平湖市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

平湖市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（
）
A ．（0，0）
B ．（2，4）
C ．（，
）
D ．（，）
2． 若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．π
3． 已知全集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（
）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无穷多个
4． 已知集合，，则（ ）
{2,1,1,2,4}A =--2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈A B = A ．
B ．
C ．
D ．{2,1,1}--{1,1,2}-{1,1}-{2,1}
--【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
5． 已知的终边过点，则等于（ ）()2,37tan 4πθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
A ．
B ．
C ．-5
D ．5
15-156． 的外接圆圆心为，半径为2，为零向量，且，则在方向上
ABC ∆O OA AB AC ++ ||||OA AB =
CA BC 的投影为（ ）
A ．-3
B ．
C ．3
D 7． 以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．2
,2
x R x x ∃∈≤-
B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++<
C ．，函数都不是偶函数
R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+ D ．已知，表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且，，则“”是m n αβm α⊥n β⊂αβ⊥ “”的必要不充分条件
//m n 【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
8． 函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则
()()f x x R Î02[,](1),01
()sin ,12
x x x f x x x ì-££ï=íp <£ïî（ ）1741
()()46f f +=A ． B ． C ． D ．
71691611161316
【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．
9． △的内角，，所对的边分别为，，，已知
，则
ABC A B C a =
b =6
A π
∠=
（ ）111]
B ∠=A ．
B ．
或
C ．
或
D ．
4
π
4
π
34
π
3
π
23
π
3
π
10．过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有（ ）
A ．3条
B ．2条
C ．1条
D ．0条
二、填空题
11．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．12．设满足条件，若有最小值，则的取值范围为
．
,x y ,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩z ax y =-a 13．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．
14．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{
5
2128
lnx x x
f x m x mx x +>=-++≤，，
，，
若有三个零点，则实数m 的取值范围是________．
()()g x f x m =-15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆
的方程为 ．
16．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }
的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n =
，则循环小数0. 的分数形式是 ．
三、解答题
17．已知等差数列
满足：=2，且，成等比数列。

（1） 求数列的通项公式。

（2）记为数列
的前n 项和，是否存在正整数n ，使得
若存在，求n 的最小
值；若不存在，说明理由.
18．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角，，所对的边分别为，已知cos (cos )cos 0C A A B +-=．A B C c b a ,,（1）求角B 的大小；
（2）若，求b 的取值范围．
2=+c a 【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
19．我市某校某数学老师这学期分别用m ，n 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？
（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
下面临界值表仅供参考：
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）
20．证明：f（x）是周期为4的周期函数；
（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．
18．已知函数f（x）=是奇函数．
21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
22．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的焦距为2，且该椭圆经过点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN 与y轴垂直时，求k1k2的值．
平湖市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：y'=2x ，设切点为（a ，a 2）
∴y'=2a ，得切线的斜率为2a ，所以2a=tan45°=1，∴a=，
在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D ．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．　
2． 【答案】B
【解析】解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体，底面圆的半径为1，高为2，
所以该几何体的体积为V 几何体=×π•12×2=．
故选：B ．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．　
3． 【答案】B
【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M ∩N ，又由M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}得﹣1≤x ≤3，即M={x|﹣1≤x ≤3}，
在此范围内的奇数有1和3．
所以集合M ∩N={1，3}共有2个元素，故选B ．　
4． 【答案】C
【解析】当时，，所以，故选C ．{2,1,1,2,4}x ∈--2log ||1{1,1,0}y x =-∈-A B = {1,1}-5． 【答案】B 【
解
析
】
考点：三角恒等变换．6．【答案】B
【解析】
考点：向量的投影．7．【答案】
D
8．【答案】
C
9．【答案】B
【解析】
试题分析：由正弦定理可得
或，故选B.
()
sin0,,
4
B B B
π
π
=∴=∈∴=
3
4
π
考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数.
10．【答案】C
【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l的方程为：，
则．
即2a﹣2b=ab
直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，
即ab=﹣16，
联立，
解得：a=﹣4，b=4．
∴直线l的方程为：，
即x﹣y+4=0，
即这样的直线有且只有一条，
故选：C
【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．　
二、填空题
11．【答案】　[1，）∪（9，25]　．
【解析】解：∵集合，
得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若时，只需满足
，
解得；
若，只需满足
，
解得9＜a ≤25，
当a ＜0时，不符合条件，综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．　
12．【答案】[1,)
+∞【解析】解析：不等式表示的平面区域如图所示，由得，当,
1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩
z ax y =-y ax z =-01
a ≤<时，平移直线可知，既没有最大值，也没有最小值；当时，平移直线可知，在点A 处取得最小
1l z 1a ≥2l z 值；当时，平移直线可知，既没有最大值，也没有最小值；当时，平移直线可知，
10a -<<3l z 1a ≤-4l
．
1a ≥13．【答案】1－1，3]【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈ ≤≤≤＝1－1，3]考点：集合运算【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．14．【答案】714⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
，
【解析】
15．【答案】　（x﹣1）2+（y+1）2=5　．
【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，
∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，
∴a+b=0，①
且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②
又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，
且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，根据垂径定理得：r2﹣d2=，
即r2﹣（）2=③；
由方程①②③组成方程组，解得；
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．
故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．
16．【答案】 ．
【解析】解：0. = + +…+==，故答案为：．
【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．
　三、解答题
17．【答案】见解析。

【解析】（1）设数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2+d ，2+4d 成比数列，故有（2+d ）2=2（2+4d ），化简得d 2﹣4d=0，解得d=0或4，
当d=0时，a n =2，
当d=4时，a n =2+（n ﹣1）•4=4n ﹣2。

（2）当a n =2时，S n =2n ，显然2n ＜60n+800，
此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，
当a n =4n ﹣2时，S n =
=2n 2，令2n 2＞60n+800，即n 2﹣30n ﹣400＞0，解得n ＞40，或n ＜﹣10（舍去），
此时存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，n 的最小值为41，
综上，当a n =2时，不存在满足题意的正整数n ，
当a n =4n ﹣2时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41
18．【答案】（1）；（2）.3B π=
[1,2)【解析】
19．【答案】
【解析】
【专题】综合题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论；
（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K2，从而与临界值比较，即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉
（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==┉┉┉┉┉┉
则随机变量ξ的分布列为
ξ012
P
数学期望Eξ=0×+1×+2×=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉
（Ⅲ）2×2列联表为
甲班乙班合计
优秀31013
不优秀171027
合计202040
┉┉┉┉┉
K2=≈5.584＞5.024
因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．┉┉
【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）．
从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．
（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，
．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，
．
从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意得，2c=2，=1；
解得，a2=4，b2=1；
故椭圆E的方程为+y2=1；
（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，
直线MN与y轴垂直，
则点N的纵坐标为0，
故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾．
当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；
由得，
（+4）y2﹣=0；
解得，y M=；
∴M（，），
同理N（，），
由直线MN与y轴垂直，则=；
∴（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，
∴k2k1=．
【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．　。