双曲线知识点总结和典型习题

1．双曲线的定义
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质
x ≤－a 或x ≥a ，y ∈R
y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R
若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．
设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略． ①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在； ③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.
[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？ 提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.
2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2
a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a . 4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝
b 2
tan θ2，其中
θ为∠F 1PF 2.
5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I
为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .
6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④双曲线方程λ=-2
2
y x 5等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7．共轭双曲线
1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． (2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.
1与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22
22b
y a x )0(≠λ
与双曲线122
22=-b
y a x 共焦点的双曲线系方程是1222
2=--+k b y k a x (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a
b
y ±=.
(2)若渐近线方程为x a
b
y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .
(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴
已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )
A.x 264－y 248＝1
B.y 264＋x 248＝1
C.x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248
＝1 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____．
(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. (3)已知F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．
2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )
A.x 24－y 221＝1(x ＞2)
B.y 24－x 221＝1(y ＞2)
C.x 221－y 2
4
＝1 D.y 24－x 2
2
＝1 4．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为__________． 若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. 5 B ．5 C. 2
D ．2
]经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
已知方程x 2m 2＋n －y 2
3m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )
A ．(－1,3)
B ．(－1，3)
C ．(0,3)
D ．(0，3)
6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73 B.54 C.43 D.5
3
题型一：双曲线定义问题
1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )
2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程
13
3
2
2=+--k y k x 表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
3.过双曲线x 2-y 2
=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .
题型二：双曲线的渐近线问题
1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±9
4x
2.过点（2，－2）且与双曲线2
2
x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是(
)A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －4
2y =1
题型三：双曲线的离心率问题
1已知双曲线 x 2a 2 － y 2
b
2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,
则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43 B ．53 C ．２ D ．7
3
2.已知21,F F 是双曲线)0(,12
2
2
2>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B
两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.
2 B.
3 C. 2 D. 3
3.过双曲线M:2
2
21
y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且
|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )
4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2
1
，则该双曲线的离心率为( )
A.
2
2 B. 2 C .
2 D. 22
5..已知双曲线122
22=-b
y a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交
点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2) B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞)
题型四：双曲线的距离问题
1.设P 是双曲线22a
x －92
y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.
若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A.1或5 B.6 C .7 D.9
2.已知双曲线14122
2=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,3
3
] D. [-3,3]
3.已知圆C 过双曲线92
x －16
2y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____.
题型五：轨迹问题
1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。

AP 是⊿AF 1F 2的外角平分线，且 F 2⋅=0.
则点P 的轨迹方程是 .
2.双曲线x 2－y 2 =4的两焦点分别为F 1、F 2，A 为双曲线上任一点。

AP 是∠F 1AF 2的平分线，且 F 2⋅=0.则点P 的轨迹是 （ ）
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.圆的一部分
D.抛物线的一部分
3求与圆1)3(2
2=+-y x 及9)3(2
2=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程1.已知21,F F 是双曲线12
22
=-y x 的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点,直线PQ 过2F ,且倾斜角为α,则PQ QF PF -+11的值为 ( )A 24 B 8 C 22 D 随α的大小变化
2. 过双曲线0222
2=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点,若4=AB 则这样的直线存在 ( ) 3. A 0条 B 1条 C 2条 D 3条
3. 直线53
1
+-=x y 与曲线12592=+y x x 的交点个数是 ( )A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
4. P 为双曲线12222=-b
y a x 上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆2
22a y x =+的位置关系为
( )A 内切 B 外切 C 内切或外切 D 无公共点或相交
5. 设21,F F 是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ,则21F PF ∆的面积为 ( A 1 B 25
C 2
D 5
6. 设21,F F 是双曲线14
22
=-y x 的左、右焦点,P 在双曲线上,当21PF F ∆的面积为1时,21PF PF ⋅的值为( ) A 0 B 1 C 2
1
D 2
7.过点A （0，2）可以作___条直线与双曲线
x 2－
4
2
y ＝1有且只有一个公共点 8.过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 2
9
＝1只有一个交点的直线有 ( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
8.已知A （3，2），M 是双曲线H ：1322
=-y x 上的动点，F 2是H 的右焦点，求22
1
MF AM +的最小值及此时M 的坐标。

10.P 为双曲线
x 2－
y 2
15
＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．
11..直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：122
2
=-y x 的右支交于不同的两点A 、B 。

（Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值。

若不存在，说明理由。

1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0)，直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为﹣3
2，则此双曲线的方程是（ ）A ．4
32
2
y x -=1 B ． 342
2y x -=1 C ．2522y x -=1 D ．522
2y x -=1
2.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B .2
6 C.3
6 D.3
3
3、已知双曲线-2
2
a
x 22
b
y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为2
2
a （O
为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30º B ．45º C ．60º D ．90º
4、已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=•PF PF ，则
该双曲线的方程是A ．13222=-y x B ．1
2
322=-y x C ．1422=-y x D ．1422=-y x
5、已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点
在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+
B ．13-
C ．
2
1
3+ D ．13+ 6. 直线y ＝x ＋3与曲线4
y 4x
x 2
+
-=1的交点的个数是（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
7.若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P (a , b )到直线y =x 的距离是2，则a ＋b 的值为（ ）。

（A ）－21 （B ）21 （C ）－21或2
1 （D ）2或－2
8.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线
交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2)
9.设P 为双曲线4
2
x －y 2
＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是
．
10.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________
11.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；
（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其中O 为原点）. 求k 的取值范围.
12.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．。