随机运筹学-2

为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金金 额分别为：1000元、100元、10元、1元、1 额分别为：1000元、100元、10元、1元、1元。假 定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑 的比例分别为0.1%、0.5%、1%、10%、88.4%。我 的比例分别为0.1%、0.5%、1%、10%、88.4%。我 们把一次摇奖就看作一次随机试验，其概率空间 为Ω={红，黄，蓝，白，黑}，∮={Ω的一切子 红，黄，蓝，白，黑} 集}，定义在Ω上的一个函数X（ω）， ，定义在Ω上的一个函数X （ω∈Ω）： X（红）=1000， X（黄）=100， X （红）=1000， （黄）=100， （蓝）=10， （白）=X（黑）=1。 （蓝）=10， X （白）=X（黑）=1。
称随机变量X 称随机变量X服从超几何分布。 例8 一个学校的校务委员会由十二名官员选举产 生：其中七名是民主党成员，四名是共和党成员， 另外一名是无党派人士。一个分会由四名成员组 成，用来调查学校的暴力事件。问：假设四名成 员随机选择时，民主党成员的人数为0 员随机选择时，民主党成员的人数为0、1、2、3、 4的概率是多大？ 6、负二项分布（Pascal分布） 、负二项分布（Pascal分布） 定义8 若随机变量X表示重复独立直到事件发生r 定义8 若随机变量X表示重复独立直到事件发生r
种可能值的概率分配，包含了它的全部概率信息。 离散型随机变量X 离散型随机变量X（ω）的概率满足下列两个条件： （1）非负性 pk≧0，k∈N\{0} （2）规一性 ∑pk=1 离散型随机变量X 离散型随机变量X（ω）的概率分布可以用坐标轴
或表格形式来表示。 例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏 信号等，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车 信号等，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车 通过。以X 通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信 号灯的盏数（设各信号灯的工作是相互独立的）， 求X的分布律。 二、几种重要的离散型随机变量的概率分布 二、几种重要的离散型随机变量的概率分布 1、两点分布（0-1分布、Bernoulli分布） 、两点分布（0 分布、Bernoulli分布） 定义3 若随机变量X只取1 定义3 若随机变量X只取1和0两个值，且P（X=1） 两个值，且P X=1）
从参数为（n 从参数为（n，p）的二项分布，又称为n重伯努利 ）的二项分布，又称为n 分布，简记为X 分布，简记为X～B（n，p）。 例3 某人进行射击训练，每次射中的概率为0.02， 某人进行射击训练，每次射中的概率为0.02， 独立射击400次，求至少击中1 独立射击400次，求至少击中1次的概率。 例4 一个完全不懂阿拉伯语的人去瞎懵一个阿拉 伯考试。假设此考试有5个选择题，每题有n 伯考试。假设此考试有5个选择题，每题有n种选 择，其中只有一种答案正确。试求：他居然能答 对三题以上而及格的概率。 定理1 （泊松定理）设λ>0是一个常数，n 定理1 （泊松定理）设λ>0是一个常数，n是任一 正整数，设p 正整数，设pn=λ/n，则对任一固定的非负整数 /n，则对任一固定的非负整数
数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X 数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～Po （λ）。 例5 自1875年至1955年中某63年间，某市夏季 1875年至1955年中某63年间，某市夏季 （5-9月）共发生暴雨180次。每年夏季共有 月）共发生暴雨180次。每年夏季共有 n=31+30+31+31+30=153天。每次 暴雨以1 n=31+30+31+31+30=153天。每次 暴雨以1天计算， 每天发生暴雨的概率则为p=180/（63×153），这 每天发生暴雨的概率则为p=180/（63×153），这 个值很小。但是n=153很大，应用泊松分布，在一 个值很小。但是n=153很大，应用泊松分布，在一 个夏季发生k次暴雨的概率p 个夏季发生k次暴雨的概率pk为多少？ 例6 某电话交换台有3000和用户，在任何时刻各用 某电话交换台有3000和用户，在任何时刻各用 户是否需要通话是相互独立的，且每个用户需要
=p，P（X=0）=1-p（0≦p≦1），则称随机变量X =p， X=0）=1），则称随机变量X 服从参数为p的两点分布，简记为：X~B（ 服从参数为p的两点分布，简记为：X~B（1，p）。 若事件A发生随机变量X ，否则X 若事件A发生随机变量X取1，否则X取0；即任意 A∈∮，X（ω）= IA（ω）=1，ω∈A； X（ω） ∈∮， =1， = IA（ω）=0，ω≮A。则P（A）=P{IA（ω） =0， 。则P }=1=1}=p， P（Ac）=P{IA（ω）=0 }=1-p。 =1}=p， 例2 200件产品，190件是合格的，10件是不合格 200件产品，190件是合格的，10件是不合格 的，现从中任取一件，若规定X=1，若取得合格产 的，现从中任取一件，若规定X=1，若取得合格产
?例2在某学校中随机地抽取一人用对应的?卡片登记他的身高l将这些卡片放在一起若从中随机地取出一张卡片那么l的取值随试验结果的不同而不同因而l取值也是随机的l也是随机变量
随机运筹学
之2 随机变量及其分布
壹、随机变量
一、实例 1、投篮时会出现两种情况：ω1=“投中”， 、投篮时会出现两种情况：ω =“投中”， ω0=“未投中”，则其样本空间为Ω={ω1 ，ω0}。 =“未投中”，则其样本空间为Ω 若用数字1代表投中，用0 若用数字1代表投中，用0代表未投中，这样将试 验结果量化，同时引入了一个变量X 验结果量化，同时引入了一个变量X，就是 X=X（ X=X（ω）=1 ω=ω1 0 ω=ω1 X（ω）随试验结果ω不同而取不同的值。 ）随试验结果ω 例2 在某学校中，随机地抽取一人ω，用对应的 在某学校中，随机地抽取一人ω
贰、离散型随机变量
一、离散型随机变量 定义1 如果随机变量X 定义1 如果随机变量X（ω）所有可能取值是有限 个或可列多个，则称X 个或可列多个，则称X（ω）为离散型随机变量。 定义2 定义2 设离散型随机变量X（ω）所有可能取的值 离散型随机变量X 为xk，k=N\{0}， X（ω）取各个值的概率为 k=N\{0}， {0}，称P{X=x {0}） P{X=xk}=pk，k∈N\{0}，称P{X=xk}=pk（k∈N\{0}） 为离散型随机变量X（ω）的概率分布或分布律。 离散型随机变量X 离散型随机变量X 离散型随机变量X（ω）的概率分布反映了它取各
卡片ω登记他的身高L 卡片ω登记他的身高L（ω），将这些卡片放在一 起，若从中随机地取出一张卡片，那么L 起，若从中随机地取出一张卡片，那么L（ω）的 取值随试验结果ω的不同而不同，因而L 取值随试验结果ω的不同而不同，因而L（ω）取 值也是随机的，L 值也是随机的，L（ω）也是随机变量。 二、随机变量 定义1 定义1 设E是随机试验，样本空间Ω={ω}为有限 是随机试验，样本空间Ω 集或可列集，若对每个样本点ω 集或可列集，若对每个样本点ω∈ Ω，都有一个 实数X 实数X（ω）与其对应，即X（ω）是定义在Ω上 ）与其对应，即X ）是定义在Ω 取值在R 取值在R上的单值实值函数（映射），记作
次的试验，P 次的试验，P{X=k}=Ck-1r-1pr（1-p）k-r，k={r，r+1， ={r，r+1， r+2，r+3， r+2，r+3，…}，0≦p≦1，则称随机变量X服从参 ，则称随机变量X 数为p的负二项分布，记为X NB（ 数为p的负二项分布，记为X～NB（r，p）。 例9 （老虎机模型）假定每次需要花费0.25美元来 （老虎机模型）假定每次需要花费0.25美元来 0.25 玩一次老虎赌博机，每次玩后或零返回，或返回 一枚五分镍币，或返回一枚一角银币，或返回一 枚两角五分的纸币，或返回一美元，其相应的概 率分别为0.5、0.45、0.04、0.009和0.001。假定某玩 率分别为0.5、0.45、0.04、0.009和0.001。假定某玩 家决定当老虎机总共五次出现零返回时停止赌博。 问该玩家将玩刚好12次的概率？ 问该玩家将玩刚好12次的概率？
P{X=k}=（1-p）k-1p，k={0，1，2，3，…， {X=k}=（ ={0， 0≦p≦1，则称随机变量X服从参数为p的几何分布， ，则称随机变量X服从参数为p的几何分布， 记为独立重复试验中，若事件A在一次试验 中出现的概率为p，即P 中出现的概率为p，即P（A）=p。记X为首次发生 =p。记X A的试验次数，则X～G（p）。 的试验次数，则X 5、超几何分布 定义7 若离散型随机变量X取值正整数，N 定义7 若离散型随机变量X取值正整数，N≧M， N≧n，n，M，N∈Z+，且满足P{X=k}=CMkCN-Mn且满足P k/C n，max{0，n-（N-M）}≦k≦min{n，M}，则 max{0， min{n，M}，则 N
定义2 （严格定义）设（Ω 定义2 （严格定义）设（Ω，∮，P）是一概率空 间，X 间，X（ω）是定义在Ω上一个实值函数，如果 ）是定义在Ω 对一切x 对一切x∈R，有{ω：X（ω）≦x}∈ ∮，则称X ，有{ x}∈ ，则称X （ω）为（Ω，∮，P）上的随机变量。 ）为（ 定义3 （事件A 定义3 （事件A的示性函数） 设（Ω，∮，P）为 设（Ω 一概率空间，A 一概率空间，A ∈ ∮，令 IA（ω）=1，ω∈A =1， 0， ω≮A 则称I 为事件A 则称IA为事件A的示性函数。
通话的概率是1/600。设该交换台只有8 通话的概率是1/600。设该交换台只有8条线路供 用户同时使用，试求在某一给定时刻用户打不通 电话的概率。 例7 由一商店过去的销售记录知道，某种商品每 月的销售数可以用参数λ=10的Poisson分布来描 月的销售数可以用参数λ=10的Poisson分布来描 述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在 述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在 月底至少应进某种商品多少件？ 4、几何分布 定义6 若离散型随机变量X 定义6 若离散型随机变量X取值正整数，且满足
X（ω）：Ω→R，称X（ω）为随机变量。 ）：Ω→R，称X 例3 某射手进行射击训练，他每次射中目标的概 率是p 率是p，且各次射击是否击中相互独立。如果射手 只射击了n次，记这n次射击命中目标的次数X 只射击了n次，记这n次射击命中目标的次数X，那 么X就是一个随机变量。如果他开始射击，直到第 一次命中目标后就停止射击，记他首次命中目标 时的射击次数为Y 时的射击次数为Y，也是一个随机变量。 例4 （有奖销售）某商店在年末大甩卖中进行有 奖销售，摇奖时从摇箱中摇出的球的可能颜色
k，有Cnkpk（1-p）n-k=λke-λ/k！ ，有C /k！ 例4 为了保证设备正常工作，需配备适量的维修 工人。现有同类型设备300台独立工作，发生故障 工人。现有同类型设备300台独立工作，发生故障 的概率都是0.01。在通常情况下一台设备的故障可 的概率都是0.01。在通常情况下一台设备的故障可 0.01 由一个人来处理。问至少需要多少人才能保证当 设备发生故障时，不能及时维修的概率小于0.01？ 设备发生故障时，不能及时维修的概率小于0.01？ 3、泊松分布（ Poisson分布） Poisson分布） 定义5 若随机变量X满足P{X=k}=λ 定义5 若随机变量X满足P{X=k}=λke-λ/k！， /k！， k∈N={0，1，2，3，…}，其中λ >0是一个常 N={0， ，其中λ >0是一个常
品；X=0，若取得不合格产品。则X 品；X=0，若取得不合格产品。则X服从参数为 0.95的两点分布。 0.95的两点分布。 2、二项分布 在n重Bernoulli试验中A发生的次数，以X表示事件 Bernoulli试验中A发生的次数，以X A出现的次数，则X是一个随机变量，其可能取值 出现的次数，则X 为0，1，2，…，n。同时，在n次试验中A发生k次 。同时，在n次试验中A发生k 的概率为P X=k） 的概率为P（X=k）=Cnkpk（1-p）n-k（k=0，1， k=0， 2， …，n）。 定义4 若随机变量X满足：P X=k） 定义4 若随机变量X满足：P（X=k）=Cnkpk（1-p） n-k，k=0，1，2， …，n，则称随机变量X服从参 k=0， ，则称随机变量X