梅州市兴宁一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 含解析

2015—2016学年广东省梅州市兴宁一中高一（上）期中数学试
卷
一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合A=｛1，2}，则下列正确的是(）
A．1∈A B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A
2．集合｛1,2，3｝的子集共有（）
A．5个B．6个C．7个D．8个
3．若集合A=，则C R A=（)
A． B．C．
D．
4．已知函数f（x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是(）
A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2 D．3x+4
5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是(）
A．B．C．y=x﹣2D．
6．若函数f(x)=a x﹣1+1（a＞0且a≠1)的反函数恒过定点(）
A．（0,2) B．（2，0） C．（1，2） D．（2，1）
7．函数y=的图象可能是()
A．B．C．D．
8．已知a=，b=log2，c=log，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
9．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f （1)=﹣2 f （1。

5）=0.625 f (1.25）=﹣0.984
f （1.375)=﹣0.260 f （1。

4375）=0。

162 f （1.40625）=﹣0。

054
那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）
A．1。

2 B．1.3 C．1.4 D．1。

5
10．函数f（x）=2x﹣x2的零点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．函数的递增区间为（）
A．[1，+∞) B．（﹣1，1］C．（﹣∞，1］D．[1,3）
12．已知函数，若a，b，c互不相等，且f(a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是(）
A．（1，10）B．（5,6）C．(10，12）D．(20，24）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,满分20分)
13．函数的定义域是．
14．函数的值域为．
15．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点(,2），则函数f(x）的解析式为．
16．已知U=R，A={x|1≤x≤3}，B=｛x|a﹣1≤x≤2a﹣3｝,若(∁U A）⊆（∁U B），则实数a的取值范围为．
三、解答题:（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知集合U=｛x∈Z｜﹣6＜x≤5}，A={0，2，4｝，B=｛0，1，3,5},求:
(Ⅰ）A∪B
(Ⅱ)（∁U A）∩B．
18．求值：
（1)
(2）．
19．已知函数f(x)=a﹣．
(1）若f（x）为奇函数，求a的值；
(2）证明：不论a为何值f（x)在R上都单调递增；
(3）在(1）的条件下，求f（x）的值域．
20．若函数y=lg(3﹣4x+x2）的定义域为M．当x∈M时,求f（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相应的x的值．
21．定义在非零实数集上的函数f（x）满足：f（xy）=f（x）+f（y），且f（x)在区间（0，+∞）上为递增函数．
（1）求f(1）、f（﹣1）的值；
（2）求证:f(x)是偶函数；
（3）解不等式．
22．已知函数f(x）=｜x2﹣1｜+x2+kx．
（1）若k=2,求函数y=f（x）的零点;
（2）
．
2015-2016学年广东省梅州市兴宁一中高一(上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合A=｛1，2｝,则下列正确的是（）
A．1∈A B．1∉A C．{1｝∈A D．1⊆A
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】集合思想;综合法；集合．
【分析】根据元素和集合以及集合和集合的关系判断即可．
【解答】解：设集合A={1,2｝,
1∈A，故A正确，B错误；
对于C,集合和集合的关系应是包含关系，故C错误；
对于D：元素和集合的关系应是属于关系，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了元素和集合以及集合和集合的关系判断，是一道基础题．
2．集合{1，2，3}的子集共有（）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【考点】子集与真子集．
【专题】计算题．
【分析】集合{1，2，3｝的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解:集合｛1，2，3}的子集有：
∅，{1}，{2｝，｛3}，｛1，2｝,｛1，3}，｛2，3}，{1，2，3}共8个．
故选：D．
【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．
3．若集合A=,则C R A=（)
A． B．C．
D．
【考点】补集及其运算．
【专题】函数的性质及应用；集合．
【分析】将不等式化为：，根据对数函数的性质求出x的范围．
【解答】解：由得,，
所以0＜x≤，则集合A=（0，],
所以C R A=(﹣∞，0］∪（，+∞），
故选：B．
【点评】本题考查补集的运算，对数函数的性质应用,注意对于对数不等式需要化为同底的对数，真数大于零．
4．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）
A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2 D．3x+4
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题．
【分析】通过变换替代进行求解
【解答】∵f（x+1)=3x+2=3（x+1)﹣1
∴f(x）=3x﹣1
故答案是：A
【点评】考察复合函数的转化，属于基础题．
5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）
A．B．C．y=x﹣2D．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想;定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数的单调性和奇偶性的性质进行判断即可．
【解答】解:=，则函数为偶函数，在(0，+∞)上是增函数，满足条件．=，则函数的定义域为[0，+∞)，函数为非奇非偶函数,不满足条件．
y=x﹣2=是偶函数，但在(0，+∞）上为减函数，不满足条件．
=,则函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数,不满足条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．
6．若函数f（x）=a x﹣1+1(a＞0且a≠1）的反函数恒过定点（)
A．(0,2) B．（2,0) C．(1，2) D．(2，1）
【考点】反函数．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】根据指数函数的图象和性质和性质，可得函数f(x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（1，2）点，进而根据反函数图象与原函数图象的对称性，得到答案．
【解答】解：由x﹣1=0得：x=1时，f（1)=2恒成立，
故函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（1，2）点，
则函数f(x）=a x﹣1+1(a＞0且a≠1）的反函数恒过(2,1)点，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是反函数，指数函数的图象和性质，难度中档．
7．函数y=的图象可能是(）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】当x＞0时，，当x＜0
时,，作出函数图象为B．
【解答】解：函数y=的定义域为(﹣∞，0）∪(0，+∞）关于原点对称．
当x＞0时，，
当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数
的图象关于原点对称．
故选B
【点评】本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力．
8．已知a=，b=log2，c=log，则(）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；综合题．
【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．
【解答】解：∵0＜a=＜20=1，
b=log2＜log21=0，
c=log=log23＞log22=1,
∴c＞a＞b．
故选:D．
【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果,是基础题．
9．若函数f（x)=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下：f (1）=﹣2 f （1。

5）=0。

625 f （1。

25）=﹣0.984
f （1.375）=﹣0.260 f （1.4375）=0.162 f （1.40625）=﹣0.054
那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根(精确到0.1)为（）
A．1。

2 B．1。

3 C．1。

4 D．1。

5
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】应用题．
【分析】由图中参考数据可得f(1.43750＞0，f(1.40625）＜0,又因为题中要求精确到0。

1可得答案．
【解答】解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f(1.40625）＜0,又因为题中要求精确到0。

1，
所以近似根为1.4
故选C．
【点评】本题本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制,在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．
10．函数f（x）=2x﹣x2的零点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】函数的零点．
【专题】数形结合．
【分析】本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答时,可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．继而问题可获得解答．
【解答】解:由题意可知:
要研究函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，
只需研究函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．
画出函数y=2x，y=x2的图象
由图象可得有3个交点，如第一象限的A（2，4),B（4，16)及第二象限的点C．
故选C．
【点评】本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．
11．函数的递增区间为（)
A．[1，+∞）B．(﹣1，1]C．（﹣∞，1]D．［1，3）
【考点】复合函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】令t=3+2x﹣x2＞0，求得函数的定义域，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．
【解答】解:令t=3+2x﹣x2＞0,求得﹣1＜x＜3，可得函数的定义域为（﹣1,3），
且y=，故本题即求函数t在定义域内的减区间．
再利用二次函数的性质可得t在定义域内的减区间[1，3），
故选:D．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，体现了转化的数学思想,属于基础题．
12．已知函数，若a，b,c互不相等,且f（a）=f(b)=f（c)，则abc的取值范围是（）
A．（1，10）B．（5，6） C．（10,12) D．（20，24）
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图象与性质．
【专题】作图题;压轴题；数形结合．
【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f(b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1,
则abc=c∈(10，12）．
故选C．
【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：(本大题共4小题,每小题5分，满分20分）
13．函数的定义域是[0，+∞）．
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得1﹣≥0，即≤，由此解得x的范围,即得函数的定义域．
【解答】解：由函数可得，1﹣≥0,即≤，解得x≥0，故函数的定义域是［0,+∞），
故答案为［0，+∞）．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，求函数的定义域,属于基础题．
14．函数的值域为[，+∝)．
【考点】函数的值域．
【专题】计算题．
【分析】设，则函数
=．所以函数的值域为［）．
【解答】解：设，则x=t2+1，
∴函数=．
∴函数的值域为［）．
答案：[）．
【点评】本题考查函数的值域，换元法是求值域的常用方法之一．
15．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（,2）,则函数f（x)的解析式为f(x）=x3．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】综合题；函数思想;试验法;函数的性质及应用．
【分析】根据幂函数的图象经过点(,2）带入解析式解得即可．
【解答】解:因为幂函数f（x）=x a的图象经过点（，2）
所以2=（)a,
解得:a=3，
所以函数f（x)=x3．
故答案为：f（x)=x3．
【点评】本题主要考查幂函数的定义,属于基础题．
16．已知U=R,A={x｜1≤x≤3},B=｛x｜a﹣1≤x≤2a﹣3}，若(∁U A)⊆(∁U B)，则实数a的取值范围为(﹣∞，3］．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】先求出∁U A和∁U B，根据（∁U A）⊆(∁U B），得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：已知U=R，A={x|1≤x≤3｝，
B=｛x|a﹣1≤x≤2a﹣3}，
若（∁U A）⊆（∁U B),则A⊇B，
B是空集时:a﹣1＞2a﹣3,解得：a＜2，
B不是空集时：
则，解得：a∈[2，3]
综上:a≤3，
故答案为：（﹣∞,3］．
【点评】本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题．
三、解答题:（本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知集合U=｛x∈Z｜﹣6＜x≤5｝，A=｛0，2，4},B=｛0,1，3，5}，求：
（Ⅰ）A∪B
（Ⅱ）(∁U A）∩B．
【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算．
【专题】计算题;集合思想；综合法；集合．
【分析】（Ⅰ）通过A=｛0，2，4｝、B={0，1，3，5｝直接计算即可；
(Ⅱ)通过A=｛0，2，4｝、U=｛x∈Z｜﹣6＜x≤5｝可知∁U A={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1,1,3,5｝，进而计算可得结论．
【解答】解：（Ⅰ)∵A={0,2,4},B=｛0，1，3，5}，
∴A∪B=｛0，1,2，3,4，5};
（Ⅱ）∵A=｛0，2，4｝，U={x∈Z|﹣6＜x≤5}，
∴∁U A={﹣5，﹣4,﹣3,﹣2，﹣1,1,3，5}，
又∵B=｛0，1，3，5},
∴(∁U A）∩B={1,3，5｝．
【点评】本题考查并、交、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．
18．求值：
(1）
(2）．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】（1)直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．
（2)利用对数运算法则化简求解即可．
【解答】解：（1）原式=…
(2）解：原式=…
=…
=…
【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用,考查计算能力．
19．已知函数f（x）=a﹣．
（1)若f(x）为奇函数，求a的值；
(2）证明：不论a为何值f（x）在R上都单调递增；
（3)在（1）的条件下，求f（x）的值域．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】(1)根据f(x)为奇函数，则f（0）=0，建立方程关系即可求a的值;
（2）根据函数单调性的定义即可证明：不论a为何值f（x)在R上都单调递增；
（3）在（1）的条件下，结合指数函数的单调性即可求f（x）的值域．
【解答】解：(1）∵f(x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，…
则f（0)=0,f（0)==0
∴…经检验满足题意．…．（利用定义也可）
(2)设x1＜x2，（…5分）
则f（x1）﹣f（x2）==﹣
=﹣，
∵x1＜x2
∴∴﹣＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
即不论a为何值f(x）在R上都单调递增．
（3)由（1）知，
∵2x+1＞1，0＜＜1，…，
∴，∴…
则f(x)的值域为．…
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义法是解决本题的关键．
20．若函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相应的x的值．
【考点】对数函数的定义域；函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据题意可得M=｛x|x2﹣4x+3＞0｝=｛x｜x＞3，x＜1｝,f（x)=2x+2﹣3×4x=﹣3•（2x)2+4•2x
令t=2x，则t＞8，或0＜t＜2∴f（t）=﹣3t2+4t利用二次函数在区间(8，+∞）或（0，2）上的最值及x即可
【解答】解：y=lg(3﹣4x+x2），
∴3﹣4x+x2＞0,
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
f(x）=2x+2﹣3×4x=4×2x﹣3×（2x）2．
令2x=t，
∵x＜1或x＞3,
∴t＞8或0＜t＜2．
∴f（t）=4t﹣3t2=﹣3t2+4t（t＞8或0＜t＜2）．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时,f（t）∈（﹣4，]，
当t＞8时，f（t）∈（﹣∞,﹣160)，
当2x=t=，即x=log2时,f（x）max=．
综上可知：当x=log2时，f(x)取到最大值为，无最小值．
【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以指数函数的最值的求解为载体进而考查了二次函数在区间上的最值的求解，体现了转化思想在解题中的运用,是一道综合性比较好的试题．
21．定义在非零实数集上的函数f（x）满足:f（xy）=f(x)+f(y），且f（x）在区间（0,+∞）上为递增函数．
（1）求f（1）、f(﹣1)的值；
（2）求证：f(x)是偶函数；
（3）解不等式．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】函数思想；定义法;函数的性质及应用．
【分析】（1)利用赋值法即可求f（1)、f（﹣1）的值;
（2)根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是偶函数；
(3）根据函数奇偶性,利用数形结合即可解不等式．
【解答】解：（1）令x=y=1，则f(1)=f（1）+f（1），
∴f(1）=0…
令x=y=﹣1,则f（1）=f(﹣1）+f(﹣1),
∴f（﹣1）=0…
（2）令y=﹣1,则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x)，…
∴f（﹣x）=f（x）…
∴f（x）是偶函数…
（3）根据题意可知，函数y=f(x）的图象大致如右图：
∵，…
∴﹣1≤2x﹣1＜0或0＜2x﹣1≤1，…
∴或…
【点评】本题主要考查抽象函数的应用以及函数奇偶性的判断,利用赋值法是解决本题的关键．
22．已知函数f（x）=|x2﹣1｜+x2+kx．
(1）若k=2，求函数y=f（x）的零点；
（2）
．
【考点】二次函数的性质;函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）当k=2时，方程是含有绝对值的方程，对绝对值内的值进行分类讨论去掉绝对值后解之．
(2）先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元
一次函数的单调性加以解决．
【解答】解：(1）若k=2,则函数y=f（x）=|x2﹣1|+x2 +2x，①当x2﹣1≥0时，即x≥1或x≤﹣1时,方程化为2x2+2x﹣1=0，
解得x=，因为0＜＜1，故舍去，所以x=．
②当x2﹣1＜0时，﹣1＜x＜1时,方程化为2x+1=0,解得x=﹣．
由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以x=，或x=﹣．
(II)解：不妨设0＜x1＜x2＜2，因为f（x)=，
所以f(x）在（0,1]是单调函数，故f（x)=0在（0，1］上至多一个解．
若1＜x1＜x2＜2,则x1x2=﹣＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．
由f（x1）=0得k=﹣，所以k≤﹣1．由f（x2）=0得，k=﹣2x2，所以，﹣＜k＜﹣1,
故当﹣＜k＜﹣1时，方程f(x）=0在（0,2）上有两个解，故所求的k的范围是(﹣，﹣1）．由于当0＜x1≤1＜x2＜2时，k=﹣，2x22+kx2﹣1=0,
消去k得，2x1x22﹣x1﹣x2=0，∴x1+x2=2x1x22，∴+==2x2．
∵1＜x2＜2,∴2＜2x2＜4,∴2＜+＜4，故+的取值范围是（2,4）．
综上可得，k的范围是（﹣，﹣1），+的取值范围是(2，4）．
【点评】本题主要考查的高考考点：函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识；易错点:解析问题的能力较差,分类讨论的问题考虑不全面．备考提示：本题还考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法解析和解决问题的能力，属于中档题．。