反比例函数与面积问题

反比例函数与面积问题
秦振
反比例函数内容丰富、涉及的数学知识较多，是函数的重要内容之一。

下面讨论几个反比例函数与图象的面积问题，供同学们学习时参考。

一. 求函数解析式
例1. 如图1，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为3。

求这个反函数的解析式。

图1
分析：利用反比例函数x
k y =的特点及矩形PEOF 的面积为3，求k 的值。

解：设反比例函数为x k y =，
所以k x y =。

因为3y |x |S PEOF =⋅=矩形，图象在第二象限， 所以3k -=。

即反函数解析式为x 3y -=。

二. 求面积
例2. 图2中正比例函数和反比例函数的图象相交于A 、B 两点，分别以A 、B 两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和。

图2
分析：利用反比例函数和圆的对称性求解。

解：由点A 的坐标可知，圆的半径是1，又由反比例函数的对称性知，两个阴影的面积和应为一个圆的面积，因此图中两个阴影面积的和为π。

三. 特殊点组成图形的面积 例3. 如图3，反比例函数x
8y -=与一次函数2x y +-=的图象相交于A 、B 两点。

（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求AOB ∆的面积。

图3
分析：将AOB ∆的面积转化为AOD ∆与BOD ∆面积和求解。

解：（1）解方程组⎪⎩
⎪⎨⎧
+-=-=2x y ,
x
8y 得⎩⎨
⎧-==;
2y ,4x 11 ⎩⎨
⎧=-=4
y ,2x 22
所以A 、B 两点的坐标为A （-2，4），B （4，-2） （2）因为2x y +-=与y 轴交点D 的坐标是（0，2）， 所以2222
1S AOD =⨯⨯=
∆，
4422
1S BOD =⨯⨯=
∆
所以642S AOB =+=∆
四. 探讨面积的变化
例4. 如图4，
x y =和)0m (m x y >=的图象与)0k (x
k y >=的图象分别交于第一象限内
的两点A ，C ，过A ，C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为B ，D ，若直角三角形AOB 与直角
三角形COD 的面积分别为2
1、S
S ，则1S 与2S 的关系为（ ）
A. 21S S >
B. 21S S =
C. 21S S <
D. 与k ,m 的值无关
图4
分析：利用函数)0k (x
k y >=
的解析式与面积的关系求解。

解：设点A 的坐标为（11y ,x ），则
11y AB ,x OB ==
在︒=∠∆90ABO ,AOB Rt 中， 所以OA OB 2
1S 1⋅⨯=
;
k 2
1y x 211
1=⋅⨯=
同理可得k 2
1S 2=。

所以21S S =。

故选（B ）
五. 求参数的值
例5. 如图5，已知反比例函数x
12y =
的图象和一次函数7kx y -=的图象都经过点P （m ，
2）。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数图象上，顶点C 、D 在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和a+2，求a 的值。

图5
分析：（1）因为反比例函数图象和一次函数图象都经过P （m,2）点，可以先把P （m,2）代入x
12y =
求出m 的值，然后代入7kx y -=求出k 即可。

（2）因为四边形ABCD 是等腰梯形，可以利用AB=CD 列方程，解方程就可求出a 的值。

解：（1）因为点P （m ，2）在函数x
12y =
的图象上，所以6m =。

又因为函数7kx y -=图象经过P （6，2）， 得27k 6=-，所以2
3k =。

所以这个一次函数的解析式是
7x 23y -=
（2）因为点A 和B 的横坐标分别为a 和2a +，所以A （7a 23
,a -、）、B （2a +，4a 2
3
-）、C （2
a 12,
2a ++）、D （a
12,
a ）。

因为CD AB =， 所以2
222)a 122
a 12(232-++=+，
即3a 122a 12±=-+
当
3a 122
a 12=-+时，
化简得08a 2a 2=++，方程无实解； 当
3a
122
a 12-=-+时，
化简得0
+
a2=
-
8
a
2
解得2
=。

经检验都是所求的解。

-
a=
a,4。