2018高考江苏数学试题及答案解析[解析版]

2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学I
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年江苏，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =，则实数a 的值为_______．
【答案】1
【解析】∵集合}2{1A =，，23{},B a a =+．{}1A
B =，∴1a =或231a +=，解得1a =．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年江苏，2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10
【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴()
2
21310z =
-+=．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年江苏，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，
100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18
【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为606
1000100
=
，则应从丙 种型号的产品中抽取6
30018100
⨯=件．
【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，
即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．
（4）【2017年江苏，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为1
16
，则输出y 的值是_______．
【答案】2-
【解析】初始值116
x =，不满足1x ≥，所以41
216
222log 2log 2y =+=-=-．
【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于
基础题．
（5）【2017年江苏，5，5分】若1tan 46πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭．则tan α=_______．
【答案】7
5
【解析】tan tan
tan 114tan 4tan 161tan tan 4
π
απααπαα--⎛⎫-=
== ⎪+⎝
⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年江苏，6，5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相
切。

记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12
V
V 的值是________．
【答案】3
2
【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：3
43
R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ⋅=．则313223423
V R R V ππ==．
【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
（7）【2017年江苏，7，5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，
则x ∈D
的概率是________．
【答案】5
9
【解析】由260x x +-≥得260x x --≤，得23x -≤≤，则2[]3D =-，，则在区间[45]-，上随机取一个数x ，
则x ∈D 的概率()()
325
549
P --=
=--． 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D ，以及利用几何概型的概率公式是
解决本题的关键．
（8）【2017年江苏，8，5分】在平面直角坐标系xoy 中 ，双曲线2
213
x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别
交于点P ，Q ，其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______． 【答案】23
【解析】双曲线2213x y -=的右准线：3
2x =，双曲线渐近线方程为：33y x =，所以33,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
， ()12,0F -．()22,0F ．则四边形12F PF Q 的面积是：1
43232
⨯⨯=．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
（9）【2017年江苏，9，5分】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374
S =，663
4S =，则8a =
________． 【答案】32
【解析】设等比数列{}n a 的公比为1q ≠，∵374
S =，663
4S =，∴
()311714a q q -=-，()6116314a q q -=-， 解得114a =，2q =．则781
2324
a =⨯=．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （10）【2017年江苏，10，5分】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总
存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是________． 【答案】30
【解析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600900
6442240x x x x
⨯+≥⨯⨯⋅=（万元）
． 当且仅当30x =时取等号．
【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（11）【2017年江苏，11，5分】已知函数()31
2x x f x x x e e
=-+-，其中e 是自然数对数的底数，若
()()
2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是________．
【答案】11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】函数()312x x
f x x x e e =-+-
的导数为：()21132220x x
x
x f x x e e e e '=-++≥-+⋅=，可得()f x 在R 上 递增；又()()()3
31220x x x x f x f x x x e e x x e e
--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，
则()()
2120f a f a -+≤，即有()
()()2211f a f a f a ≤--=-，即有221a a ≤-，解得1
12
a -≤≤．
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不
等式的解法，考查运算能力，属于中档题．
（12）【2017年江苏，12，5分】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC ，的模分别为1，1，2，OA 与
OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒。

若OC mOA nOB =+（,m n ∈R ）
，则 m n +=________． 【答案】3
【解析】如图所示，建立直角坐标系．()1,0A ．由OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=．
∴1cos 52
α=
，7
sin 52α=
．∴17,55C ⎛⎫
⎪⎝⎭
．()()23cos 45cos sin 25ααα+︒=-=-．
()()24sin 45sin cos 25ααα+︒=
+=．∴34,55B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．∵OC mOA nOB =+（,m n ∈R ）
， ∴1355m n =-，74055n =+，解得74
n =，5
4m =．则3m n +=． 【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （13）【2017年江苏，13，5分】在平面直角坐标系xOy 中，120A （-，），06B （，）
，点P 在圆2250O x y +=：上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是________． 【答案】52,1⎡⎤-⎣⎦
【解析】根据题意，设()00,P x y ，则有220050x y +=，
()()()()22
00000000000012,,612612620PA PB x y x y x x y y x y x y ⋅=----=+--=+++≤，
化为00126300x y +≤-，即00250x y -+≤，表示直线250x y ++≤以及直线下方的区域，
联立22
000050250
x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解可得05x =-或01x =，由图得：点P 的横坐标0x 的取值范围是52,1⎡⎤-⎣⎦．
【点评】本题考查数量积运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于0x 、0y 的关系式．
（14）【2017年江苏，14，5分】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间)⎡⎣0,1上， ()2,,x x f x x x ⎧∈=⎨∉⎩
D D ，
其中集合*1,n x x n N n ⎧-⎫
==∈⎨⎬⎩⎭
D ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是_______． 【答案】8
【解析】∵在区间)⎡⎣0,1上，()2,,x x f x x x ⎧∈=⎨∉⎩
D
D ，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又()f x 是定义在R
上且周期为1的函数，∴在区间[)1,2上，()()2
1,1,x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∉⎪⎩D
D
，此时()f x 的图象与lg y x =有且只有
一个交点；同理：区间[)2,3上，()f x 的图象与lg y x =有且只有一个交点；区间[)3,4上，()f x 的图象与lg y x =有且只有一个交点；区间[)4,5上，()f x 的图象与lg y x =有且只有一个交点；区间[)5,6上，()f x 的图象与lg y x =有且只有一个交点；区间[)6,7上，()f x 的图象与lg y x =有且只有一个交点；
区间[)7,8上，()f x 的图象与lg y x =有且只有一个交点；区间[)8,9上，()f x 的图象与lg y x =有且只有一个交点；在区间[)9+∞，上，()f x 的图象与lg y x =无交点；故()f x 的图象与lg y x =有8个交点；
即方程()lg 0f x x -=的解的个数是8．
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． （15）【2017年江苏，15，14分】如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥，
平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF AD ⊥． （1）//EF ABC 平面； （2）AD AC ⊥． 解：（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，所以EF AB //．又因为EF ⊄平面
ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF ABC 平面．
（2）因为平面ABD BCD ⊥平面，平面ABD 平面BCD BD =，
BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，
所以BC ⊥平面ABD ．因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥．又AB AD ⊥， BC AB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，
又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥．
【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线
面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题． （16）【2017年江苏，16，14分】已知向量()cos sin x x =a ，
，()
3,3=-b ，[]0,x π∈． （1）若//a b ，求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
解：（1）因为
co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，//a b ，所以3cos 3sin x x -=．若cos 0x =，则sin 0x =， 与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是3
tan 3
x =-．又[]0,x π∈，所以5π6x =．
（2）π
(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6
f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b ．
因为[]0,x π∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π3
1cos()62x -≤+≤．于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x
取到最大值3；当π6
x +=π，即5π
6x =时，()f x 取到最小值23-．
【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题．
（17）【2017年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()122
22x y +=a b a b
>>:0E 的左、
右焦点分别为F 1，2F ，离心率为1
2
，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于
第一象限，过点F 1作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标，
解：（1）设椭圆的半焦距为c ． 因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以1
2
c a =，
228a c =，解得2,1a c ==，于是223b a c =-=，因此椭圆E 的标准方程是22
143x y +=．
（2）解法一：
由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F ．设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>． 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符．
当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为0
01
y x -．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的
斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：
00
1
(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2
00
1(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得
2
00
1x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故22
00143x y +=．由220022
00
114
3x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪
⎩，解得004737,77x y ==； 22
0022
00
114
3x y x y ⎧+=⎪⎨+
=⎪⎩，无解．因此点P 的坐标为4737(,)77． 解法二：
设(),P m n ，由P 在第一象限，则0m >，0n >，
当1m =时，2PF k 不存在，解得：Q 与1F 重合，不满足题意，
当1m ≠时，21PF n k m =
-，11PF n k m =+，由11l PF ⊥，22l PF ⊥，则11l m k n +=-，21
l m k n -=-， 直线1l 的方程()11m y x n +=-+，①直线2l 的方程()1
1m y x n
+=--，②
联立解得：x m =-，则21,m Q m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由Q 在椭圆方程，由对称性可得：
221
m n n -=±，即221m n -=， 或221m n +=，由,P m n （）
，在椭圆方程，22221143m n m n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：22167
97m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，或22221143m n m n ⎧-=⎪⎨+=⎪
⎩，无解， 又P 在第一象限，所以P 的坐标为：4737,77P ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计
算能力，属于中档题．
（18）【2017年江苏，18，16分】如如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器
Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，
求l 没入水中部分的长度；
（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度． 解：（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．
记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为107,40AC AM ==，所以2240(107)30MC =-=，
从而3
sin 4
MAC =
∠，记AM 与水面的焦点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11
1
16sin AP M PQ AC
==∠． ∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．
（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥
平面EFGH ，1O O EG ⊥．同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥．记玻璃棒的另一端落在 1GG 上点N 处．过G 作1GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，11 62E G =，
所以16214
242
KG -==，从而222211 243240GG KG GK =+=+=． 设1,EGG ENG αβ==∠∠，则114
sin sin()cos 25
KGG KGG απ=+==∠∠．
因为2απ<<π，所以3
cos 5
α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=， 解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24
cos 25
β=．
于是42473
sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555
NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠．
记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作22P Q EG ⊥，Q 2为垂足，则22P Q ⊥平面 EFGH ，故2212P Q =，
从而 22
220sin NE P Q EP G
==
∠．∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．
【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
（19）【2017年江苏，19，16分】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足111n k n k n n a a a a ++++⋯+++⋯﹣﹣﹣1n k a ++﹣
2n k n a ka ++=对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．
（1）证明：等差数列{}n a 是“()3P 数列”；
（2）若数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 解：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，
从而，当n ≥4时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =
所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“()P 3数列”． （2）数列{}n a 既是“()P 2数列”，又是“()P 3数列”，因此，
当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③ n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④
将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'． 在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，
在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题． （20）【2017年江苏，20，16分】已知函数()()3210,f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值
点是()f x 的零点。

（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）． （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；
（3）若()f x ，()f x ' 这两个函数的所有极值之和不小于7
2-，求a 的取值范围．
解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得22
2()323()33a a f x x ax b x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23a b -．
因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2
23
9a b a
=+．
因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231
(27a )039a b a
-=-≤，即3a ≥．
3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；
3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x 2x ．
故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >，因此9b a
=+，定义域为(3,)+∞．
（2）由（1
．设23()=9t g t t +，则22223227()=99t g t t t -'-=．
当)t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在)+∞上单调递增．
因为3a >，所以>(g g
．因此2>3b a ． （3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223
x x a +=-，222
12469a b x x -+=．
从而3232121112
22()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++
2222
121122121212(32)(32)()()23333
x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420279a ab ab -=
-+= 记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，
所以213
()=9h a a a
-+，3a >． 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减．因为7
(6)=2
h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．
因此a 的取值范围为(36]，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，
属于难题．
数学Ⅱ
21【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2017年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 为半圆O 的直径，
直线PC 切半圆O 于点C ，AP PC ⊥，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠；
（2）2·AC AP AB =。

解：（1）因为PC 切半圆O 于点C ，所以PCA CBA =∠∠，因为AB 为半圆O 的直径，
所以90ACB =︒∠，因为AP ⊥PC ，所以90APC =︒∠，所以PAC CAB ∠=∠．
（2）由（1）知APC ACB △∽△，故AP AC
AC AB
=，所以2·AC AP AB =． 【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能
力与计算能力，属于中档题．
（21-B ）【2017年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵0110A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1002B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
． （1）求AB ；
（2）若曲线C 1；22
y =182
x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．
解：（1）因为0110A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1002B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以011002100210AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
．
（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，
则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002
x y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．因为00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200
188x y +=， 从而22
188
x y +
=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=． 【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题． （21-C ）【2017年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82
x t t
y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为2
222x s
y s ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）。

设p 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
解：直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C 上，设2(2,22)P s s ，
从而点P 到直线l 的的距离2222
|2428|2(2)4
5
(1)(2)s s s d -+-+=
=
-+-，当2s =时，min 45
5
d =
． 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值45
5
． 【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．
（21-D ）【2017年江苏，21-D 】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知,,,a b c d 为实数，且224a b +=，
2216c d +=，证明8ac bd +≤．
解：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +≤++，因为22224,16,a b c d +=+=所以2()64ac bd +≤，
因此8ac bd +≤． 【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2017年江苏，22，10分】如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，
且2AB AD ==，13AA =，120BAD ∠=︒． （1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值； （2）求二面角1B A D A --的正弦值．
解：在平面ABCD 内，过点A 作AE AD ⊥，交BC 于点E ．因为1AA ⊥平面ABCD ，
所以1AA AE ⊥，1AA AD ⊥．如图，以{}
1,,AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -． 2AB AD ==，13AA =，120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(3,0,0),(0,0,3),(3,1,3)A B D E A C -． （1）11(3,1,3),(3,1,3)A B AC =--=，
则111111(3,1,3)(3,1,3)1
cos ,77
||||
A B AC A B AC A B AC ⋅--⋅=
=
=-．
因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为
17
． （2）平面1A DA 的一个法向量为(3,0,0)AE =．设(,,)x y z =m 为平面1BA D 的一个法向量，
又1(3,1,3),(3,3,0)A B BD =--=-，则10,0,A B BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即330,
330.x y z x y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩
不妨取3x =，则3,2y z ==，所以(3,3,2)=m 为平面1BA D 的一个法向量， 从而(3,0,0)(3,3,2)3cos ,4||||34
AE AE AE ⋅⋅=
==⨯m m m ，设二面角1B A D A --的大小为θ，则3
|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，所以27sin 1cos 4θθ=-=
．因此二面角1B A D A --的正弦值为74
， 【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题． （23）【2017年江苏，23，10分】已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（2,m n N ∈，2n ≥），这些球除颜色外全
部相同。

现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为123m n ⋯⋯+，，，，的抽屉内，其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉（123k m n =⋯⋯+，，，，）．
1 2 3
m n + （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；
（2）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E x 是x 的数学期望，证明
()()()
1n
E x m n n <
+-．
解：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 1
1C C n m n n m n n p m n
-+-+==+． （2）随机变量 X 的概率分布为:
X
1n 11
n + 1
2
n + …
1
k
…
1
m n + P
1
1
C C n n n m n --+ 1
C C n n
n m n
-+ 11
C C n n n m n -++ …
11
C C n k n m n
--+ …
11C C n n m n m n -+-+
随机变量 X 的期望为：1
1
C 111(1)!
()C C (1)!()!n m n
m n
k n n
k n k n
m n
m n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑．
所以1(2)!1
(2)!
()C (1)!()!(1)C (2)!()!
m n
m n
n n k n k n m n
m n
k k E X n k n n n k n ++==++--<
=-----∑∑ 22
2
121(1C C C )(1)C n n n n n m n n
m n
n ----+-+=
++++-122
2
1121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n n
m n
n ------+-+=
++++-
12
22
1(C C C
)(1)C n n n n n m n n m n
n ---+-+=+++-12221(C C )(1)C n n m n m n n m n
n --+-+-+=
=+-11
C (1)C ()(1)n m n n m n n n m n n -+-+==-+- ()()(1)
n
E X m n n <
+-．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算
求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．。