【2021中考数学】高分突破：第八单元 统计与概率

第八单元统计与概率
第1课时数据的收集与统计图
第2课时数据的分析
第3课时概率
第1课时数据的收集与统计图
考点1 调查方式
１．对总体每个个体都进行调查的调查方式叫做普查，如考察某班50名学生2018年中考的数学成绩可使用这种方法．
２．当不必要或不可能对某一总体进行全面调查时，我们只要从总体中抽取一部分个体进行调查，然后据调查数据来推断总体情况的调查方式称抽样调查，如考察某批产品的合格率可使用这种方法
【温馨提示】（１）当受到客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查时，往往采用抽样调查．（２）当调查具有重大意义时，应采用全面调查．（３）当调查具有破坏性或者危害性时，应使用抽样调查．（４）抽样调查时应注意：①抽样调查的样本要具有代表性；②抽样调查样本的数目不能太少．
考点2 统计的相关概念
１．总体：与所研究的问题有关的所有对象．
２．个体：总体中的每一个对象．
３．样本：从总体中抽取的一部分个体．
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４．样本容量：样本中个体的数目．
５．简单随机抽样及其样本：在抽样调查时能保证每个个体都有同等的机会被选入样本的抽样方法称为简单随机抽样，所得到的样本称为简单随机样本．
６．频数：统计时，每个对象出现的次数．在频数分布直方图中小长方形的高表示频数．７．频率：每个对象出现的次数与总次数的比值.
８．样本估计总体：利用样本去估计总体是统计中的基本思想，但要注意样本的选取要有足够的代表性．
考点3 统计图表的认识和分析
1.各统计图表的功能
2.统计图相关量的计算方法
（１）计算调查的样本容量：综合观察统计图（表），从中得到各组的频数，或得到某组的频数，或得到某组的频数及该组的频率（百分比），利用样本容量＝各组频数之和
【温馨提示】所有频数之和等于总数，所有频率之和为1，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度.
1
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或
计算即可.
（２）条形统计图：一般涉及补图，也就是求未知组的频数，方法如下： ①未知组频数＝样本容量－已知组频数之和； ②未知组频数＝样本容量×该组所占样本百分比．
（３）扇形统计图：一般涉及求未知组的百分比或其所占圆心角的度数，方法如下： ①未知组百分比＝１－已知组百分比之和；
③若求未知组在扇形统计图中圆心角的度数，利用360°×其所占百分比即可． （４）统计表：一般涉及求频数和频率（百分比），方法同上．
（５）折线统计图：一般涉及补图，根据统计表中未知数的数量（或根据题目条件求出未知组量），描点即可．
（６）计算总体里某组的数量：直接利用样本估计总体思想求解．即总体中某组的数量＝总体数量×样本中该组的百分比（频率）
题型 统计图的认识与分析
例 我省教育厅下发了《在全省中小学幼儿园广泛深入开展节约教育的通知》，通知中要求各学校全面持续开展“光盘行动”．某市教育局督导组为了调查学生对“节约教育”内容的了解程度（程度分为：“Ａ－了解很多”、“Ｂ－了解较多”，“Ｃ－了解较少”，“Ｄ－不了解”），对本市一所中学的学生进行了抽样调查．我们将这次调查的结果绘制了以下两幅统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （１）本次抽样调查了多少名学生？ （２）补全两幅统计图；
（３）若该中学共有1800名学生，请你估计这所中学的所有学生中对“节约教育”内容“了解较多”的有多少名？
某组的频数
样本容量=
该组的频率（百分比）某组的频数②未知组百分比=?100%
样本容量
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【题图分析】（１）由等级Ａ的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生人数；（２）根据总人数减去A 、C 、D 等级的人数求出等级Ｂ的人数，补全条形统计图，由Ｃ的人数除以总人数求出Ｃ的百分比，进而求出Ｄ的百分比，补全扇形统计图即可；（３）由1800乘以
Ｂ的百分比，即可求出对“节约教育”内容“了解较多”的人数．
解：（1）抽样调查的学生人数为36÷30%=120（名）； （2）B 的人数为120×45%=54（名），
C 的百分比为，
D 的百分比为；
补全两幅统计图如图所示：
（3）对“节约教育”内容“了解较多”的有1800×45%=810（名）.
【点评与拓展】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
变式题１ 齐齐哈尔市教育局非常重视学生的身体健康状况，为此在体育考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查（分数为整数，满分100分），根据测试成绩（最低分为53分）分别绘制了如下统计表和统计图．（如图）
100%=20%⨯24120100%=5%⨯6120
（１）被抽查的学生为45人;
（２）请补全频数分布直方图;
（３）若全市参加考试的学生大约有4500人，请估计成绩优秀的学生约有多少人？（80分及80分以上为优秀）
【思路分析】（１）根据图中所列的表，参加测试的总人数为59.5分以上和59.5分以下的和；（２）根据直方图，再根据总人数，即可求出在76.5－84.5分这一分数段内的人数；（３）根据成绩优秀的学生所占的百分比，再乘以4500即可得出全市参加考试的成绩优秀的学生．
解：(１）∵59.5分以上的有42人，
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59.5分以下的３人，
∴这次参加测试的总人数为３+42＝45（人）； （２）∵总人数是45人，
∴在76.5－84.5这一小组内的人数为： 45-３-７-10-８-５＝12（人）； 补全图形如图所示：
（3）根据题意得：
答：全部参加考试的学生中，成绩优秀的学生约2000人.
变式题２ 读书决定一个人的修养和品位，在“文明湖北．美丽宜昌”读书活动中，某学习小组开展综合实践活动，随机调查了该校部分学生的课外阅读情况，绘制了平均每人每天课外阅读时间统计图．
（１）补全扇形统计图中横线上缺失的数据；
（２）被调查学生中，每天课外阅读时间为60分钟左右的有20
人，求被调查的学生
总人数；
（３）请你通过计算估计该校学生平均每人每天课外阅读的时间.
解：（１）没有阅读习惯或基本不阅读的占：
１－10％－30％－55％＝5％；
（２）∵每天课外阅读时间为60分钟左右的有20人，占总数的10％，
∴被调查的总人数有20÷10％＝200人．
（３）该校学生平均每人每天课外阅读的时间为：
60×10％＋40×30％＋20×55％＝６＋12＋11＝29（分）．
∴估计该校学生平均每人每天课外阅读的时间为29分钟．
第２课时数据的分析
考点１数据的代表
１．平均数
【温馨提示】“权”越大，对平均数的影响就越大
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２．中位数：将一组数据按照
从大到小或从小到大的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么位于中间的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么位于中间的两个数的平均数称为这组数据的中位数．
３．众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数的众数.
考点２数据的波动
２．极差：一组数据中最大的数与最小的数的差，叫做这组数据的极差，它反映了一组数据波动或分散的程度.
题型一数据代表的计算
例１某班级第一小组７名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别【温馨提示】平均数的计算用到所有的数据，在现实生活中较为常用，但它受极端值的影响；中位数是唯一的，仅与数据的排列位置有关，常用来描述：“中间位置”或“中等水平”，它不能充分利用所有数据；众数可能有一个，也可能有多个，没有利用数据中所有的信息．
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是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（）Ａ．50元，20元Ｂ．50元，40元
Ｃ．50元，50元Ｄ．55元，50元
【解析】50出现了３次，出现的次数最多，则众数是50；把这组数据从小到大排列为：20，25，30，50，50，50，55，最中间的数是50，则中位数是50.
变式题１某日福建省九地市的最高气温统计如下表：
针对这组数据，下列说法正确的是（）
Ａ．众数是30 Ｂ．极差是１
Ｃ．中位数是31 Ｄ．平均数是28
【解析】∵30出现了３次，出现的次数最多，∴众数是30，∵最大值是32，最小值是28，∴极差是32－28＝４；把这组数据从小到大排列为：28，28，29，30，30，30，31，31，32，最中间的数是30，则中位数是30；平均数是（29＋28×２＋30×３＋31×２＋32）÷９＝29.9．
题型二方差的意义
例２七年级（１）班与（２）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每
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分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（１）班成绩的方差为17.5，（２）班成绩的方差为15，由此可知（）
Ａ．（１）班比（２）班的成绩稳定
Ｂ．（２）班比（１）班的成绩稳定
Ｃ．两个班的成绩一样稳定
Ｄ．无法确定哪班的成绩更稳定
【解析】∵(1)班成绩的方差为17.5,(2)班成绩的方差为15，∴(1)班成绩的方差＞(2)班成绩的方差，∴(2)班比(1)班的成绩稳定．
【点评与拓展】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，
方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
变式题２已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差，乙种棉花的纤维长度的方差则甲、乙两种棉花质量较好的是．
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第３课时 概 率
考点１ 事件的分类
考点２ 概率及其计算
１．概率定义：随机现象中，一个事件发生的可能性大小．事件发生的可能性越大，它的概率越接近１，反之事件发生的可能性越小，它的概率越接近０． ２．简单事件概率的计算
３．用画树状图或列表法求概率的一般步骤 第一步：判断使用列表或画树状图方法：列表法
一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；
第二步：不重不漏地列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相
等；
第三步：确定所有可能出现的结果数ｎ及所求事件Ａ出现的结果ｍ；
第四步：用公式 求事件A 发生的概率
.
()m
P A =
n
４．利用概率判断游戏的公平性
判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
５．频率与概率
在随机现象中，一个随机事件，做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值.
题型一事件的判断
例１下列事件中，不是必然事件的是（A ）
Ａ．面积相等的两个三角形全等
Ｂ．三角形任意两边之和大于第三边
Ｃ．角平分线上的点到角两边的距离相等
Ｄ．三角形内心到三边距离相等
变式题１任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是随机事件．
【解析】任意抛一枚硬币，有“正面朝上”或“反面朝上”两种可能，且是随机的，∴“正【温馨提示】１．频率与概率是两个不同的概念，不可等同；２．只有在大量重复试验的前提下，频率才能视作概率的估计值.
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面朝上”是随机事件．
题型二概率的计算
例２第七届中博会，共设立长沙、株洲、湘潭和张家界４个会展区，聪聪一家有两天时间参观两个会展区：第一天从４个会展区中随机选择一个，第二天从余下３个会展区中再随机选择一个，如果每个会展区被选中的机会均等．
（１）请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；
（２）求聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率；
（３）求张家界会展区被选中的概率．
【思路分析】（１）根据题意列表或画树状图，即可求得所有可能出现的结果；（２）根据（１）可求得聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；（３）根据（１）可求得张家界会展区被选中的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
（２）∵聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的就１种情况，
∴聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率为：
（３）∵张家界会展区被选中的有６种情况，
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∴张家界会展区被选中的概率为：．
意是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
变式题３把大小和形状完全相同的６张卡片分成两组，每组３张，分别标上１、２、３，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．
（１）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；
（２）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
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题型三统计与概率综合题
例３某班数学课代表小华对本班上学期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
（１）频数、频率统计表中a＝8 ，b＝0.08；
（２）补全频数分布直方图；
（３）小华在班上任选一名同学，该同学数学成绩不低于80分的概率是多少？
【思路分析】（１）根据a＝总人数－各分数段的人数和ｂ＝１－各分数段的频率和计算即可得解；（２）根据第二组的频数补全统计图即可；（３）求出后两组的频率之和即可．
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解：（1）a＝50－２－20－16－４＝８，ｂ＝１－0.04－0.16－0.40－0.32＝0.08. (2)补全频数分布
直方图如图所示.
（３）该同学成绩不
低于80分的概率是：
0.32＋0.08＝0.40＝40 ％．
变式题４学校开展综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月11日至5月30日，评委们把同学们上交作品的件数按５天一组分组统计，绘制了频数分布直方图如下，小长方形的高之比为：2:5:2:1．现已知第二组的上交作品件数是20件．
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