部分线性模型的经验似然比检验

华中师范大学
硕士学位论文
部分线性模型的经验似然比检验
姓名：***
申请学位级别：硕士
专业：概率论与数理统计
指导教师：***
201205
㈣⑧硕士学位论文
ＭＡＳｌ。

ＥＲ‟Ｓ…Ｉ．ＨＥＳｌＳ
摘要
部分线性模型是１９８６年由Ｅｎｇｌｅ等【ｂ】在研究天气对电力需要的影响时首次提出．这种模型同时包含线性参数部分和非参数部分，比线性模型更自由灵活，比非参数模
型更全面，应用十分广泛．
在引言中，我们介绍了部分线性模型的来源，以及研究现状．目前，部分线性模
型的估计方法日臻成熟．然而，对模型检验的研究仍不是很成熟．接下来介绍了
各专家学者对模型检验的研究，主要有基于似然函数、基于残差标志过程和基
于Ａ却￡ｉ口ｅⅣｅ可ｍ觚方法的检验，并讨论了上述方法的局限性．
本文研究的模型为
ｙ＝卢Ｔｘ＋夕（Ｔ）＋￡，
其中ｘ为ｄ维随机向量，Ｔ为ｄ１维随机向量，卢为ｄ维未知参数，夕（．）为光滑函数．给定Ｘ，Ｔ时，Ｅ的期望为零，方差为盯２．研究的假设检验为
凰：Ｅ（ｙｘ，Ｔ）＝卢Ｔｘ＋夕（Ｔ）Ｈ曰ｊ：Ｅ（ｙＩｘ，Ｔ）≠卢ｒｘ＋９（Ｔ）．
本文利用经验似然比统计量进行检验，经验似然比统计量由ＯＷｅｎ【１５】首次提出．在２．１节中，我们给出了这种方法的详细介绍．首先由模型（１．３）得到一组相互独
立数据的（ｔ１，ｘ１，ｙ１），（ｔ２，ｘ２，耽），…，（ｔ竹，】（，ｌ，‰），定义仇，
忱亍（执一卢Ｔｘ…一夕（ｔｉ））（ｘｉ一又），
其中叉为样本均值．从而给出假设检验的经验似然比统计量
Ｉｎｎｎｌ
‰＝－２警ｉ善ｌｏｇ（嗽）１Ａ＞ｏ，；Ａ＿１，∑Ａ仇＿０，，
其中仇为鼽的估计值．利用眈眇ｎ哪ｅ乘子法以及加权最小二乘法，我们可以给
出Ａ玩的估计值，由此所得的估计值依分布收敛于ｘ２分布．这种方法的优点有：一是
它没有涉及任何方差估计，二是没有对置信域的形状加以约束，第三它是Ｂ口舡ｅ亡ｔ可
纠偏的等．
关键词：部分线性模型，经验似然比，中心极限定理，ｘ２分布
１
⑧硕士学住论文
Ｍ人ＳＴＥＲ‟Ｓ…ｌ…Ｈｌ三ＳｌＳ
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
Ｔｈｅｐａｒｔｉａｌｌｉｎｅａｒｍｏｄｅｌｉｓｆｉｒｓｔｌｙｐｕｔｆ
ｏｒｗａｒｄ
ｂｙＥｎｇｌｅ【６】锄ｄｓｏ０ｎ．，Ｗｈ阻
ｔｈ呵ｓｔｕ击ｅｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｂ酏ＷＩｅｅｎｗｅａｔｈｅｒ粕ｄｅｌｅｃｔｒｉｃｉ毋ｓ出船ｉｎ１９８６．Ｔｈｉｓｍ
ｏｄ－
ｅｌｃｏｎｔａｉｎｓｂｏｔｈｔｈｅ１ｉｎｅａｒｐａｒ啦ｅｔｒｉｃｐａｒｔ衄ｄｔｈｅｎｏｎ－ｐａｒ铷皿ｅｔｒｉｃｐａｒｔ，ｉｓｍ
ｏｒｅ
ｐｒａｃｔｉｃａｌｔｈａｎｔｈｅｌｉｎｅａｒｍｏｄｅｌ姐ｄｍｏｒｅｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖ
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ｍｏ￡ｌｅｌ，ｓｏｉｔｗａｓｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄ．
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ｓｔａ土ｕｓ．Ａｔｐｒｅｓｅｎｔ，ｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｏｆａｐ砌－七ｉａｌｌｙｌｉｎｅａｒｍｏｄｈｅｌ
ｈ勰ｍａｔ删．
Ｈ讲代ｖ凹，ｍｏｄｅｌｔｅｓｔｉｓｓｔｉⅡｎｏ七、陀ｒｙⅢａ土１１】陀．Ｓｏ，ｉｎｔｈｅｎ∞吐ｓｅｃｔｉ０咀ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅ
∞ｍｅｔ髑ｔｓｒ越ｓｅｄｂｙｔｈｅｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ唧ｅＩｒｔｓ趾ｄｔｈｅ１ｉＩｎｉｔａｔｉｏ璐ｏｆｔｈｏ跎ｔｅｓｔｓ，ｍ血ｌｙ
ｃ０Ⅱｔａｊｎｅｄｔｈｅｔｅｓｔｂ勰ｅｄｏｎｔｈｅｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｈｍｃｔｉｏｎ．ｂａ躜ｄｏｎｔｈｅｒ髑ｉｄｕ妇ａｄ【ｅｄｐｒｏｃｅ８ｓ，ａｎｄｂａｓｅ
ｄ
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．Ｔｈｅｒ∞ｅ缸ｃｈｍＤｄｅｌｉｎｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｉｓ
ｙ＝卢Ｔｘ＋夕（Ｔ）＋Ｅ，
ｗ，ｈｅｒｅＸｉｓｔｈｅｄ．ｄｉｍｅ璐ｉｏｎａｌｒａｎｄｏｍｖｅｃ七ｏｒ，Ｔｉｓｄ１一ｄｉ】ｍｅｎｓｉｏｎａｌｒ皿ｄｏｍｖｅｃｔｏｒ，
卢ｉｓｄ－ｄｉⅢｅｎｓｉｏｎａＬｌ瑚【ｈｏｗｎｐａｒ锄ｅｔｅ瑙，９（・）ｉｓａｓｍ００ｔｈｆＩｍｃｔｉ叽．ｗｈｅｎｘ，Ｔａｒｅ
舀、ｒｅⅡ，ｔｈｅ唧ｅｃｔａｔｉｏｎｏｆ￡ｉｓｚｅｒ０，ｔｈｅｖａｒｉａｎｃｅｉｓ盯２．Ｔｈｅｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｉｓ
凰：Ｅ（ｙＩｘ，Ｔ）＝矿ｘ＋夕（Ｔ）卜＿÷凰：Ｅ（ｙＩｘ，Ｔ）≠厣ｒｘ＋夕（Ｔ）．
Ｉｎｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅ，Ｗｅｕｓｅｔｈｅｅｍｐｉｒｉｃａｌ
ｌ酬ｉｈｏｏｄｒａｔｉｏ（ＥＬＲ）ｓｔａｔｉｓｔｉｃＷｈｉｃｈ啷
缸ｓｔｐｕｔｆｏｒｗａｒ
ｄ
ｂｙＯＷｅｎ【１５ｌ，ｔｏｇｉｖｅｔｈｅｔｅｓｔ．ＩｎｓｅｃｔｉｏⅡ２．１，Ｗｅｇｉｖｅｔｈｅｄｅｔａｊｌｓｏｆ
ｔｈｅＥＬ
Ｒ
ｓｔａｔｉｓｔｉｃ．ｗ．ｅｃ８ｎｇｅｔｔｈｅｄａｔａ（ｔ１，ｘ１，玑），（ｔ２，Ｘ２，暑『２），…，（ｔ。

，‰，鲰）ｔｈｒ唧
ｍｏｄｅｌ（１．３）．ＴｈｅｎＷｅｄｅｆｉｎｅｔｈｅ协，
妒…＝（鼽一∥乇ｑ一夕（ｔｉ））（ｘｉ一＿），
叉ｉｓｔｈｅｍｅ龃ｏｆｔｈｅｓａｍｐｌｉｅ．Ｔｈｅｎ，西ｖｅｔｈｅＥＬ
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ｓｔａｔ斌ｉｃｏｆｔｈｅｈｙｐｏｔｈ鹤ｉｓ，
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Ｆ诬Ｉｔ，ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ∞１１ｒｃｅ
ｐａｒｔｉａｕｙ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ，鹄ｗｅＵ嬲ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ
Ａ协＝一２警｛喜ｂｇ㈨，ｌ鼽≥。

，喜Ａ＝１，喜ＡＡ＝。

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ｔｈｅｅｓｔｉｍ曲ｅｄ、讪ｌｅ ｏｆ仇．Ｗ．ｅ
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确士学位论文
Ｍ人ＳＴＥＲ‟Ｓ…ｌ‟ｌ｛ＥＳＩＳ
ｉｎ ｄｊｓｔ曲ｕｔｉｏｎ
ｔ０ Ｘ２ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．卫ｌｉｓ ｔｅｓｔ ｈ硒ｍ锄ｙ．ａｄｖａｎｔａｇ邵，
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ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ
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８０ ｏｎ．
Ｋｅ）啪ｒｄｓ：ｔｈｅ ｐａｒｔｉａｌ １ｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ ｅｍｐｉｒｉｃ越ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｒａｔｉｏ，ｔｈｅ ｃｅｎｔｒａｌ ｌｉｍｉｔ
ｔｈｅｏｒｅｍ，Ｘ２ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
ＩＩＩ
㈣⑧硕士学位论文
Ｍ＾Ｓ１。

ＥＲ‟ＳＩｆＨＥＳｌＳ
１引言
回归模型中研究应用最为广泛的是线性参数模型，但现实生活中总有些变量与
自变量之间没有明显的线性关系，如纵向数据之间的关系．纵向数据是统计研究中
一类复杂的类型，主要出现于生物、医学以及经济学中，这类数据不能用线性模型精
确的反映，否则会产生很大的偏差，故而统计学家提出了非参数回归模型，即
ｙ＝夕（ｘ）＋ｇ，
其中９（．）是未知函数，Ｅ满足Ｇ口ｕｓｓ—Ｍ口ｒ克伽条件．这种模型的假设更宽松些．对此类
模型可以用局部估计法、Ｂ样条估计、正交级数法等方法估计．
薛留根，朱力行等瞄，】用部分线性模型对纵向数据进行了拟合，其拟合效果比上
述模型更加明显．部分线性模型是同时包含线性参数部分和非参数部分的模型．该
类模型的表达式为
ｙ＝ｐ。

ｘ＋夕（Ｔ）＋￡，（１－１）
其中ｘ为ｄ维随机向量，Ｔ为ｄ１维随机向量，卢为ｄ维未知参数，夕（．）为光滑未知函数．
给定Ｘ，Ｔ时，Ｅ的期望为零，方差为矿２．这类模型是Ｅｎｇｌｅ等【ｂ】在研究天气对电力需要
的影响时提出的．模型中既包含线性参数部分，把握模型的大致走向并作出外延性
预测；也包含非参数部分，对模型进行局部调整．因此，这类模型比线性模型更自由灵
活，比非参数模型更全面，现实意义和应用性更强些．
部分线性模型属于广义线性模型．广义线性模型最早由Ｎｅｌｄｅｒ等【１４】提出，它的
一般表达式为
ｐ
，＠－，…，ｚ七；尻，…，岛）＝∑岛Ｔｊｃｆ（ｚ・，…，瓢），（１．２）
这里，，１，…，厶是自变量ｚ１，…，ｚ。

的已知函数．回归模型（１．２）是线性的，因为回归模
型的线性是只对参数尻，…，岛而言的【２４】．对于（１．１）式而言，显然有（１．２）的形式．其中
七＝ｄ＋１，ｐ＝２，
展＝卢，仍＝１，＾＝ｘ，厶＝夕（Ｔ）．
模型的研究主要包含模型的估计和检验两个方面，针对部分线性模型提出的估
计方法有很多，如Ｚｅｇｅｒ和Ｄｉｇｇｌｅ【２１ｌ研究感染病人体内ＣＤ４细胞数随时间变化的趋势时利用后移算法和迭代算法给出了部分线性模型的估计方法．Ｍｏ鹏ｄ和Ｄｉ９９１ｅ【１３】
改进了上述方法并给出了估计的收敛速度．Ｌｉｎ和ＣａⅡｏｌ【１２】通过改进∥Ｄ，订ｅ核方法
ｌ
⑨㈣硕士学位论文
ＭＡＳｌ…ＥＲ‟Ｓ。

ｌ‟｝ＩＥＳｌＳ
提出了核广义估计方程的方法．张日权、王静龙【２奶给出了部分线性模型的局部
线性Ｍ－估计的方法．部分线性模型的估计方法不是本文介绍的重点，此处不做赘
述．本文讨论的是关于模型的假设检验．针对部分线性模型检验的研究并不广泛，方
法不多，２．２节中将简单介绍几种检验方法以及相应方法的局限性．本文则是根
据ＯＷｅｎ【ｌｂｌ提出的经验似然比方法给出了参数口的检验统计量．
本文的模型是
ｙ＝∥ｘ＋夕（Ｔ）＋￡（１．３）
其中ｘ为ｄ维随机向量，Ｔ为ｄ１维随机向量，声为ｄ维未知参数，夕（．）为光滑未知函数．这里，我们不再要求￡一定要服从正态分布，而是只需满足
Ｅ（￡Ｉｘ，Ｔ）＝ｏ，＂ｎ７－（￡）＝仃２
两个条件，那么假设检验就是
日０：Ｅ（ｙ｝ｘ，Ｔ）＝卢Ｔｘ＋夕（Ｔ）卜＿÷日１：Ｅ（ｙｌｘ，Ｔ）≠酽ｘ＋夕（Ｔ）．（１．４）
假设（１．４）中的未知参数只有卢和夕两个．因此，要检验部分线性模型的拟合优度，需分
别对参数向量ｐ和非参数方程夕进行检验，本文采用２．１节介绍的经验似然法构造了
检验参数向量卢的统计量，而对于９的检验，由于水平有限，未做探讨．故而在实际举例
时，默认非参数方程９己知．
本篇文章的具体内容是这样安排的：第１节为引言部分，主要介绍了部分线性模
型的研究背景以及研究现状：第２节为预备知识，分为两个小节，第一小节介绍了经
验似然统计量的构造方法，第二小节则是对部分线性模型的检验方法做了简单介
绍，先分别介绍了基于似然函数、残差标志过程、Ａ如砧ｉ口ｅⅣｅ剪ｍｏ礼法三种方法的检验过程，然后对本文的经验似然比检验进行简单介绍，这也是对后面两节的大纲性
的总结；第３节主要介绍了部分线性模型的经验似然比检验，第一小节为构造相应
的统计量．第二小节则是统计量的性质研究和模型检验；第４节是数据模拟研究；
第５节是前面引理与定理的证明．
２
⑨情形．帆【均】彳艮早就对上述问题做了详细的研究，许多学者对这方面的研究也以㈣
硕士学位论文
Ｍ人Ｓ…ｌ…Ｅｌ之‟Ｓ。

ｌ…Ｊ｛１三ＳｌＳ
２
预备知识
２．１
经验似然比统计量
根据Ｗｉｌｋｓ的研究，对数似然比有很好的逼近性质，在一定正则条件下，似然比的
对数函数经过简单的变化可收敛于ｘ２分布．我们都知道，似然比的分布一般是很难求 出的，所以导致似然比检验的功效也不容易求得．然而，根据其逼近性质，可以对功效 值做一个近似的估计，如显著水平为Ｑ，样本容量为ｎ的似然比检验的功效函数就可 以表示为
风≈ｐ（ｘ２≥ｘ。

（ｏ）），
其中风是假设检验的功效函数，ｐ（－）表示概率．
经验似然比是由Ｔｈｏｍａｓ和Ｇｎ加ｋｅｍｅｉｅｒ【ｌ子】在估计ＫＤ川Ｑｎ—Ｍｅｉｅｒ曲线的生存
概率函数时首次应用的．在生存分析中，对带删失数据的生存函数做非参数极大似
然估计可得到Ｋ—Ｍ曲线，他们讨论了基于ｘ２（１）的生存概率的经验对数似然比区
间是否有适当的收敛水平，答案是肯定的．
在非参数统计中，样本的经验分布函数常被用作总体的极大似然估计函数．经验 似然比则是利用经验分布函数来定义似然比统计量．经验似然比方程可以用来构造
样本均值的置信区间，也可以将Ｗｉｌｋｓ在参数情形下给出的逼近性质扩展到非参数
此为依据，本文主要的方法也是依据经验似然比的性质进行的．
Ｏｗｅｎ定义了由分布函数局得到的独立观测数据蜀，…，墨的经验分布函数
为Ｒ，Ｒ可看做昂的非参数极大似然估计量．相应的极大似然函数定义为
Ｌ（Ｆ）＝Ⅱ｛声（ｘ）一Ｆ（ｘ一）），
ｔ＝１
那么，似然比方程就是
即）＝器，
其中Ｆ是Ｘ的分布，若原假设成立，则
一２ｌｏｇＲ与ｘ２．
设
Ａ≥ｏ，∑乃＝Ｆ（ｘ）一Ｆ（五一），（ｉ＝１，…，ｎ），
ｉ：ｘｉ＝ｘ…
３
（２．１）
（２．２）
㈣⑧硕士学位论炙
ＭＡＳｌ。

￡ｋ‟Ｓ…１．ＩｌＪ三ＳＩＳ
在观察数据下，可定义似然方程
￡（ＥＰ）＝Ⅱ
（２．３）
扛１Ａ，
其中Ｐ是以（２．２）式中ｐ…为元素的向量，这里（２．３）就是经验似然方程．使得（２．３）式取最大值的条件是
Ｆ：Ｒ，ｍ：…：ｐｎ：三，
那么，经验似然比方程为
应（只Ｐ）＝ｎ吩．（２．４）在非参数情形下，ＯＷｅｌｎｆｌ５】给出了如下定理．‟
定理１设Ｘ，五，恐，…是独立随机变量，有非退化分布函数昂，且满足
／卵ｄ娲＜姒．
对０＜ｃ＜１，令
％ｎ＝．【ＦＩＲ（Ｆ）≥ｃ，…Ｆ《Ｒ），
且定义
ＸＵｎ＝脚ｊｚ氓ｘＬｎ＝试ｌｚ珉
这是两个都通过Ｆ求得的极值．那么，当ｎ一∞时，
∥ｆ拖，ｎ≤刀（ｘ）≤五功卜专∥（妒（１）≤一２ｌｏｇｃ）．
定理的证明见文献［１５】，此处不做赘述．设Ｒ（Ｆ）≥ｃ，令
甄＝ｆＦ∽）一Ｆ（耳））屈，１≤南＝ｃＤｒ烈置Ｉ置＝五），
根据定理１，若接受原假设，在给出（２．２）式时，每个结点作为一个单独的数据，＿ｔ满足（２．２）式且。

丌瓴
氟耵）＿娶肾蒜础∽）≥ｃ．７
４
（２．６）
⑨
硕士学位论炙
Ｍ人Ｓ‟ｌ…￡ｌ之‟Ｓ‟ｌ‟ｌｌ ＥＳｌＳ
反之，若假设詹（只Ｐ）≥ｃ，凫（Ｆ，Ｐ）满足（２．４）式，那么，
即Ⅲｃ咖需＝挚ｃ．
所以，对任意ｃ∈【ｏ，１】总有
｛Ｆ：Ｒ（Ｆ）≥ｃ｝＝｛Ｆ：Ａ（只ｐ）≥ｃ，ｐ满足（２．２）式】．．
综上所述，（２．４）式中鼽满足以下条件
ｐ…≥ｏ，∑Ａ＝１，Ⅱ觑≥ｃ．
定义检验的经验似然比统计量为
（２．５）
，
ｎ
、Ａ（ＥＰ）＝－２警ｉｌｏｇＡ（Ｆ，Ｐ）２若ｌｏｇ（唿）ｌ Ａ≥ｏ，∑Ａ。

１，Ⅱ觋≥ｃ，，
再利用Ｌ０９ｒｍ夕ｅ乘子法可求出（２．６）的确切表达式．
５
㈣⑧硕士学位论文
ＭＡＳ１。

￡ｋ‟Ｓ１‟ｌｌＥＳｌＳ
２．２部分线性模型检验方法简介
部分线性模型的一般形式为
ｙ＝卢Ｔｘ＋９（Ｔ）＋￡，
其中ｘ为ｄ维随机向量，Ｔ为ｄ１维随机向量，ｐ为ｄ维未知参数，夕（・）为光滑未知函数，对￡的要求不尽相同，但是都要满足均值为０的前提．假设检验设为
ｙ＝卢Ｔｘ＋９（Ｔ）＋￡Ｈｙ≠矿ｘ＋９（Ｔ）＋Ｅ．
检验一般是针对卢，夕和误差Ｅ进行的，并根据三者的估计量来构造相应的检验统计
量．下面简单介绍几种模型检验方法．
２．２．１基于似然函数的检验方法
利用似然法可以求出模型（１．１．）中参数卢的估计，具体的方法是通过部分线性模
型分别构造原假设和对立假设成立时，含有（声，夕）的似然函数方程，进而构造似然比
统计量．通过这个方法求得的估计量偏差较小，而且以最优速度（礼－１／２）逼近．但是我
们都知道，似然方程的表达式不易求出，或者形式比较复杂．Ｃｕｚｉｃｋ【４】做了这方面的研究，他研究的模型是
挑＝甄ｐ＋蜘（如）＋既ｉ，
其中执是响应变量，卢为参数，夕为未知可测函数，叩表示夕的可能值，仃是未知的正
数忍，南为随机变量．这里为了给出似然方程，要求．【矗】．是独立同分布的，均值为零，且
有密度函数，．那么，给定甄，赴时，相应的条件似然函数表示为
三（卢，钾㈨黾，如）＝Ⅱ盯…１，他（ｐ，矿，，７））．
ｉ＝１
似然函数已知的前提下可构造似然比统计量Ｒ，在大样本情况下，
Ｒ与ｘ２，
一２ｌｏｇ
据此可对假设进行检验．
㈣阽，燃志∑（毒２一争２），
⑧
硕士学位论文
Ｍ人Ｓ‟Ｉ．ＥＲ‟Ｓ。

１．１ｌＥＳｌＳ
２．２．２
基于残差标志过程的检验方法
基于残差标志的检验在参数模型检验中已有研究，如Ｓｔｕｔｅ，Ｇｏｎｚ缸Ｍａｎ． ｔｅｉｇ瘌Ｐｒｅｓｅｄｏ Ｑ血ｄｉｍｉｌ【ｌ，】提出了基于残差标志过程构造了参数检验的统计
量．在非参数检验中，利用残差标志过程进行检验有其很好的性质，如检验对所有全 局各择假设相合；检验可以检测到以最快速度（扎．１／２）逼近原假设的局部各择假设 等．但是，这类检验方法也有其欠缺的一面，如容易遇到维数灾难的问题，检验的功效
依赖于残差函数的光滑程度．
对假设（１．３）进行检验，需利用残差估计量芒，构造检验统计量ＣＫ，如残差标志过
程蚴为
１三
Ｒ＠，ｚ）＝＿杀芝二白ｕ（巧）Ｊ（岛≤ｔ，巧≤ｚ），
Ｖ”ｊ＝ｌ
其中ｕ为任意权重，Ｊ是示性函数，亡，ｚ为任意值．进而给出检验统计量
，ｃ％＝／．，（％（正ｘ））２ｄＲ（ｔｘ），
式中，Ｒ是基于观察数据的经验分布．然后，根据实际数据得出ＣＫ值．再随机产
生ｍ组数据，根据上述构造计算出相应Ｃ碟。

Ｊ值，ｉ＝１，…，ｍ．那么，ｐ＝七／（仇＋１），七表
示ｃ议。

Ｊ值大于或等于ｃＫ值的个数，再与显著性水平进行对比判别，若其大于显著
性水平则接受原假设．
２．２．３
基于Ａ如讲锄ｅⅣｅ可ｍ彻珐的检验方法
Ａ缸讲锄ｅⅣｅ＂讥ｎ检验是由‰，Ｈｕａｎｇ【，】提出并应用于广义线性模型的，部分
线性模型作为特殊的广义线性模型也可用这种方法进行检验，而且这种方法的检
验统计量的构造主要依赖于误差Ｅ，且要求￡一Ⅳ（０，盯２），样本容量为礼，设残差统计量
为拿，将其做傅里叶展开
誊为一。

＝（罢）１肛喜ｃ。

ｓ（２丌巧／ｎ）＆，
锡＝（圹喜ｓｉｎ陬帏一…协
【．】表示取整函数．令争＝（者，…，蠢），Ａ如砧ｉｔ，ｅⅣｅ秒ｍ口ｎ统计量定义为
ｌ≤ｍ≤ｎ、／２钉ｌ子４±，、‟
㈣去何刍＂…＿一叫。

．
⑧
硕士学位论炙
ＭＡＳ‟ｌ…ｌ￡Ｒ‟Ｓ １‟ｌｌｌ三ＳｌＳ
子是盯的相合估计量．在原假设（１．３）成立的条件下
Ｐ（Ｔ＜ｚ）．÷唧（一唧（一ｚ））．
若给定显著性水平乜，易求出检验的否定域．Ａｄ印统ｕｅⅣｅ可ｍｏ几检验也依赖于残
差的构造，尽管这种方法将检验由一维推广到了多维，但在非参数检验中，仍有可能 出现维数灾难，而且如何光滑函数是一个具有挑战性的问题．
本文则是利用２．１节介绍的方法构造关于目的检验统计量。

在线性模型中，卢的估 计量一般用最小二乘法表示，部分线性模型属于广义线性模型，故而可以用加权最 小二乘估计表示．相较于前面介绍的方法，之所以采用经验似然法，是因为一它没有 涉及任何方差估计，二是它没有对置信域的形状施加约束，而有数据自行决定，三是
它是Ｂｏ缸ｅｔ亡可纠偏的，优于ＢＤ优５打ｏｐ法．Ｋｏｌａｃｚｙｋ【ｌ上】在Ｏｗｅｎ研究的基础上推广到
了广义线性模型，Ｗ抽ｇ与Ｊｉｎｇ等ｌ州】研究了部分线性模型下该方法的应用．
本文的方法是构造包含参数卢的随机变量恍，
仇＝‰一卢Ｔｘ一９（ｔ…））（】【…一又），
据此定义刀．０的经验似然比统计量
Ｉ
ｎ
ｎ
ｎ
ｌ
概＝ｑ警ｔ萎ｌｏｇ㈨）｜Ａ＞０，萎鼽＿１，∑Ａ饥＿０，，
（２．７）
仇是代入声后仇的估计量，根据五叼ｒ觚夕ｅ乘子法求出Ａ日。

的具体表达式．
根据第５节引理可知，｛仇）是满足中心极限定理的，即
壹仇与Ⅳ（帅２∑） 根据Ａ凰的表达式以及仇的性质，最终给出本文定理，Ａ日。

是依分布收敛到自由度
为ｄ的卡方分布的．故而，可以给出假设检验参数卢的置信区间．
㈣＝一矿Ｅ（ｘ Ｔ）＋卢Ｔｘ＋ｒ（Ｔ），
ｒ。

√
（３．６）７－（ｔ）＝Ｅ（ｙ Ｔ＝ｔ），
⑧
硕士学位论文
Ｍ人Ｓ１‟ＥＲ‟Ｓ。

１．Ｈ ＥＳｌＳ
３
部分线性模型的检验
本章研究的模型为
ｙ＝卢Ｔｘ＋夕（Ｔ）＋ｓ， （３．１）
其中ｘ为ｄ维随机向量，Ｔ为ｄ１维随机向量，卢为ｄ维未知参数，９（・）为光滑函数．给 定ｘ，Ｔ时，Ｅ的期望为零，方差为口２．相互独立数据的（ｔ１，ｘ１，暑『１），（ｔ２，ｘ２，仇），…，（ｔｎ， ‰，‰）是根据模型（３．１）得到的．
假设检验为
风：Ｅ（ｙＩ ｘ，Ｔ）＝卢Ｔｘ＋夕（Ｔ）÷＿寸皿：Ｅ（ｙ ｘ，Ｔ）≠矿ｘ＋夕（Ｔ）．
３．１统计量的构造
设。

（３．２）
Ｕ（Ｔ，ｘ）＝‟ｘ—Ｅ（ｘＩ Ｔ）＇
ｙ（Ｔ，ｙ）＝ｙ—Ｅ（ｙＩ Ｔ），
那么，（３．２）式中日０可转换为
兰掣獬Ｉ葛鬻嚣‟
（３．３）
强４，
那么，
Ｅ【（ｙ一卢Ｔｕ（Ｔ，ｘ）一７．（Ｔ））Ｉ（ｘ，Ｔ）】
＝Ｅ【ｙ｜（ｘ，Ｔ）】一Ｅ【ｐＴｕ（Ｔ，ｘ）Ｉ（ｘ，Ｔ）】一Ｅ【ｒ（Ｔ）Ｉ（ｘ，Ｔ）】
＝Ｅ【ｙ Ｉ（ｘ，Ｔ）】一卢Ｔｕ（Ｔ，ｘ）一ｒ（Ｔ）
＝０．
即
Ｅ【（ｙ一矿ｕ（Ｔ，ｘ）一，‟（Ｔ））Ｉ（ｘ，Ｔ）】＝ｏ，
（３．５）
式中，
篙翥…：‟三≯∽以印】‟
其中Ｓ＝Ｅ（Ｕ旷ｕ２（Ｔ））为正定，ｕ（・）是一个有界的非负加权函数且具有紧支集
ｆｎ，６】ｃ【ｏ，１】．
㈣篡雪）：轰黑唆
⑧
硕士学位论文
Ｍ人Ｓｔｌ。

ＥＲ‟Ｓ。

Ｈｌ ＥＳＩＳ
根据式（３．３）、式（３．６），利用加权最小二乘估计构造ｐ和７．的估计，对ｉ＝１，…，他，定
义
觚）＝去∑ｈ（ｔｔ—ｔＪ），
相应的，定义
驱一，＝三妻嘴铲，船Ｍ，＝去妻嘴铲，
痧（ｔｔ，】【ｔ）＝】（ｉ一或（ｘＩＴ＝ｔｔ），矿（ｔｉ，玑）＝玑一忘（ｙＩＴ＝ｔｔ），
其中ｈ（￡）＝丢Ｋ（§），危是带宽，满足第５节条件ｃ，，Ｋ（・）是连续核函数，满足第５节条件
口和ｒ的估计分别是
矿（乜）＝匠（ｙＩ Ｔ＝ｔｉ），毪）眠玑）雌），
其中雪＝雪（痧护ｕ（Ｔ））＝击∑竺。

扩（ｔｔ，Ｋ）疗（ｔｔ，】【…）Ｔｕ２（ｔｔ）．
在第５节ｃｌ。

ｃｔ条件下，何（声一卢）依分布收敛到均值为零的正态分布【２２】．
（３．７）
⑨硕士学位论文
Ｍ人Ｓ１…ＥＩ之‟Ｓ…ｌ。

｝ｌｌ三ＳｌＳ
３．２统计量的性质
定义残差龟＝纨一声Ｔ痧（ｔｉ，】【ｉ）一矿（ｔ…），若日０成立，构造辅助随机变量
妒ｉ＝（玑一卢Ｔｘｉ一９（ｔ…））（ｘｔ一又），
又为样本均值，ｘ己知，那么可以推得Ｅ（忱）＝ｏ．日０的经验似然比检验统计量定义为概＝一２警｛喜ｂｇ㈨№≥。

，喜鼽＝１，喜鼽仇＝。

）．
将（３．７）式中声的表达式代入协中，就得到估计量晚的表达式，
・Ａ＝（玑一声Ｔｘ；一鸯（ｔｉ））（ｘ；一又）
＝（玑一声ｒ痧（乜，】【…）一手（ｔ；））（麓一又）
＝邑（）ｃ…一ｘ）．
．［仇）是满足中心极限定理的．
在给出引理以及定理之前，首先规定以下条件成立：
ｃ１：当ｎｏｏ。

时，以危２－÷ｏ以及何＾ｏ。

ｏ；（保证检验统计量的相合性）
ｃ２：核函数Ｋ（・）是对称的概率密度函数，在它的支撑集【一１，１】上有界变差，￡】Ｋ（让）砒＝
１，以及．仁，ｌ＂ＩＫ（ｔ…）砒≠ｏ；（关于非参数估计收敛速度的常用条件）
ｃ３：记Ｅ（ｘ；‟Ｘ）＝∑，Ｅ（爵ｌｔ…）＜ｏｏ，Ｅ“ｘ１４）＜∞，Ｅ（１ｙ１４）＜ｏｏ，ｉ＝１，…，ｎ：
（最小二乘渐近正态性的必要条件）
ｃ４：记Ｅ（ｙＩＴ＝ｔ）的一阶导数为Ｅ（１）（ｙｌＴ＝ｔ）．假定Ｅ（ｙｌＴ＝ｔ），Ｅ（１）（ｙＩＴ＝ｔ），以及给定Ｔ＝ｔ，ｘ的条件分布函数Ｆ（ｘｔ）满足条件：存在原点的邻域，不妨记为Ｍ和常数ｃ（ｃ＞Ｏ），对任意ｍ∈Ｍ，所有ｔ和ｚ，有
Ｔ＝ｔ）Ｉ≤ｃＩｍＩ；
ｌＥ（ｘＴ＝ｔ＋ｍ）一
Ｅ（ｘ
ＩＥ（１）（ｙＩＴ＝ｔ＋ｍ）一Ｅ（１）（ｙＴ＝ｔ）Ｉ≤ｃＩｍＩ；
ＩＦ（ｘＩｔ＋ｍ）一Ｆ（ｘｔ）Ｉ≤ｃｍ１．
引理１在条件ｃ１一ｃ４成立的前提下，若原假设凰成立，
０ｎ笔”辄（吣２∑）．一
假定。

在点（乒１，…，Ａ）的凸集的内部，利用眈夕ｒｏ叼ｅ乘子法【５１，可以得到部分线性模型的经验似然比检验统计量入日。

的表达式为
入未＝２∑ｌｏｇ（１＋酽仇），
…＝１
其中目是ｄ×１向量且满足０口Ｉ｜＿ｑ（ｎ一；），以及
善志一ｏ－
引理２在条件ｃ１一ｃ４成立的前提下，若原假设凰成立，
三参矗驸∑．
根据引理以及已知条件，我们可以推到出检验统计量的逼近性质．定理２在条件ｃ１一ｃ４成立的前提下，若原假设凰成立，
Ａ日０与始
其中与表示依分布【（殳敛，ｘ：表示自由度为ｄ的ｘ２分布．
在显著性水平Ｑ下，拒绝原假设日。

的范围是（３．８）（３．９）
ｐＨｏ＝｛入日ｏＡ胁≥ｘ：（１一Ｑ））．（３．１０）
㈣⑧硕士擎饭论炙
ＭＡＳｌ‟ＥＲ‟ＳｆＨＥＳｌＳ
４数据模拟研究
下面我们通过实际的一个模型来检验统计量的效果．本文考虑一维数据下的模
型
×＝卢Ｔ五十夕（五）＋鼠．
为对假设（３．２）进行模拟，我们做如下假设，
五一Ⅳ（１，２），正一Ｕ（ｏ，１），ｐ＝１，夕（互）＝ｓｉⅡ（２７ｒ正）．
核函数可以设为高斯核，
玩（・）２志唧（一（…）２／２＾２），
带宽为＾＝ｎ１／５Ｔ，Ｔ为互的标准差．
这里考虑鼠一Ⅳ（ｏ，１），￡ｔ—ｕ（一钷，插），矗一Ⅳ（ｏ，２）和矗一ｕ（一怕，怕）四
种情况，前两种情形的Ｅ的方差矿＝１，后两种情形的仃２＝２．样本容量分别取ｎ＝
５０，１００，２００，显著性水平分布取Ｏ．１０和Ｏ．０５．对经验似然比置信区间的覆盖率做５０００次模拟（程序见附录），ｘ２检验的维度是可知的，故可以得出式（３．１０）中的ｘ：（１一Ｑ）值，那
么在样本容量为礼时，就可以确定（３．１０）这个集合，覆盖率就定义为集合元素个数
与礼的比值．四种情形的模拟结论如表垂１，表冬２所示．
表缸１仃２＝１时，卢的经验似然比置信区间的覆盖率（ａ为显著水平）
ｎＱ＝０．１口＝０．０５
￡一Ⅳ（０，１）Ｅ—ｕ（一怕，怕）
５０
１００
２００
５０
１００
２００
０．８８９０
Ｏ．８９４４
０．９０６６
０．８８９４
Ｏ．９０３４
０．９０２８
０．９４２６
０．９４５４
Ｏ．９５４８
０．９４３８
０．９５２６
０．９３６６
㈣⑧磋士擘位论文
ＩＩ蠢人Ｓ．１…ＥＩ之‟Ｓ。

ｌ…ｌｌＥＳｌＳ
表垂２沪＝２时，∥的经验似然比置信区间的覆盖率（口为显著水平）
ｎｎ＝
０．１
Ｑ＝０．０５
Ｅ一Ⅳ（ｏ，２）￡一ｕ（一怕，诉）
５０
１００
２００
５０
１００
２００
０．８８２６
０．８９９６
０．９００２
０．８８１０
０．８９９６
Ｏ．９０００
０．９３８２
０．９５００
０．９５１４
０．９３６６
０．９４７０
０，９４７８
从表中可以看出，每组模拟结果与相应１一口值很接近，说明我们这个检验统计量检验效果很明显．
⑨硕士学饭论文
Ｍ人Ｓ１…ＥＲ‟Ｓ。

１．ＨＥＳｌＳ
，，５定理证明
下面给出各引理和定理的证明．
引理１的证明
证：因为，
＆＝鼽一声Ｔ痧（ｔｔ，凝）一矿（ｔｉ）
＝卢Ｔｘ…＋夕（ｔｔ）＋白一声Ｔ痧（乜，ｘｉ）一产（乜）
＝毛＋（卢Ｔ＆一ｐＴ】【…）＋【夕（ｔ…）＋口Ｔ忘（ｘＩ乜）一最（ｙＩｔｉ）】．
所以，
仇＝＆伍一叉）
＝矗（ｘ一叉）＋（卢Ｔ】【…一伊Ⅺ）（】【ｉ一叉）＋【夕（乜）＋伊应（ｘＩｔ…）一杰（ｙｔ）】（）【一又）
＝厶…＋如＋ｋ，
（５．１）其中
厶…＝岛（ｘｔ一丈），
坛＝（卢Ｔ】【…一伊ｘ）（】【ｉ一叉），
氏＝函（ｔ；）＋矿最（ｘＩｔｉ）一或（ｙｌｔｔ）】ｋ一又）．经简单计算可得
Ｅ｛击喜五ｔ）＝。

，‰｛击喜五ｔ）＝仃２∑．
根据已知条件，可以推出击∑五ｉ满足ｃ‟彻曙ｅｒ一ⅣＤｚｄ定理的条件和Ｌｉ死ｄｅ６ｅｒ夕的
条件．因此，由中心极限定理得
去∑丸辄（０＇矿∑）．
那么，接下来只需证明
ｋ与０（５．２）
土何一Ｉ氏与０（５．３）
⑨硕士学位论文
Ｍ人Ｓ‟ｊ…￡ｋ‟Ｓ…ｌ…ｌ引巳ＳｌＳ
在己知条件下，何（声一ｐ）服从均值为零的正态分布，声为ｐ的加权最小二乘估计，由前面叙述可知，声是卢的弱相合估计，应用文献【２３】中定理３．１及定理３．１‟，经简单计算可得
Ｅｔ０击喜ｋｌｌ２）＝扎。

１喜硎ｌｘ一叉｜｜２，ｑ㈣与。

，
即（５．２）式证明成立．
对于（５．３）式，
忘（ｙｌｔ。

）＝扈【（ｐｒｘ＋９（Ｔ）＋Ｅ）Ｉｔｔ】＝忘（卢ｒｘｌ屯）＋忘【夕（Ｔ）ｌｔｔ】．
所以，
Ｅ｛Ｉｌ击∑：，氏孵
＝Ｅ｛０击∑羔，【９（ｔｔ）一应（夕（Ｔ）Ｉｔｔ）＋厉ｒ盅（ｘＩｔｔ）一应（卢ｒｘ
＝ｎ＿１∑竺，Ｅ（１ｌＫ一叉惝ｑ（１）．
由上式可知，
Ｅ峙喜叫轧因此，由中心极限定理及刷ｕｔｓ幻定理得
击善仇辄（０＇沪∑）．
引理１证毕．
引理２的证明
证：由（５．１）式可知
仇＝五…＋ｋ＋ｋ．
设
如＝坛＋ｋ，
上式就等价于
仇＝氏＋如．
１６ｌｔｔ）】（】ｃｉ一叉）１１２】．
（５．４）
ｎ各
（去∑汹 叫（三
∑：ｉ磁。

）．
那么，
１÷．一个
一夕，协忱１
＝三喜五ｔ圮＋丢喜岛ｔ磁＋三喜屯磁＋去喜
Ｂ２；礤
＝毋＋忌＋Ｒ３＋忍，
其中
冗－２丢蚤＾ｔ磁，嘞＝丢蚤如磁，
飓＝击∑凡磁，皿＝击∑如瑶．
ｔ＝１ ｉ＝１
利用大数定律可得出
Ｒ１与盯２∑．
下面证
风与ｏ，（钉＝２，３，４）．
首先考虑飓的证明，记岛，，。

表示Ｒ２的（ｒ，５）元素．岛ｉｒ表示三ｉ２ｔ的第ｒ个分量，根据仇谳Ⅳ一
．Ｓ娩硼盯ｚ不等式可得
飓，一≤
利用文献【２７】中引理１，可以推出
１
ｎ。

∑赡与ｏ．
、§
｝
（５．５）
…＝ｌ
结合（５．５）式可得
尼与Ｏ．
同理可证，
最与０，口＝２，３，４．
引理２证毕．
定理的证明
证：这里仍使用引理１中的记号．那么，
ｌ仇ｌＩ≤攫慧ＩＩｊｒｌｔＩｌ＋熙Ｉｌ坛｜ｌ＋
１７
㈣
Ａ日ｏ＝２∑｛矿Ａ一墨｝｝＋０ｐ（１），
ｔ＝１Ｌ ，＝娄加一喜仇五Ｔ口＋喜琶篙
＝１…＝１…＝ｌ
⑧
硕士学位论炙
！１１人Ｓ‟ｆＥＲ‟Ｓ…ｌ…ｌＩ ＥＳｌＳ
令
尬２燃㈧ｌ，％２黪㈦，％２黑㈦・
根据Ｃｏ僦幻一Ｓｃ＾Ⅲ口ｒｚ不等式和弓ｆ理２的证明方法，可以证得
％＝ｑ（ｎ；），飓＝０ｐ∽｛）．
利用文献【１５】中的引理３可得
尬＝Ｄｐ∞｛）．
结合引理２，可知
糕恻ｌ＝０ｐ（几§）．
（５．６）
现将（３．８）式做乳讲Ｄｒ展开，已知恻Ｉ＝０ｐ（佗一§），结合引理１及（５．６）式，计算得
利用（３．９）式推得
舻２壹ｂ一掣１＋吣
（５．７）
ｒ 丝
台１＋矿仇
再结合引理１，引理２，（５．７），（５．８）式，可得
∑（矿蛾）２＝∑俨仇＋０ｐ（１），
（５．８）
（５．９）
从而，可知
…＝ｌ
ｉ＝１
ｒ
ｎ
、一１
“
因此，由（５．１０）式可得
ｐ＝｛∑（慨旁）｝∑仇＋ｑ（ｎ一§）．
Ｌ…＝ｌ Ｊ …＝１
（５．１０）
Ａ日ｏ＝｛击喜仇，Ｔ矿以ｔ击喜蟊），
ｃ５ｍ，
其中矿：７ｌ一１妻（Ａ菇Ｔ），由（５．１１）式可以推得定理结论．
定理证毕．
㈣Ｈ．ｃ删ｃｅ【２】ｃｈｅｎＪ—ｓｉｅⅣｅ咖ｐｉｒｉｃａｌ ｌｉｋｅ曲ｏｏｄｒａｔｔｉｏ【８】王７抽Ｊ．，ｚｈａｎｇ【９】Ｈｅｄ哑衄Ｎ．Ｅ．．Ｓｐｌｉｎｅ锄ｏｏｔｈｉｎｇｐ砒ｉａｌ
⑧
ｊ莠士学位论文
ＭＡＳ。

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Ｗ．Ｊ．，№ｃｅ Ｊ．ｅｌｓ．Ｓｅｍｉｐ盯锄ｅｔｒｉｃ ｅｓｔｉｍａｔ鹤ｏｆ ｔｈｅ静
址ｉｏｎ ｂ咖啪ｎ
Ｗｅａｔｈｅｒ龃ｄ ｅＭｒｉｃ姆８ａｌ鹤【Ｊ】－Ｊｏ啪ａｌ ｏｆ Ａｍ面ｃ锄Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ
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【７】Ｅａｎ
Ｊ．，
Ｈｕａｎ
ｇ
Ｌ．．Ｇｏｏｄｌｌ盼ｏｆ－６ｔ ｔｅｓｔｓ
ｆｏｒ
ｐａｒ锄ｅｔｎｃ ｒｅ口ｅｓｓｉｏｎ
ｍｏｄｅｌ．
ｓ【Ｊ】．Ｊｏ啪以ｏｆ Ａｍ丽ｃ皿ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ心ｏｃｉａｔｉｏｎ．２００１，９６：３１０－３２０．
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ｍｏｄｅｌｓ【Ｊ】．Ｊｏ啪ａ１
ｏｆ ｔｈｅ
【１０】Ｈｅ
ｘ．
Ｍ．，
ｚｈｕ ｚ．
Ｙ．
强ｄ
Ｆ衄ｇ
ｗ．
Ｋ。

Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ
ｉⅡａ蛐ｉ—
ｐ缸ａｍｅｔｒｉｃ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ １０ｎ舀ｔｕｄｉｎａｌ
ｄａｔａ ｗｉｔｈ珊１ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ
ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ
ｓｔｎｌｃｔｕｒｅ［Ｊ】．Ｂｉｏｍｅｒｉｌ疏．２００２，８９：５７孓５９０．
【１１】Ｋｏｌａｃｚｙｋ
Ｅ．Ｄ—Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ｕｌ【ｅｌｉｈｏｏｄ五Ｄｒ
ｇ凹ｅｒａｕｚｅｄ
ｌｉｎｅａｒ
ｍｏｄｅｌｓ【Ｊ】．ｓｔａｔｉｓｔ
ｓｉｌｌｉｃａ，１９９４，４：１９９－２１８．
【１２】Ｌｉｎｘ．Ｈ．，ｃ锄ｌ
Ｒ．Ｊ．．Ｓ锄ｉｐａｒ锄ｅｔｒｉｃｒｅｇｒ麟ｉｏｎ
ｆｏｒ ｃｌｕｓｔｅｒｅｄ
ｄａｔａ俯 ｉｎｇｇ阻ｅｒａ】ｉｚｅｄｅｓｔｉＩｎａｔｉｎｇ
ｅｑｕａｔｉｏ璐【Ｊ】．Ｊｏ啪ａｌｏｆ ｔｈｅ
Ａｍｅｒｉｃａ丑Ｓｔａｔｉｓｔｉ
ｃａｌ
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１９
０ｆｌｏｎ舀ｔｕｄｉｎａｌｄａｔａ【Ｊ】．Ａ璐ｔｒａｌｉａｎＪｏ啪ａｌｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ．１９９４，３６：７５－９３．
【１３】Ｍ呵ｅｅｄＲ．Ａ．，ＤｉｇｇｌｅＰ．Ｊ—Ｒａｔ鹤ｏｆ咖眦ｇ阻ｅｅｉｎｓ唧ｉｐ缸ａｍｅｔｒｉｃｍｏｄｅｌｉｎｇ【１４】Ｎｅｌｄｅｒ
Ｊ．Ａ．，ｗｅｄｄｅｒｂ唧ｗ．Ｍ．．Ｇｅｎｅｒ此ｅｄｌｉｎｅａｒⅢｏｄｅｌｓ【Ｊ】．Ｊｏ啪ｄｏｆｔｈｅ＆）ｙａｌｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌＳｏｃｉｅ够１９７２，１３５：３７０＿３８４．
【１５】ＯｗｅｎＡ．Ｂ．．Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ瑚妃１ｉｈｏｏｄｒａｔｉｏｃｏ姐ｄｅｎｏｅｒｅ舀ｏｎｓ［Ｊ】．ＴｈｅＡ皿ａｌｓｏｆＳｔａｔ缸站ｉｃ８．１９９０．１８：９０．１２０．
【１６】ｓｐｅｃｌ田１ｅｎＰ—Ｋ唧ｅｌｓｍｏｏｔｈｉｎｇｉｎｐａｒｔｉ址ｌｉｎ
ｅａｒ
ｍｏｄｅｌ８［Ｊ】．Ｊｏ啪ａｌｏｆｔｈｅＲ∞试
ｓｔａｔｉｓ七ｉｃａＬｌＳｏｃｉｅｔｙ（ＳｅｒｉｅｓＢ）．１９８８，５４：４１似３６．
【１７】Ｓｔｕｔｅｗ．，ＭａｎｔｅｉｇａＧ．ｗ．趿ｄＱｕｉｎｄｉｍｉｌＭ．Ｐ—Ｂ００ｔｓｔｒａｐ印ｐｒ似ｉｍａｔｉｏ璐ｉｎｍｏｄｅｌｃｈｅｃｋｓｆｏｒｒｅ目ｅｓｓｉｏｎ【Ｊ】．Ｊｏ哪ａｌｏｆｔｈｅＡｍ商ｃ觚ｓｔ舶ｔｉｃａｌ．１９９８，９３：
１４１—１４９．
ｆ１８】Ｔｈｏｍａ８Ｄ．Ｒ．，Ｇｒｕｎｋｅｍｅｉｅｒ
．、ｒｉ、柚ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｉ髑ｆｏｒｃｅ璐ｏｒｅｄ
．１９７５．７０：８６５－８７１．Ｇ．Ｌ．．Ｃｏ血ｄｅｎｃｅｉｎｔｅｒ、试ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｓ心ｄａｔａ［Ｊ】．Ｊｏ眦ａｌｏｆｔｈｅＡⅡ谢ｃ衄ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ
【１９】Ｗ｛ｍｇＱ．Ｈ．，拙ｇＢ．Ｙ—Ｅｍｐｉｒｉｃａｌｌｉｋｅｈｈｏｏｄｆｏｒｐ砒ｉｃａｕｙｈｅａｒｍｏｄｅｋ谢ｔｈ缸ｅｄｄｅｓｉｇＩｌｓ［Ｊ】．ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓａｎｄＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＬｅｔｔｅｒｓ，１９９９，４１：４２５－４３３．【２０】Ｙ．ｏｕＪ．Ｈ．，ＣｈｅｎＧ．Ｍ—Ｅｓｔｉｌｎａｔｉｏｎｏｆａ跎ｍｉｐ跛ａｍｅｔｒｉｃｖａＤ血ｇ－ｃｏｅ伍ｃｉｅｎｔｐａｒｔｉａｕｙｈｎｅ
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ｓ．Ｌ．，Ｄｉ础Ｐ．Ｊ．．ｓｅｍｉｐａｒ锄ｅｔｒｉｃｍｏｄ出ｏｆ１０ｎ舀ｔｕｄｉｎａｌｄａｔａ诵ｔｈ母
ｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｃＤ４ｃｅｕ珈１ｍｂ
ｅｒｓｉｎ
６９９．
ＨⅣｓｅｒｏｃｏｎ、ｒｅｒｔｅｒｓ【Ｊ】．Ｂｉｏｍｅｔｒｉｃｓ．１９９４，５０：６８９－
【２２】ｚｈｕＬ．ｘ．，ＮｇＫ．ｗ．．ｃｈｅｃｌ【ｉｎｇｔｈｅａｄｅｑｕａｕｃｙｏ
ｆ
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【２５】钱伟民．纵向数据统计模型中的方法【Ｄ】．同济大学，２００３．
㈣⑧硕士学位论炙
ＭＡＳｌ…ＥＲ‟Ｓ。

ｆ”￡ＳｌＳ
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ｆ２７】薛留根，朱力行．纵向数据下部分线性模型的经验似然推断【Ｊ】．中国科学Ａ辑．２００７，３１：３１—４４．
【２８】赵培信．非参数回归模型的模型检验【Ｊ】．河池学院学报．２００８，４：１＿４．
【２９】张日权，王静龙．部分线性回归模型的Ｍ一估计【Ｊ】．应用数学学报，２００５，２８：１５１—１５７．
２１
附录
Ｒ程序
＃程序来源ｈｔｔｐ：／／矶ｍ—ｓｔａｔ．ｓｔａｎｆｏｒｄ．ｅｄｕ／。

ｏＶｅｎ／伽ｌｐｉｒｉｃａｌ／ｅ１．Ｓ＃输入：
＃ｘ
＃眦
＃ｌ姐
＃ｍ强ｉｔ＃ｇｒａｄｔ０１
＃８ｖｄｔ０１数据向量（每个观测值只有一个元素）ｘ的均值向量
任选的Ｌａｇｒ弛ｇｅ乘子的起始值随机选取的迭代最大值
任选的收敛性判定的允许误差
解方程式时的奇异性检验的允许误差
霉ｉｔｅｒｔｒａｃｅ任选的迭代时显示结果的标识嚣输出：
＃１０９ｅｌｒ
＃ｌ锄ｂｄａ
＃ｇｒａｄ＃ｈｅｓ８＃Ｖｔ８
＃ｎｉｔ８经验似然值对数
Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子
对数似然的变化率
对数似然的Ｈｅ８ｓｉ姐值结论中相对观测权重
使用过的迭代次数值
ｅｌｍ＜一ｆ皿ｃｔｉｏｎ（ｘ，眦，１锄，ｍ强ｉｔ＝２５，ｇｒａｄｔ０１＝ｌｅ一７，ｓｖｄｔ０１＝１ｅ一９，ｉｔｅｒｔｒａｃｅ－Ｆ）ｔ
ｘ＜一ａｓ．ｍａｔｒｉｘ（ｘ）
ｎ＜一ｎｒｏｖ（ｘ）
ｐ＜．ｎｃｏｌ（ｘ）
眦＜一ａ８．ｖｅｃｔｏｒ（眦）
ｚ＜ⅧｅａⅡ（ｍｅ盐（ｘ）＿皿ｕ）
ＴＩＮＹ＜一ｓｑｒｔ（．Ｍａｃｈｉｎｅ￥ｄｏｕｂｌｅ．皿ｉｎ）
８ｃａｌｅ＜．ｍｅａｎ（ａｂ８（ｚ）＋ＴＩＮＹ）
ｚ＜一ｚ／ｓｃａｌｅ
ｉｆ（！ｍｉｓｓｉｎｇ（１ａｍ））｛
１ａｍ＜一ａｓ．ｖｅｃｔｏｒ（１ａｍ）
ｌａｍ＜一ｌａｍ奉ｓｃａｌｅ
ｉｆ（１０９ｅｌｒ（ｚ，ｒ印（０，ｐ），１锄）＞０）ｌ锄＜一ｒｅｐ（０，ｐ））
硕士学位论文
｝从Ｓ‟ｊ…Ｅｋ‟：；。

ｌ…ｌ｛ＥＳｌＳ
ｉｆ（ｍｉ８８ｉｎｇ（１姐））
１ａｍ＜一ｒｅｐ（０，ｐ）
ｉｆ（８ｖｄｔ０１＜ＴＩＮＹ）ｓｖｄｔｏｌ＜一ＴＩＮＹ
ｉｆ（ｇｒａｄｔｏｌ＜ＴＩ盯）ｇｒａｄｔ０１＜一ＴＩＮＹ
ｎＶｔｓ＜一ｃ（３…一ｃ（０：３），ｒｅｐ（０，１２））
ｇｖｔ８＜一２…（一ｃ（０：（１ｅＤｇｔｈ（Ｄ：ｖｔｓ）一１）））
ｇＶｔ８＜一（蓟８…２一ｎＶｔｓ…２）…．５
ｇ＿ｔ８［１２：１６】＜一ｇｙｔ８［１２：１６】奉１０…（一ｃ（１：５））
ｎｉｔ８＜一０
ｇｓｉｚｅ＜一ｇｒａｃｔｔｏｌ＋ｌ
（ｎｉｔｓ钿越ｉｔ她ｇｓｉｚｅ＞酽ａｄｔ０１）｛
Ｖｈｉｌ
ｅ
ａｒｇ＜一ｌ＋ｚ弘ｊ：ｌ姐
讥８１＜一龃．Ｖｅｃｔｏｒ（１１０印（ａｒｇ，１／ｎ））
Ｖｔ８２＜一勰．Ｖｅｃｔｏｒ（一ｌｌｏｇｐｐ（ａｒｇ，ｉ／ｎ））＾．５
ｇｒａｄ＜一越．ｍａｔｒｉｘ（一ｚ幸Ｖｔ８１）
ｇｒａｄ＜一ａＢ．Ｖｅｃｔｏｒ（ａｐｐｌｙ（ｇｒａｄ，２，８眦））
ｇｓｉｚｅ＜咂ｅ姐（ａｂ８（ｇｒａｄ））
ｈｅ８ｓ＜一ｚ奉Ｖｔｓ２
８ｖｄｈ＜一ｓｖｄ（ｈｅｓ８）
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㈣⑧硕士学位论文
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㈣⑧硕士学位论文
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致谢
本文是在我的导师左国新教授的悉心指导下完成的，在此向他表示衷心的感谢！
在本科读书阶段就与左老师有过接触，那时就被他严谨的治学态度和正直的人格所感动，考取研究生后，我非常有幸能跟左老师学习统计计算的知识．三年的研究生学习，左老师不仅授予了我丰富的统计知识，提高了我动手做统计研究的能力，还使我学会了如何认真的对待事情，如何去做学问和做人．
同时，我还要感谢数统学院里所有给予我帮助的老师，感谢谢民育老师，他在统计课堂上对我们严格的要求使我可以完成这篇文章；感谢陈应保老师在左老师出国的那段时间对我的照顾；感谢熊瑛和陈燕老师，这三年里，她们给我提供了很多生活上和学习上的帮助；同时还要感谢赵慧老师，李波老师，他们都曾孜孜不倦地教导过我．
另外，我还要感谢与我共处三年的研究生同学们，特别要感谢的是陈望学和张翠同学，他们对本文的完成起了不可替代的作用．
最后，谨向参加论文评审和论文答辩的专家教授们致谢！
陈鑫
２０１２年５月于武昌桂子山。