丰富的图形世界新思维初中数学

18.丰富的图形世界
解读课标
20世纪初，伟大的法国建筑家列柯尔伯齐曾说:\ 我想，到目前为止，我们从没有生活在这样的几何时期，周围的一切都是几何学.”\
生活中蕴含着丰富的几何图形，圆的月亮，平的湖面，直的树干，造型奇特的建筑，不
/ \
断移动、反转、放大缩小的电视画面……图形有的是立体的，有的是平面的，立体图形与平面图形之间的联系，从以下方面得以体现：
1.立体图形的展开与折叠；\
2.从各个角度观察立体图形；
3.用平面去截立体图形. \
观察归纳、操作实验、展开想象、推理论证是探索是探索图形世界的基本方法.\
问题解决
例1如图是一个正方体的表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那么
x+y=.
（四川省中考题）史加十E 口
――I * 11可主（正）视图与嬲僻视图
例1图例2图
试一试展开与折叠是两个步骤相反的过程，从折叠还原成正方体入手^
例2如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何
体所用的小立方块的个数是（）//
\ （成都市中考题）
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个/
试一试根据三视图和几何体的关系，分别确定］^几何体的列数和每一列的层数.
例3如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图
（1）请你画出这个几何体的一种左视图；
（2）若组成这个几何体的小正方形的块数为n,请你写出n的所有可能值.
（贵阳课改试验区中考题）
/ 试一试本例可以在脑子”中想象完成也可以用实物摆一摆.从操作实验入手，从俯视图
可推断左视图只能有两列，由主视图分析出俯视图每一列小正方形的块数情况是解本例的关键，而有序思考、分类讨论，则可避免重复与遗漏^ \例4如图是由若干个正方体形状的木块堆成的.平放于桌面上淇中，上面正方体的下底
面四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1.且这
些正方体露在外面的面积和超过8,那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下来，这些正方
体露在外面的面积和的最大值是多少？（提示:所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面
露出的面积和，就是需求的面积.从简单入手，归纳规律）.
（江苏省常州市中考题）
试一试所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积，就是需求的面积.从简单入手，归纳规律.
例5要把一个正方体分割成49个小正方体（小正方体大小可以不等）/ ,画图表示.
\ / （江城国际数学竞赛题）欧拉公式
瑞士数学家欧拉是历史上最多产的数学家，一生发表过800多篇（本）论文、著作.他
28岁时解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，其主要思想是将原问题转化为一笔画问题^法国著名数学家拉普拉斯曾说：读读欧拉，他是我们所有人的导师.”
例6建立模型
十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。

请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题:
四面体长方体正八面体正十二面体
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格:
多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）
四面体44—
长方体8612
正八面体—812
正十二面体201230
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是
（2）一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱，则这个多面体的面数是
（3）某个玻璃金布品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼
接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，
八边形的个数为y个，求x+y的值.
模型应用
如图，有一种足球是由黑白相间的牛皮缝制而成的.黑皮为正五边形，白皮为正六边形，
且边长都相等，求正五边形，正六边形的个数。

/
\ （浙江宁波市中考题改编）
知识技能广场
1.如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是
（山东省青岛市中考题）
5. 一个画家有14个边长为1m 的正方体，他在地面上把它们摆成如下图的形状
，然后他把露
出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为
（）
（山东省烟台市中考题）
A. 19m 2
B. 21m 2
C. 33m 2
D. 34m 2
数学冲浪
则搭成这个几何体的小正方体的
（山东省荷泽市中考题）
左视图
1题 2题
个数是
（湖北省武汉市中考题）
3.如图一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为
（山东省烟台市中考题）
3题
个小立方块。

2.由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示,
何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块， 以搭成一个大正方体， 至少还需要
4.如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，
若在所搭几何体的基础上（不改变原几
4题
6. 一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子
，现从三个方向看，其三种视图如图
所示，则这张桌子上碟子的总数为
（）
7. 一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么该几何 体所需小正方体的个数最少为
^
（河南省中考题）
8. 有砌放在一起的5个同样的正方体木块，其俯视图如图，左视图的可能情况共有（
）
别取3枚这种同样的骰子叠放成如图 A 和B 的两个柱体。

问柱体A 和柱体B 的表面（不含底
11.用同样大小的正方体木块搭建的几何体
，从正面看到的平面图形如图
1所示；从上面看到
（2015年湖南省永州市中考题）
面）点数之和分别是多少？说明你的理由。

（启智杯”数学思维及应用能力竞赛题）
6题
D. 14
7题 10题
种. （第25届希望杯”邀请赛试题）
10.将数字-2、-3、-5、8、9、11书写在每一个骰子的六个表面上
，做成6枚一样的骰子。

分
的平面图形如图2所示
图①图②
（1）如果搭建的几何体由9个小正方体木块构成，试画出左面看这个几何体所得到的所有可能的平面图形（2）这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下，画出从左面看到的所有可能的平面图形.
（创新杯”邀请赛试题）思维方法天地
12.面面相对
如图，若添上一个正方形，使之能折叠成一个正方体，且使相对面上的两个数字之和相等，
则添上的正方形上的数字应为,共有种不同添加的方法。

（《时代学习报》数学文化节试题）13.如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，然后他
请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所
12题13题14.如图『个立体图形的主视图、左视图和俯视图，
为 _______ 立方厘米。

（2015年山东省青岛市中考题）一
图中单位是厘米，则立体图形的体积
/（华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）
搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为
四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为
如图，网格左边画的是一个长方体的三视图
（1）如果要把长方体表面展开平放在桌子上，那么至少需要剪开它的
（2）画图：在图示网格中画出一幅该该长方体的表面展开图，要求展开图的周长尽可能小
（《时代学习报》数学文化节试题）
那么这个平面图的周长最小是多少厘米？最大是多少厘米?
主现图
14题
15.如图若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形, 平放于桌面上，上面正方体的下底
的表面积超过7,则正方体的个数至少
个。

（江苏省常州市中考题）
16.由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面涂上油漆,
油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有 45个单位立方体上任何一面都没有漆,
那么大立方体被涂过油漆的面数是 （
）
（创新杯”邀请赛试题）
17.小明把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的小正方体，其中棱长为1的小正方体
有（
）个.
（浙江省竞赛题）
18. 一展身
手 1,如果塔形露在外面
条棱.
（3）已知网格中每个小正方形的边长为
1, 你所画展开图的周长等于
（江苏省竞赛题）
18题
19. 一个长方体纸盒的长、宽、高分别是
b 、
c （a>b>c ）厘米.如图，将它展开成平面图,
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20.王老师将底面半径为20厘米、高为35厘米的圆柱形容器中的果汁全部倒入如图所示的
杯子中，若杯口直径为20厘米，杯底直径为10厘米，杯高为12厘米，杯身长13厘米，问
果汁可以倒满多少杯？（世界数学团体竞标赛试题）
0 C
20题21题
21. 一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的，P为上底
面ABCD的中心，如果挖去的阴影部分为四棱锥，剩下的部分还包括多少个完整的棱长是1厘米的小正方体？（启智杯”数学思维及应用能力竞赛题）。