 32
＋ x1
x－x0
3
1
9.(－∞，－ 1] f′ (x) ＝－ x＋
b
≤ 0(x>－ 1)恒建立，即b≤ x(x ＋ 2)恒建立，
＝ .
x＋2
3
又 x(x ＋ 2)＝ (x＋ 1)2－ 1>－1，所以 b≤－ 1.
π
10． 3 3设∠ BAD＝θ (0<θ<π且θ≠ 2)．
由 AD ＝DC＝ 2，
则 AB ＝ 2＋ 2× 2cos θ＝ 2＋ 4cos θ，
梯形高 h＝ 2sin θ，所以梯形面积S(θ)＝2＋ 4cos θ＋ 2 ·2sin θ
2＝4sin θ＋ 4sin θ·cos θ.
又 S′ ( θ)＝4cos θ＋ 4cos2θ－4sin2θ＝
4(2cos2θ＋ cos θ－ 1)
π
＝ 4(2cos θ－ 1)(cos θ＋ 1)(0< θ<π且θ≠2)，
π
令 S′ ( θ)＝0，得 cos θ＝1，所以θ＝，
23
π
3.
故可知，当∠ BAD ＝时，梯形面积最大，其最大面积为3
3
11．分析： (1)f ′ (x)＝ 3x2＋2bx ＋ c，依题意有
{ f′ －1＝f′3′ 0 ＝ 0 ，即{ 3－ 2b＋ c＝ 27＋6b＋＝0 ，所以 b＝－ 3，c＝ 0.
(2)由 (1)知 f(x) ＝x3－3x2， f ′ (x)＝ 3x 2－ 6x，
由 f′ (x)>0 ，得 x<0 或 x>2，
由 f′ (x)<0 ，得 0<x<2 ，
1
所以函数 f(x) 在区间 [－，0) ，(2,3] 上递加，在区间(0,2)上递减，
17
且 f( －2)＝－8， f(0) ＝ 0，f(2) ＝－ 4， f(3) ＝0.
由于函数 f(x) 的图象与直线y＝ m 恰有三个交点，
7
所以－≤ m<0，
8
所以实数 m 的取值范围为[－7
，0)．8
12．分析： (1) 由题意 k＝ f(x) ＝1＋ ln x，x>0，
x
1＋ln x
)′＝－ln x
，
所以 f ′ (x)＝ (
x 2
x
当 0<x<1 时， f ′ (x)>0 ；当 x>1 时， f ′ (x)<0.
所以 f(x) 在 (0,1)上单一递加，在 (1，＋∞ )上单一递减．
故 f(x) 在 x ＝ 1 处获得极大值．
1 由于函数 f(x) 在区间 (m ， m ＋ 3)(此中 m>0)上存在极值，
所以 ＋ 1 2
3>1 ，得 3<m<1.
即实数 m 的取值范围是 (2
， 1)．
3
t x ＋ 1 1＋ ln x
得 t ≤ ，
(2)由 f(x) ≥x ＋ 1
x
x ＋ 1 1＋ ln x
，则 g ′ (x)＝ x － ln x
，
令 g(x) ＝
x
x 2
1
x －1
令 h(x) ＝ x －ln x ，则 h ′ (x)＝ 1－ x ＝ x .
由于 x ≥ 1，所以 h ′ (x)≥ 0，故 h(x)在 [1，＋∞ )上单一递加，所以 h(x) ≥h(1) ＝1>0 ，进而 g(x) ≥ g(1)＝ 2，
所以实数 t 的取值范围是 (－∞， 2]．。