2018-2019河南财政金融学院第一学期微积分参考答案A

河南财政金融学院2018-2019学年第 1学期《微积分》试卷（A ）

参考答案及评分标准

一、单项选择 (每小题 2 分，共 20 分）

1-5，D,A,B,C,A; 6-10, C,B,D,D,C 。

二、填空（每题 3 分，共 15分）

1、-3,

2、0，

3、

33, 4、2，5、（-1，0]

三、求下列极限（每小题 3 分，共 9 分）

1. 解：原式=x x x x x tan sin sin 10

])sin 1[(lim +→ ……1分 =x x x x x x tan sin lim

sin 100])sin 1[(lim →+→ ……2分(此步没有不扣分) =1e = e ……3分(也可用洛必达法则)

2. 解：原式)

1(1lim 0-⋅--=→x x x e x x e ……1分 2

01lim x x e x x --=→ ……2分 x e x x 21lim 0-=→x x x 2lim 0→=2

1= ……3分(也可不用无穷小替换直接求导)

3. 解：原式x

x x x 1

sin 1lim 2∞→= ……1分 x x

x sin 1lim ∞→= ……2分 = 0 ……3分

四、求参数 （8 分）

解: ∵()f x 在点1=x 处可导，∴ ()f x 在点1=x 处必连续，……1分 ∴)1()(lim )(lim 11f x f x f x x ==+

-→→ ……2分 即：1)1()(lim lim 121==+=+

-→→f b ax x x x ∴ 1=+b a ……3分 又∵()f x 在点1=x 处可导，∴)1()1(+-'='f f ……4分

而：1

)1()(lim )1(1--='-→-x f x f f x 11lim 21--=-→x x x = 2 ……5分 1)1()(lim )1(1--='+→+x f x f f x 1

1lim 1--+=+→x b ax x 1lim 1

--=+→x a ax x a = ……7分 ∴ 1 2-==b a ， ……8分

五、求函数的导数、微分与近似值。(每小题 5 分，共25分)

1、解：原式])sin [(32'+=x x )sin ()sin (3222'++=x x x x ……2分

])(sin sin 21[)sin (322'⋅++=x x x x ……4分 ).2sin 1()sin (322x x x ++= ……5分

2、解：在方程两边同时对自变量x 求导，得

0)'(ln )(=+'y xy 即：0'1'=++y y

xy y ……2分 解得： 1'2

+-=xy y y ……4分

∴ dx xy y dy 1

2

+-= ……5分

3、等式两边取对数得

)1ln(tan ln 2x x y += ……1分

上式两边对x 求导得

,21tan )1ln(sec '222x x

x x x y y +++= ……4分 ∴ ]1tan 2)1ln([sec )1(222tan 2x

x x x x x y x ++++=' ……5分 4、等式两边取对数得

,)4ln(2)1ln(3

1)1ln(ln x x x x y -+--++= ……1分 上式两边对x 求导得

,14

2)1(3111'-+--++=x x x y y ……4分 ∴ .142)1(3111)4(1)1('23⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+--+++-+=x x x e x x x y x ……5分 5、令函数：100)(x x f =，∴100991001

)(x x f =' ……2分

取：002.0 10=∆=x x ； ……3分 则，100002.1=002.0)1()1()002.1(⨯'+≈f f f ……4分 =1+

002.0100

1⨯=1.00002 ……5分 六、证明（共10分） 证明：∵],[21x x 与⊂],[32x x ),(b a ，且函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导函数， ∴)(x f 在],[21x x 与],[32x x 均连续可导， ……1分 又),()()(321x f x f x f ==

∴)(x f 在],[21x x 与],[32x x 均满足罗尔定理条件，由罗尔定理得：

∈∃1ξ),(21x x 使得，0)(1='ξf ；∈∃2ξ),(32x x 使得，0)(2='ξf ……5分 又∵⊂],[21ξξ),(b a ，且=')(1ξf 0)(2='ξf ……6分 ∴)(x f '在],[21ξξ上满足罗尔定理条件，由罗尔定理得：……8分 ),(21ξξξ∈∃，使得，0)(=''ξf ，命题得证。 ……10分

七、应用题（共13分）

解：（1）P Q 4 -=' ∴6P =时的边际需求，

2464)6( -=⨯-='Q

经济意义：当商品价格为6时，价格若再上涨1个单位，商品需求量就会下降24个单位。 ……2分

（2）需求弹性函数为： 2221504p )( )( p

p Q p Q p --='=η 所以：85.1)6( -=η 经济意义：当商品价格为6时，价格若再上涨1%，则需求量将下降1.85%。 ……5分

（3）总收益函数为：R=Q P =150p-23 p

∴26150P R -=',总收益对价格的弹性函数为

2221506150)()(P P P R P P R E Rp

--='= ∴846.013

11)6(-=-=Rp E ，表明当商品价格为6时，价格若再下降1%，则总收益将增加0.846%。所以价格若再下降2%，则总收益将增加1.692%。 ……9分

（4）令26150P R -='=0，解得：P=5（P=-5舍去）

又因为0)5(<''R ，所以P=5为极大值点，也是最大值点