高中空间几何所有证明题图形汇总

空间几何证明

1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

2、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．

3、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1

AC ⊥面11AB D ．

A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

S

D

C

B

A

D 1

O

D

B

A

C 1

B 1

A 1

C

N M P

C B

A

4、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；

（2）''BD ACB ⊥平面.

5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．

6、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，

N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；

（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

A A

B 1

C 1

C

D G

E F

7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.

求证：平面1D EF ∥平面BDG .

8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .

9、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．

（1）求证：DE ⊥平面PAE ；

（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．

10、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；

11、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ． 求证：AH ⊥平面BCD ．

3. 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定

4. 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥

又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥

又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定

5. 证明：（1）连结11A C ，设11111

A C

B D O ⋂=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B

C

D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形

∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =

11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂

∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D

（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111

A C

B D ⊥∵， 1111B D A

C C ∴⊥面 1

11AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又1111

D B AD D ⋂=

∴1A C ⊥面11AB D

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 考点：线面垂直的判定

7. 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ，

又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ，

∴BD∥平面B1D1C．

同理A1D∥平面B1D1C．

而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．

(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ． 从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面

EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

9. 证明：（1）取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PB 的中点，

∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB ∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结 PD ，∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND =[来源:学§科§网]

∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥

（2）∵90APB ∠=，,PA PB =∴122PD AB ==，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥，且112

MQ BC ==，∴2MN = 考点：三垂线定理

10. 证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD

又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG

∵1D G EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB

又1D E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴1D E ∥平面BDG

1EF D E E ⋂=，∴平面1D EF ∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

证明：（1）设AC BD O ⋂=，

∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO

又1

AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥

又BD AC ⊥，1AC AA A ⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定