2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《全称量词与全称命题》同步练习及答案.docx
北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 第一章 §3 全称量词与存在量词
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§3全称量词与存在量词
探究一
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思维辨析
变式训练1下列命题中,是全称命题的是
,是特称命题
的是
.(填序号)
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角
三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
答案:①②③ ④
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§3全称量词与存在量词
2.有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,
就是“所有的有理数都是实数”.
3.全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对限
定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称命题是
假命题,只需列举出一个x∈M,使得p(x)不成立即可.
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§3全称量词与存在量词
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全称命题与特称命题的真假判断
【例2】 判断下列命题的真假.
(1)任意直线都存在斜率;
(2)存在实数θ,使得sin(π-θ)=-sin θ;
(3)存在等差数列,其前n项和Sn=n2+2n-1;
(4)任意的实数x,sin x+cos x≥-1;
不存在实数 x,使得 sin x-cos x= 3,故④为假命题.
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§3全称量词与存在量词
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全称命题与特称命题的否定
【例3】 写出下列各个命题的否定.
北师版高中数学选修1-1课后习题 第一章 §3 全称量词与存在量词
第一章DIYIZHANG常用逻辑用语
§3全称量词与存在量词
课后篇巩固提升
A.所有的奇函数的图像都关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.空间中不相交的两条直线相互平行
D.存在大于或等于9的实数
A.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(=0时f(使f(=1时,f(=0时,f(x)是偶函数.
A.[4,+∞)
B.[1,4]
C.[e,4]
D.(-∞,1]
],都有tan 的最小值为.
5.若“对任意x∈[0,π
4
0≤x≤π
,可得0≤tan的最小值为1.
4
k>0,方程x2+x-k=0无实根
√2,2√2]
,2x 2-3ax+9≥0对一切x ∈R 恒成立,因此(-3a)2-72≤0,解得-2√2≤a≤2√2.
x ∈R,|x-2|+|x-4|≤3
(1)所有正方形都是矩形;
(2)至少有一个实数x 使x 3+1=0;
(3)存在θ∈R,函数y=sin(2x+θ)为偶函数;
(4)任意x,y ∈R,|x+1|+|y-1|≥0.
10.已知函数f(x)=x 2-4x+a+3,a ∈R.若函数y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求a 的取值范围.
f(x)的图像的对称轴为直线x=2,
所以f(x)在[-1,1]上是减少的,
欲使f(x)在[-1,1]上存在零点,应有{f (1)≤0,f (-1)≥0,
即{a ≤0,8+a ≥0.
所以-8≤a≤0. 故实数a 的取值范围是[-8,0].。
2019-2020学年高中数学1.3全称量词与存在量词练习北师大版选修1-1
10．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1) 存在两个相交平面垂直于同一条直线；
(2) 有些整数只有两个正因数；
(3) 对任意实数
α ，有
sin
2
2
α ＋ cos α ＝ 1；
(4) 存在一条直线，其斜率不存在；
(5) 对所有的实数 a、 b，方程 ax＋ b＝ 0 都有唯一解．
[ 答案 ] (1)(2)(4) 为特称命题 (3)(5) 为全称命题 (2)(3)(4) 真 (1)(5) 假
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是异面直线
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D．存在实数大于等于 3
[ 答案 ] D
[ 解析 ] 分清各命题中含有的量词是全称量词还是存在量词，
其中选项 A，B，C 都是全
称命题．
6．下列命题中是全称命题的是 ( )
A．所有的正方形都是菱形 B．有两个实数 x，使得 x2＋ 3x＋ 2＝0
C．存在两条相交直线平行于同一个平面 D．存在一无理数 x，使得 x2 也是无理数
[ 答案 ] A
[ 解析 ] B， C，D是特称命题．
二、填空题
7．下列命题中真命题为 ________，假命题为 ________．
①末位是 0 的整数， 可以被 2 整除； ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③
[ 答案 ] D
[ 解析 ] 特称命题的否定是全称命题．
2．下列命题中的假命题是 (
)
A．存在实数 α 和 β ，使 cos( α＋ β ) ＝ cos α cos β＋ sin α sin β
B．不存在无穷多个 α 和 β ，使 cos( α ＋β ) ＝ cosα cos β ＋ sin α sin β
高中数学 第一章 1.3.1-1.3.2 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题作业 北师大版选修1-1
1.3.1-1.3.2 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x >2 解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A ．每一个二次函数的图像都开口向上B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( )A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos x D ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos x sin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥ACC ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ， 故AD ⊥EF . 6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________． 答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .因为{x |1≤x ≤3}⊆{x |x 2－2mx －1＞0}＝{x |x ＞x 2或x ＜x 1}，所以方程x 2－2mx －1＝0的两根x 1，x 2都大于3或都小于1.因为x 1x 2＝－1＜0，所以两根都小于1.令y ＝x 2－2mx －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，f （1）＞0， 解得m ＜0.所以m 的取值范围为{m |m ＜0}．法二：因为1≤x ≤3，x 2－2mx －1＞0，所以m ＜x 2－12x ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x . 当x ∈[1，3]时，函数y ＝x －1x是增加的， 所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43，所以m ＜0. [B.能力提升]1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)B ．存在x ∈R ，使f (x )≥f (x 0)C ．对任意x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)D ．对任意x ∈R ，使f (x )≥f (x 0) 解析：选C.由x 0＝－b2a (a >0)及抛物线的相关性质可得选项C 是错误的．2．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：对任意的x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中假命题为( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4解析：选A.由于对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故p 1是假命题； 当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝2sin 2x 2＝|sin x |＝sin x 为真命题． 对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2为假命题，例如x ＝π，y ＝π2，满足sin x ＝cos y ＝0，而x ＋y ＝3π2. 3．命题“对任意x ∈R ，存在m ∈Z ，使m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，所以只需m 2－m ＜34，即－12＜m ＜32.所以当m ＝0或m ＝1时，对任意x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．答案：真4．已知定义在(－∞，3]上的减函数f (x )，使f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对于任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由函数单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意x ∈R 均成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意x ∈R 均成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤（3＋sin x ）min ，a 2－a ≥（sin x ＋cos 2x ＋1）max ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a 2－a ≥94. 解得－2≤a ≤12－102. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12－102 5．若不等式t 2－2at ＋1≥sin x 对一切x ∈[－π，π]及a ∈[－1，1]都成立，求t 的取值范围．解：因为x ∈[－π，π]，所以sin x ∈[－1，1]，于是由题意可得对一切a ∈[－1，1]不等式t 2－2at ＋1≥1恒成立．由t 2－2at ＋1≥1得2t ·a －t 2≤0.令f (a )＝2t ·a －t 2，则f (a )在t ≠0时是关于a 的一次函数，当t ＝0时，显然f (a )≤0成立，当t ≠0时，要使f (a )≤0在a ∈[－1，1]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝2t －t 2≤0，f （－1）＝－2t －t 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ≥2. 故t 的取值范围是t ≤－2或t ＝0或t ≥2.6．(选做题)若x ∈[－2，2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2，2]时，[f (x )]min ≥0即可．①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )在[－2，2]上是增加的，[f (x )]min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a ＞4，所以a 不存在． ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时， [f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0， 解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )在[－2，2]上是减少的，[f (x )]min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，又a ＜－4，所以－7≤a ＜－4.故a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．。
北师大版高中数学选修1-1同步练测：第一章§3全称量词与存在量词(含答案详解).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修1-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）1.下列命题中为真命题的是 ( )A.，B.,是整数C.,D.,2.下列命题中是真命题的是( )A.x∈R,sin x+cos x=B.x∈(0,π),sin x＞cos xC.x∈(－∞,0),＜D.x∈(0,+∞),＞x+13. 下面有关命题的说法正确的是( )A.命题“若－3x+2=0，则x=1”的逆命题为“若x≠1，则－3x+2≠0”B.命题“若－3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x≠1，则－3x+2≠0”C.命题“x∈R,≤0”的否定为“x∈R,＞0”D.命题“x∈R,≤0”的否定为“x∈R,＞0”二、填空题（本题共6小题，每小题7分，共42分）4.已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是________．5.命题“对任何，”的否定是________．6.下列四个命题：；；；.其中的真命题是________．7.下列命题中的假命题是________．①，；②，；③，；④，.8. 下列四个命题：①x∈R,+x+1≥0；②x∈Q,+x－是有理数；③α,β∈R,使sin(α+β)=sin α+sin β；④x,y∈Z,使3x－2y=10.其中真命题的序号是.9.已知对，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．三、解答题（本题共3小题，共40分）10.（本小题满分12分）写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)x∈R，＋x＋1＞0；(2)x∈Q，＋x＋1是有理数；(3)α，β∈R，使cos(α＋β)=cosα＋cosβ. 11.（本小题满分12分）已知两个命题.如果对，与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围.12.（本小题满分16分）已知函数.（1）若,使，求实数的取值范围；（2）设，且在上单调递增，求实数的取值范围．§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修1-1）答题纸得分：_______ 一、选择题题号1 2 3答案二、填空题4.________5._________6._________7._________8._________9._________三、解答题10.解：11.解：12.解：§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修1-1）参考答案一、选择题1.B解析：一般地，要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个验证成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需要举出一个反例即可．要判定一个特称命题为真，只要在限定集合中，能找到一个，使成立即可，否则这一命题就为假．据此易知B是正确的．2.D解析：A选项：sin x+cos x=sin(x+π)＜，故A为假命题；B选项：当x=π时，有sinππ，故B为假命题；由指数函数的性质知，x∈(－∞,0),＞，故C为假命题；D选项：设f(x)=，x+1，由两个函数的图像可知在(0,+∞)内，＞x+1，故D为真命题.3.D解析：A错误，逆命题为“若x=1，则－3x+2=0”；B错误，否命题为“若－3x+2≠0，则x≠1”；C 错误，否定为“x∈R,＞0”.二、填空题4.－解析：已知命题是假命题，则原命题的否定“对任意，使－”是真命题，所以－－，解得－.5.存在，－－解析：全称命题的否定为特称命题，所以命题“对任何，”的否定是“存在，－－”.6.，解析：由图像可得命题是假命题当时,所以命题是真命题由图像可得命题是假命题对，所以命题是真命题7.③解析：当时，，所以①是真命题；当时，，所以②是真命题；当时，，所以③是假命题；④显然是真命题.8.①②③④解析：①②显然正确；③中，若α=π,β=0，则sin(α+β) =1,sin α+sin β=1+0=1，等式成立，所以③正确；④中，当x=4,y=1时，3x－2y=10成立，所以④正确.9.解析：原不等式可化为，要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求的最值问题，.所以，即，等价于，，，或，，解得.三、解答题10.解：(1)的否定是“x∈R，＋x＋1≤0”，假命题.(2)的否定是“x∈Q，＋x＋1不是有理数”，假命题.(3)的否定是“α，β∈R，使cos(α＋β)≠cos α＋cos β”，真命题.11.解：因为－，所以当是真命题时，－.当是真命题，即对，恒成立时,有，解得－.所以当是真命题时，－.又对，与有且仅有一个是真命题，所以与一真一假当为真，为假时，.当为假，为真时，.综上，实数的取值范围是或.12.解：（1）由，使，得，，所以－，解得或.（2）由题设得，对称轴方程为，方程的根的判别式.由于在上单调递增，则有，解得.①当，即时，有，②当，即或时，设方程的根为，，(ⅰ)若，即，则有，解得；，(ⅱ)若，即，则有，解得.，由(ⅰ) (ⅱ)得或.综合①②有或.。
高中数学选修1-1同步练习题库：全称量词和存在量词(填空题：较易)
全称量词和存在量词（填空题：较易）1、命题，使得，则为 .2、命题p：“∃x0∈R，x02﹣1≤0”的否定￢p为____3、命题“若，则或”的否命题是_______,4、命题p：任意两个等边三角形都是相似的．①它的否定是_________________________________________________________；②否命题是_____________________________________________________________．5、命题“∃x∈R，2x2﹣3x+9＜0”的否定是．6、命题：“”的否定为__________．7、命题：“”的否定为__________．8、的否定是________.9、若命题，，则命题：__________．10、命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是_________．11、已知命题，都有，则为 __________．12、给出下列四个命题：①命题“”的否定是“”；②是空间中的三条直线，的充要条件是且；③命题“在中，若，则”的逆命题为假命题；④对任意实数，有，且当时，，则当时，.其中的真命题是______________.（写出所有真命题的编号）13、已知命题p：x > 0，总有(x＋1)>1.则为___________________.14、已知命题：，，命题：，，若“”为假命题，则实数的取值范围为__________．15、若“，”是假命题，则实数的取值范围是__________．16、已知命题，且；命题恒成立，若为假命题，则的取值范围是__________．17、若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________.18、已知p：∃x0∈R，mx＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．19、命题“”为假命题，则实数的取值范围是 .20、已知命题：，则是 .21、已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是．22、命题：“或”的否定是________．23、若“任意”是真命题，则实数的最小值为________.24、用符号“”或“”表示命题：实数的平方大于或等于为_____________.25、若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是．26、命题，使的否定是 .27、若“∀x∈R，（a﹣2）x+1＞0”是真命题，则实数a的取值集合是．28、全称命题“”的否定是．29、已知命题则为．30、已知命题：，则是 _________________________．31、已知命题，命题，若命题是真命题，则实数a的取值范围是__________．32、命题“，”的否定是．33、命题“∃x＞0，x2+x﹣2≥0”的否定是_________34、命题,，命题，其中真命题的是；命题的否定是．35、已知命题：，．命题：，，则，命题是（填真命题或假命题）36、命题“，”的否定是“”．37、命题“”的否定是 .38、命题“”的否定是： .39、“，”的否定是．40、命题“”的否定是．41、已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(q)”是假命题；③命题“(p)∨q”是真命题；④命题“(p)∨(q)”是假命题．其中正确的是________．(填所有正确命题的序号)42、若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．43、已知命题p：“∀x∈[1,2]都有x2≥a”．命题q：“∃x0∈R，使得x02＋2ax0＋2－a＝0成立”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．44、已知p:∀x∈R，cosx＞m;q:∃x∈R，．若p∧q为假，p∨q为真，则实数m的取值范围是45、若命题“，使”的否定是假命题，则实数的取值范围是.参考答案1、2、3、若，则.4、存在两个等边三角形不相似如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似5、∀x∈R，2x2﹣3x+9≥06、7、8、，使9、10、∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0.11、，使得12、①④13、使得14、15、16、17、18、[1，＋∞)19、20、21、22、，且23、124、25、26、27、{2}28、29、30、31、32、33、34、；35、，；真命题．36、，37、38、39、使40、.41、①②③④42、[－8,0]43、(－∞，－2]∪{1}44、－2≤m＜1或m＞245、【解析】1、特称命题的否定为全称命题，依题意可得：.考点：特称命题的否定.2、命题p：“∃x0∈R，x02﹣1≤0”的否定￢p为:,故填.3、根据命题的否定的写法和或且非的应用得到：否命题是只否结论，或变且：若，则。
高二数学北师大版选修1-1同步精练1.3全称量词与存在量词 Word版含答案
．下列命题与其他命题不同的是()．有一个平行四边形是矩形．任何一个平行四边形是矩形．某些平行四边形是矩形．有的平行四边形是矩形．判断下列全称命题的真假，其中真命题为()．所有奇数都是素数．任给∈，＋≥．对每个无理数，是有理数．每个函数都有反函数．判断下列特称命题的真假，其中真命题为()．存在一个∈，使＋＝．过一条直线可以确定唯一的一个平面．存在一个∈＋，使方程＋＋＝有实根．有些奇函数具有反函数．命题“对任意∈，＋≥”的否定是()．对任意∈，＋＜．对任意∈，＋≤．存在∈，＋＜．存在∈，＋≥．命题“存在∈，使≤”的否定是()．不存在∈，使＞．存在∈，使≥．对任意的∈≤．对任意的∈＞．在下列特称命题中，假命题的个数是．①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．．写出下列全称命题的否定．()对任意∈，＋＋＞：.()对任意∈，＋＋是有理数：.．写出下列特称命题的否定．()存在α，β∈，使(α＋β)＝α＋β：；()存在，∈，使－＝：.．已知＞，命题：存在∈，使－＋－＜为真命题，求的取值范围．．写出下列命题的否定形式，并判断其真假．()不论取何实数，方程＋－＝必有实数根；()存在一个实数，使得＋＋≤；()有些质数是奇数；()能被整除的整数，末位是；()对任意角α，都有α＋α＝.参考答案.解析：，，是特称命题，是全称命题．答案：.答案：.解析：当＋＝时，＝，排除选项；过一条直线的平面有无穷多个，排除选项；方程＋＋＝有实根，则Δ＝－≥，解得≤，排除选项.答案：.解析：全称命题的否定是特称命题，否定结论，所以选.答案：.答案：.解析：①为真命题，如π为实数，是无限不循环小数，②③均为真命题．答案：.解析：全称命题的否定是特称命题，即“对任意∈，()成立”的否定是“存在∈，使()不成立”．答案：()存在∈，使＋＋≤()存在∈，使＋＋不是有理数.解析：特称命题的否定是全称命题，即“存在∈，使()成立”的否定是“对任意∈，()不成立”．答案：()对任意α，β∈，有(α＋β)≠α＋β()对任意，∈，有－≠.解：的否定：对任意∈，－＋－≥.因为对任意∈，－＋－的最小值为，所以的否定成立时，＜≤.又因为是真命题，所以的否定是假命题．所以＞，即的取值范围是(，＋∞)．.解：()这一命题可以表述为“对所有的实数，方程＋－＝有实数根”．其否定为“存在实数，使得方程＋－＝没有实数根”．因为当Δ＝＋＜，即＜－时，一元二次方程没有实数根，所以，命题的否定是真命题．()这一命题的否定为“对任意实数，都有＋＋＞”．因为＋＋＝＋＞，所以它为真命题．()这一命题的否定为“所有的质数不是奇数”．很明显，质数就是奇数，所以命题的否定是假命题．()这一命题的否定为“存在一个可以被整除的整数，其末位不是”．我们知道，能被整。
2019高中数学 第一章 1.3.1-1.3.2 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题作业 北师大版选修1-1
1.3.1-1.3.2 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A ．每一个二次函数的图像都开口向上B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( )A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos x D ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos x sin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥ACC ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ， 故AD ⊥EF . 6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________． 答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .因为{x |1≤x ≤3}⊆{x |x 2－2mx －1＞0}＝{x |x ＞x 2或x ＜x 1}，所以方程x 2－2mx －1＝0的两根x 1，x 2都大于3或都小于1.因为x 1x 2＝－1＜0，所以两根都小于1.令y ＝x 2－2mx －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，f （1）＞0， 解得m ＜0.所以m 的取值范围为{m |m ＜0}．法二：因为1≤x ≤3，x 2－2mx －1＞0，所以m ＜x 2－12x ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x . 当x ∈[1，3]时，函数y ＝x －1x是增加的， 所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43，所以m ＜0. [B.能力提升]1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)B ．存在x ∈R ，使f (x )≥f (x 0)C ．对任意x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)D ．对任意x ∈R ，使f (x )≥f (x 0) 解析：选C.由x 0＝－b2a(a >0)及抛物线的相关性质可得选项C 是错误的．2．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：对任意的x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中假命题为( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4解析：选A.由于对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故p 1是假命题； 当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝2sin 2x 2＝|sin x |＝sin x 为真命题． 对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2为假命题，例如x ＝π，y ＝π2，满足sin x ＝cos y ＝0，而x ＋y ＝3π2. 3．命题“对任意x ∈R ，存在m ∈Z ，使m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，所以只需m 2－m ＜34，即－12＜m ＜32.所以当m ＝0或m ＝1时，对任意x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．答案：真4．已知定义在(－∞，3]上的减函数f (x )，使f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对于任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由函数单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意x ∈R 均成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意x ∈R 均成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤（3＋sin x ）min ，a 2－a ≥（sin x ＋cos 2x ＋1）max ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a 2－a ≥94. 解得－2≤a ≤12－102. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12－102 5．若不等式t 2－2at ＋1≥sin x 对一切x ∈[－π，π]及a ∈[－1，1]都成立，求t 的取值范围．解：因为x ∈[－π，π]，所以sin x ∈[－1，1]，于是由题意可得对一切a ∈[－1，1]不等式t 2－2at ＋1≥1恒成立．由t 2－2at ＋1≥1得2t ·a －t 2≤0.令f (a )＝2t ·a －t 2，则f (a )在t ≠0时是关于a 的一次函数，当t ＝0时，显然f (a )≤0成立，当t ≠0时，要使f (a )≤0在a ∈[－1，1]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝2t －t 2≤0，f （－1）＝－2t －t 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ≥2. 故t 的取值范围是t ≤－2或t ＝0或t ≥2.6．(选做题)若x ∈[－2，2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2，2]时，[f (x )]min ≥0即可．①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )在[－2，2]上是增加的，[f (x )]min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a ＞4，所以a 不存在． ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时， [f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0， 解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )在[－2，2]上是减少的，[f (x )]min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，又a ＜－4，所以－7≤a ＜－4.故a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．。
2019届高二数学北师大版选修1-1同步精练：1.3全称量词与存在量词 Word版含答案
1．下列命题与其他命题不同的是( )A ．有一个平行四边形是矩形B ．任何一个平行四边形是矩形C ．某些平行四边形是矩形D ．有的平行四边形是矩形2．判断下列全称命题的真假，其中真命题为( )A ．所有奇数都是素数B ．任给x ∈R ，x 2＋1≥1C ．对每个无理数x ，x 2是有理数D ．每个函数都有反函数3．判断下列特称命题的真假，其中真命题为( )A ．存在一个x ∈Z ，使3x ＋4＝5B ．过一条直线可以确定唯一的一个平面C ．存在一个a ∈N ＋，使方程x 2＋x ＋a ＝0有实根D ．有些奇函数具有反函数4．命题“对任意x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( )A ．对任意x ∈R ，|x |＋x 2＜0B ．对任意x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．存在x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0D ．存在x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥05．命题“存在x ∈R ，使2x ≤0”的否定是( )A ．不存在x ∈R ，使2x ＞0B ．存在x ∈R ，使2x ≥0C ．对任意的x ∈R,2x ≤0D ．对任意的x ∈R,2x ＞06．在下列特称命题中，假命题的个数是__________．①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．7．写出下列全称命题的否定．(1)对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0：__________________________________________________.(2)对任意x ∈Q ，x 2＋x ＋1是有理数：1312__________________________________________.8．写出下列特称命题的否定．(1)存在α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ：______________________________________；(2)存在x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10：_________________________________________.9．已知a ＞0，命题p ：存在x ∈R ，使|x －4|＋|x －3|＜a 为真命题，求a 的取值范围．10．写出下列命题的否定形式，并判断其真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)有些质数是奇数；(4)能被5整除的整数，末位是0；(5)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.参考答案1. 解析：A ，C ，D 是特称命题，B 是全称命题．答案：B2. 答案：B3. 解析：当3x ＋4＝5时，x ＝Z ，排除选项A ；13过一条直线的平面有无穷多个，排除选项B ；方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，则Δ＝1－4a ≥0，解得a ≤，排除选项C.14答案：D4. 解析：全称命题的否定是特称命题，否定结论，所以选C.答案：C5. 答案：D6. 解析：①为真命题，如π为实数，是无限不循环小数，②③均为真命题．答案：07. 解析：全称命题的否定是特称命题，即“对任意x ∈M ，p (x )成立”的否定是“存在x ∈M ，使p (x )不成立”．答案：(1)存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≤0(2)存在x ∈Q ，使x 2＋x ＋1不是有理数13128. 解析：特称命题的否定是全称命题，即“存在x ∈M ，使p (x )成立”的否定是“对任意x ∈M ，p (x )不成立”．答案：(1)对任意α，β∈R ，有sin(α＋β)≠sin α＋sin β(2)对任意x ，y ∈Z ，有3x －2y ≠109. 解：p 的否定：对任意x ∈R ，|x －4|＋|x －3|≥a .因为对任意x ∈R ，|x －4|＋|x －3|的最小值为1，所以p 的否定成立时，0＜a ≤1.又因为p 是真命题，所以p 的否定是假命题．所以a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)．10. 解：(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”．其否定为“存在实数m ，使得方程x 2＋x －m ＝0没有实数根”．因为当Δ＝1＋4m ＜0，即m ＜－时，一元二次方程没有实数根，所以，命题的否定是真命题．14(2)这一命题的否定为“对任意实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0”．因为x 2＋x ＋1＝2＋＞0，所以它为真命题．(x ＋12)34(3)这一命题的否定为“所有的质数不是奇数”．很明显，质数3就是奇数，所以命题的否定是假命题．(4)这一命题的否定为“存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0”．我们知道，25能被5整除，它的末位不是0，所以命题的否定是真命题．(5)这一命题的否定为“存在α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≠1”．因为原命题是真命题，所以命题的否定为假命题．。
北师大版数学高二选修1-1 1.3 全称量词与存在量词 同步测试
§1.3 全称量词与存在量词(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．既是特称命题，又是真命题的是( )A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个x ∈R ，使x 2≤0C ．两个无理数的和是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 解析： 如x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0.答案： B2．“a ∥α，则a 平行于α内任一条直线”是( )A ．真命题B ．全称命题C ．特称命题D ．不含量词的命题 解析： 命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．答案： B3．下列命题的否定为真命题的是( )A ．有理数是实数B ．末位数是0的整数能被2整除C ．存在x 0∈R ，x 02－3＝0D ．任意的x ∈R ，x 2＋2x >0解析： 一个命题和它的否定真假性相反．如当x ＝－1时，x 2＋2x ＝(－1)2＋2×(－1)＝－1<0，所以任意的x ∈R ，x 2＋2x >0是假命题，因此其否定是真命题．答案： D4．(2008年海南)已知存在命题p ：∃x ∈R,2x ＋1≤0，则命题p 的否定是( )A ．∃x ∈R,2x ＋1>0B ．∀x ∈R,2x ＋1>0C ．∃x ∈R,2x ＋1≥0D ．∀x ∈R,2x ＋1≥0解析： “存在x ∈R ，使2x ＋1≤0”成立的否定是：任意x ∈R ，2x ＋1>0.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2010年安徽卷)命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________． 解析： 因为原命题为特殊命题，所以其否定为“对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0”． 答案： 对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠06．给出以下命题：(1)对任意x ∈R ，有x 4＞x 2；(2)存在α∈R ，使sin 3α＝3sin α；(3)存在a ∈R ，对任意x ∈R 都有x 2＋2x ＋a ＜0，其中的假命题是________．解析： (1)它是全称命题，举反例，当x ＝12时，x 4＞x 2不成立，是假命题；(2)它是特称命题，当α＝0时，sin 3α＝3sin α成立，是真命题；(3)令函数y ＝x 2＋2x ＋a ，是二次函数，开口方向向上，不存在实数a ，使x 2＋2x ＋a ＜0成立，是假命题．答案： (1)(3)三、解答题(每小题10分，共20分)7．用符号“任意的”或“存在”表示下列的命题，并判断真假：(1)实数的平方大于或等于0；(2)存在一对实数(x ，y )，使2x －y ＋1<0成立；(3)勾股定理．解析： (1)是全称命题，隐藏了全称量词“所有的”．任意的x ∈R ，x 2≥0.是真命题．(2)存在x ∈R ，y ∈R,2x －y ＋1<0，是真命题，如x ＝0，y ＝2时：2x －y ＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．(3)这是全称命题，所有直角三角形都满足勾股定理．即任意的Rt △ABC ，a ，b 为直角边长，c 为斜边长，a 2＋b 2＝c 2.是真命题．8．写出下列命题的否定：(1)若2x >4，则x >2；(2)若m ≥0，则x 2＋x －m ＝0有实数根；(3)可以被5整除的整数，末位是0；(4)被8整除的数能被4整除；(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．解析： (1)的否定：存在实数x 0，虽然满足2x 0>4，但x 0≤2.(2)的否定：虽然实数m ≥0，但存在一个实数m 0，使x 2＋x －m 0＝0无实数根．(3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(5)的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条边不相等．9．(10分)判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)至少存在一个实数x，使x3＋8＝0.(2)存在x∈Q，x2＝3.(3)任意x∈R，sin x>1.(4)负数的平方是正数．解析：(1)真命题，其否定是：“任意实数x，x3＋8≠0”．(2)假命题，其否定是：“任意x∈Q，x2≠3”．(3)是假命题，命题的否定是：“存在x∈R，sin x≤1”．(4)是真命题，命题的否定是：“存在一个负数的平方不是正数”．。
高中数学选修1-1同步练习题库：全称量词和存在量词(填空题：容易)
全称量词和存在量词（填空题：容易）1、命题的否定是．2、若命题“∃t∈R，t2﹣a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是_____．3、设命题，，则为__________．4、命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是_____________________________________．5、命题“∀x∈R，x2－x＋3>0”的否定是___________________________．6、命题“∃x∈∁R Q，x3∈Q”的否定是________________．7、命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是_____．8、若命题“，使”是真命题，则的取值范围是__________．9、命题是_______命题（选填“真”或“假”）．10、命题“”的否定为__________．11、若命题：，，则命题：__________．12、命题“”的否定是___________．13、对于命题，则的否定是__________．14、命题“”的否定是__________．15、命题“”的否定是__________．16、命题:“,”的否定是__________.17、若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是______．18、已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2x·m＋1＝0”．若命题p为真命题，则实数m的取值范围是______________.19、设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则p为______．20、已知命题：，则是__________.21、命题“，”的否定是__________．22、命题“，”的否定为__________．23、命题“”的否定形式为__________．24、命题：“”的否定是__________．25、命题：“”的否定是__________．26、命题：“”的否定为__________．27、命题“∃x＜3，x2＞9”的否定是_____．28、命题“恒成立”是真命题，则实数的取值范围是．29、命题“恒成立”是假命题，则实数的取值范围是．30、设命题：，，则为___________．31、命题，使得，写出命题的否定______________32、若命题“∃x0∈R，x－2x0＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是________．33、给出命题：①，使；②，使；③，有；④，有．其中的真命题是：___________34、命题“x∈R，x2+x+1≤0”的否定是．35、若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．36、命题“”的否定是．37、命题“”是假命题，则的取值范围为_______．38、命题“”的否定是．39、“”为真命题，则的取值范围是．40、命题, 使得的否定为______________.41、命题“，”的否定是___________．42、（2015秋•福建期末）命题“∃∈R，使得x2+1＞1”的否定为．43、（2015秋•淮南期末）命题“对任意的x∈R，x2﹣3x+1≤0”的否定是．44、命题“”的否定是．45、写出命题“”的否定．46、命题：的否定是．47、写出命题“”的否定：．48、命题“都有”的否定：；49、命题“都有”的否定：；50、命题“对所有实数，都有”的否定是．51、命题“，”的否定是．52、将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是____________．53、命题：“”的否定为________;参考答案1、2、3、，4、∃x∈R，x2－2x＋1<05、∃x∈R，x2－x＋3≤06、∀x∈∁R Q，x3∉Q7、8、9、真10、11、12、13、14、15、16、17、a>3或a<-118、(－∞，－2]19、∃x∈R，x2＋1≤020、21、，22、23、24、25、26、，27、28、29、或30、，31、32、(1，＋∞)33、①④34、∀x∈R，x2+x+1＞035、36、37、.38、＞39、.40、, 都有.41、，．42、∀x∈R，都有x2+1≤1．43、∃x0∈R，使x02﹣3x0+1＞044、45、46、，47、48、使得49、使得50、存在实数，有；51、52、∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)253、【解析】1、试题分析：由全称命题的否定为特称命题可知：的否定为，故答案为.考点：命题的否定.2、命题“”是真命题，．则实数的取值范围是故答案为．3、∵命题，的否定为，．∴命题，的否定为，．综上所述，．4、原命题是全称命题，其否定是存在性命题．答案：∃x∈R，x2－2x＋1<05、存在性命题的否定是全称命题．答案：∀x∈∁R Q，x3∉Q.点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“”是真命题，需要对集合中的每个元素，证明成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个，使成立即可，否则就是假命题.6、因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，p(x)”故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2<0”.7、含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题，命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是.8、由题意得在上恒成立，而当时，，∴。
2020-2021学年北师大版高中数学选修1-1《全称量词与全称命题》同步练习及答案
（新课标）最新北师大版高中数学选修1-1全称量词与全称命题同步练习一,选择题1．设甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，则丁是甲的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．b＝c＝0是抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设有非空集合A、B、C，若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a∈C”，则“a ∈B”是“a∈A”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．x∈R，(1－|x|)(1＋x)是正数的充分必要条件是( ) A．|x|＜1 B．x＜1C．x＜－1 D．x＜1且x≠－1 5．三个实数a、b、c不全为零的充要条件是( ) A．a、b、c都不是零B．a、b、c中至多有一个是零C．a、b、c中只有一个是零D．a、b、c中至少有一个不是零6．下列说法正确的是( )A．x≥3是x＞5的充分而不必要条件B．x≠±1是|x|≠1的充要条件C．若，则p是q的充分条件D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形二,填空题1．用符号“”与“”填空．(1)x＋y＝7________x2－y2－6x＋8y＝7(2)ab＝0________a＝02．ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负的实根的充要条件是________．3．集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的________条件．4．在平面直角坐标系中，点(x2＋5x，1－x2)在第一象限的充要条件是________．三,解答题1．指出下列各组命题中p是q的什么条件？(1)p：m为有理数q：m为实数(2)p：x2－1＝0 q：x－1＝0(3)p：内错角相等q：两直线平行(4)p：四边相等q：四边形为正方形(5)q：a≠0 p：ab≠0(6)p：a、b都不为零q：a、b不都为零2a 0x a |x|2．已知＞，求证：＞的充要条件是＞．a3．关于x 的实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个异号实根的充要条件是什么？为什么？参考答案一,选择题1B(．提示；①甲乙②乙丙③丁丙．由①②③知甲丁⇒⇐⇔⇐⇒⇒// 由③知丁甲，故选．⇒/B2．AC ，故选B ．4．D(提示：解不等式(1－|x|(1＋x)＞0得x ＜1且x ≠－1)5．A6．B二,填空题1(1)(x y 6x 8y =(x y)(x y)6x 8y =7(x y)6x 22．－－＋＋－－＋－－⇒＋8y=x ＋y=7)(2)(ab =0a =0b =0a =0)//⇒⇒⇒或 2a =0a =1(1)a =0x =02)a 0=4．或提示：时－＜；≠时，Δ－124a=0，a=1，此时x=－1＜0．∴a=0或1．3．必要而不充分40x 1 x 5x 01x20x 5x 01x 10x 12．＜＜解：＋＞－＞＜－或＞－＜＜＜＜⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩⇔ 三,解答题1．(1)p 是q 的充分而不必要条件．(2)p 是q 的必要而不充分条件．(3)p 与q 互为充要条件．(4)p 是q 的必要而不充分条件．(5)p 是q 的必要而不充分条件．(6)p 是q 的充分而不必要条件．2．证明：(此题是二次不等式的开方解法)①充分性：∵＞＞∴＞＞·，即＞|x|0 |x|=|x||x||x|x a 22a a a a②必要性：∵＞，＞，∴＜－或＞，当＜－时，x a a 0x x x 2a a ax 0|x|=x |x||x|x x 0|x|=x |x||x|＜，故－，∴－＜－．即＞；当＞时，＞，故，∴＞，总之有＞a a a a a3．解：关于x 的实系数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0有两个异号实根的充要条件是ac ＜0．证明：(1)充分性：∵ac ＜0，∴－4ac ＞0，∴Δ=b 2－4ac ＞0，∴设x 1，x 2为原方程的两个不等实根，又由韦达定理得：＜，从而，异号．即：＜是关于x x =a c =ac a0x x ac 012212x 的实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0有两个异号实根的充分条件．(2)必要性；设x 1，x 2是关于x 的实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的两个异号实根，则＜，∴＜．即：＜是关于的实系数一x x =c a0ac 0ac 0x 12 元二次方程ax 2＋bx ＋c=0有两个异号实根的必要条件．综合(1)(2)可得原结论成立。
高中数学北师大版选修1-1单元优选卷：(3)全称量词与存在量词
单元优选卷（3）全称量词与存在量词1、下列命题的否定为假命题的是( )A.R x ∀∈,210x x -+-<B.R x ∀∈,x x >C.x ∀,y Z ∈,2512x y -≠D.0R x ∃∈,200sin sin 10x x ++=2、命题“存在实数 x ,使1x >”的否定是( )A.对任意实数 x ,都有1x >B.不存在实数 x ,使1x ≤C.对任意实数 x ,都有1x ≤D.存在实数 x ,使1x ≤3、设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则() A. :,2p x A x B ⌝∃∈∈B. :,2p x A x B ⌝∃∉∈C. :,2p x A x B ⌝∃∈∉D. :,2p x A x B ⌝∀∉∉4、不等式组1{24x y x y +≥-≤的解集记为D .有下面四个命题:1:(,),22,p x y D x y ∀∈+≥-2:(,),22,p x y D x y ∃∈+≥3:(,),23,p x y D x y ∀∈+≤4:(,),2 1.p x y D x y ∃∈+≤-其中真命题是( )A. 2p ,3pB. 1p ,4pC. 1p ,2pD. 1p ,3p5、设命题2:,10p x R x ∀∈+>,则p ⌝为( )A. 200x R,X 10∃+>B. 200x R,X 10∃+≤C. 200x R,X 10∃+<D. 200x R,X 10∀+≤6、命题“对任意R x ∈,都有20x ≥”,的否定为( )A.对任意R x ∈,都有20x <B.不存在R x ∈,使得20x <C.存在0R x ∈,使得200x ≥D.存在0R x ∈,使得 200x <7、已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤,则( )A. :,sin 1p x R x ⌝∃∈≥B. :,sin 1p x R x ⌝∀∈≥C. :,sin 1p x R x ⌝∃∈>D. :,sin 1p x R x ⌝∀∈>8、已知0a >,函数()2f x ax bx c =++.若0x 满足关于x 的方程20ax b +=,则下列选项的命题中为假命题的是( )A. ()()0x f x f x ∃∈≤R ,B. ()()0x f x f x ∃∈≥R ,C. ()()0,x R f x f x ∀∈≤D. ()()0x f x f x ∀∈≥R ,9、对命题p 的否定说法错误的是( )A. p :能被3整除的整数是奇数; p ⌝:存在一个能被3整除的整数不是奇数B. p :每一个四边形的四个顶点共圆; p ⌝:存在一个四边形的四个顶点不共圆C. p :有的三角形为正三角形; p ⌝:所有的三角形不都是正三角形D. p :0x R ∃∈,200220x x ++≤;p ⌝:x R ∀∈,2220x x ++>10、命题p :0m R ∃∈,使方程2010x m x ++=有实数根,则“p ⌝”形式的命题是( )A. 0m R ∃∈,使得方程2010x m x ++=无实根B.对m R ∀∈,方程210x mx ++=无实根C.对m R ∀∈,方程210x mx ++=有实根D.至多有一个实m ,使得方程210x mx ++=有实根11、下列命题中的真命题是__________.①R x ∀∈,233x +≥;②0R x ∃∈,2033x +≤; ③所有的量词都是全称量词.12、已知命题2:,20p x R x ax a ∃∈++≤.若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是__________.13、下列语句是假命题的是__________.(填序号)①所有的实数x 都能使2x 3x 60-+>成立;②存在一个实数0x ,使不等式200 3?6?0x x -+<成立; ③存在一个实数0x ,使200x 3x 60-+=.14、若21p :0x x 2>--,则p ⌝对应的x 的集合为________. 15、已知命题p :“对,x R m R ∀∈∃∈,使x x 42m 10++=”.若命题p ⌝是假命题,则实数m 的取值范围是________.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：命题的否定为假命题即原命题为真命题,只有A 选项中的命题为真命题,其余均为假命题.2答案及解析：答案：C解析：特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任意”,同时否定结论.3答案及解析：答案：C解析：4答案及解析：答案：C 解析：本题可先画出可行域,然后根据图形求解.作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分). 由x y 1x 2y 4+=⎧⎨-=⎩得交点()2,1A -.目标函数的斜率, 1k 12=->-观察直线1x y +=与直线20x y +=的倾斜程度,可知2u x y =+过点A 时取得最小值0.(x u y 22=-+,u 2表示纵截距) 结合题意知12,p p 正确.5答案及解析：答案：B解析：根据全称命题的否定为特称命题知B 项正确.6答案及解析：答案：D解析：全称命题的否定是特称命题“对任意R x ∈,都有20x ≥”的否定为“存在0R x ∈,都有200x <”,故选D.7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：C解析： 由题知b x02a=-为函数()f x 图像的对称轴方程,所以()0f x 为函数的最小值,即对所有的实数x ,都有()()0f x f x ≥,因此()()0,x R f x f x ∀∈≤是错误的.故选C.9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：B解析：11答案及解析：答案：①②解析：12答案及解析：答案：(0,1)解析：13答案及解析：答案：②③解析：14答案及解析：答案：{|12}x x -≤≤解析：21p :0x 2x x 2>⇔>--或1x <-, ∴p :1x 2⌝-≤≤.15答案及解析：答案：2m ≤-解析：∵p ⌝是假命题,∴p 是真命题,分离参数,得x x 1m 222⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+≤-.由Ruize收集整理。
北师大版高中数学选修1-1全称命题与特称命题的否定同步练习
全称命题与特称命题的否定同步练习一,选择题:1、下列全称命题中真命题的个数是（）① 末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ③正四面体中两侧面的夹角相等A1B2C3D42、下列特称命题中假命题的个数是（）① 有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形 A0B1C2D33、下列特称命题中真命题的个数是（）①0x R,x ≤∈∃②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③是无理数是无理数｝，│｛2x x x x ∈∃ A0B1C2D34、下列全称命题中假命题的个数是（）① 2x+1是整数（x ∈R ）②对所有的x ∈R ，x>3③对任意一个x ∈z ，2x 2+1为奇数 A0B1C2D35、下列命题为特称命题的是（）A 偶函数的图象关于y 轴对称B 正四棱柱都是平行六面体C 不相交的两条直线是平行直线D 存在实数大于等于36、命题“原函数与反函数的图象关于y=x 对称”的否定是（） A 原函数与反函数的图象关于y=-x 对称 B 原函数不与反函数的图象关于y=x 对称C 存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x 对称D 存在原函数与反函数的图象关于y=x 对称 二,填空题:7、命题“03x -x R,x 2>+∈∀”的否定是______________ 8、命题“01x R,x 2<+∈∃”的否定是______________ 9、命题“23x x N,x >∈∀”的否定是______________10、命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ 三,解答题:11、把以下命题改成含有量词的命题：“余弦定理”12、用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题实数的平方大于等于013、写出下列命题的否定：所有自然数的平方是正数14、写出下列命题的否定若2x>4，则x>2答案：1.C2.A3.D4.C5.D6.C 7、03x -x R,x 2≤+∈∃ 8、01x R,x 2≥+∈∀ 9、23x x N,x ≤∈∃10、任意一个三角形都有外接圆11、任意一个三角形的三边和三角，2abc b a cosC 222-+=12、0x R,x 2≥∈∀13、有些自然数的平方不是正数14、存在实数x0，虽然满足2x>4，但x≤2。
2019-2020学年北师大版数学选修1-1新素养同步讲义：第一章 §3 3.1 全称量词与全称命
姓名，年级：时间：§3全称量词与存在量词3．1 全称量词与全称命题3．2 存在量词与特称命题1．全称量词与全称命题(1）全称量词“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内,表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．（2）全称命题含有全称量词的命题，叫作全称命题．在数学中，常有一些含有变量x的语句，如通常用p(x),q(x)，…表示这些含有变量的语句．若变量x的取值范围用A表示，那么同一个全称命题，可以有下列五种不同的表述方法：①所有的x∈A，使p（x）成立；②对一切x∈A，使p（x)成立；③对每一个x∈A，使p(x)成立；④任意一个x∈A，使p(x)成立；⑤若x∈A，则p（x）成立．2．存在量词与特称命题(1)存在量词“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．(2）特称命题含有存在量词的命题，叫作特称命题．类似全称命题，同一个特称命题，可以有下列五种不同的表述方法：①存在x∈A,使p（x)成立；②至少有一个x∈A，使p(x）成立；③对有些x∈A，使p(x)成立；④对某个x∈A，使p（x)成立；⑤有一个x∈A，使p(x)成立．判断正误(正确的打“√"，错误的打“×"）(1）“有些”“某个”“有的"等短语不是存在量词．( ）（2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．（)(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．（）答案：(1）×（2）√（3)×下列命题中全称命题的个数是（)①任意一个自然数都是正整数;②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°．A．0 B．1C．2 D．3答案：C下列命题中假命题的是（）A．对任意的x∈R，2x〉0B．存在x∈R,tan x＝1C．存在x∈R，lg x<1D．对任意的x∈N＋，(x－1）2〉0解析：选D．对于D:当x＝1时，（x－1)2＝0，故D为假命题．命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词（填“全称"或“存在”)．答案：有些存在指出下列命题中,哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)对任意实数x1，x2，若x1＜x2,则tan x1＜tan x2；（2）存在x∈R，使x2＋1＜0；(3)存在T∈R，使|sin（x＋T）｜＝｜sin x|;(4)对任意x∈｛3，5,7｝，3x＋1是偶数．解：(1）命题中含有全称量词“任意”,故为全称命题,又存在x1＝0，x2＝π，x1＜x2但tan 0＝tan π,故命题为假命题．（2)特称命题，又任意x∈R，都有x2＋1＞0,故命题为假命题．（3）特称命题，又存在T＝π，使得|sin(x＋π）|＝|sin x|，故命题为真命题．（4)全称命题，又将3，5,7分别代入3x＋1，得10，16，22都是偶数，故命题为真命题．错误!1．理解全称命题及特称命题时应注意的问题（1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”．(2）有些命题省去了全称量词，但仍是全称命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”．(3)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在"等．2．全称命题与特称命题的区别(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．(2）特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”．全称命题及其真假判断判断下列命题是否为全称命题,并判断它们的真假．(1)对于任意的正数a，都有函数y＝log a x是增函数；（2)对于每一个有理数x，都有错误!x2＋错误!x＋1是有理数；(3)终边相同的角的正弦值相等．［解] (1)(2)（3）都是对变量集合中的所有元素具有的某种性质作出了判断，故它们都是全称命题．当a＝错误!时,（1)不正确，故(1)为假命题；由有理数的运算性质知（2）为真命题;由诱导公式知(3）为真命题．错误!(1)判断全称命题主要根据定义来判断，对于省略了全称量词的命题应根据命题的实际意义来判断．（2）要证明全称命题为真必须证明对任意的x∈M,p(x)成立;要证明全称命题为假,只需找到一个x∈M，p（x）不成立即可．1.判断下列命题是否为全称命题,并判断它们的真假．(1）梯形的对角线相等；（2）过两条平行线有且只有一个平面；(3)对任意实数x1，x2,若x1＜x2，则tan x1＜tan x2．解:（1)此命题省略了“所有的”,完整的表述应为“所有梯形的对角线都相等”，很显然为全称命题且是假命题，如直角梯形的对角线不相等．（2)此命题是“过任意两条平行线有且只有一个平面"的意思，为全称命题．它可由公理“经过不共线三点有且只有一个平面”直接证明，所以它是真命题．(3）此命题是全称命题,存在x1＝0，x2＝π,虽然x1＜x2，但是tan x1＝tan x2，故该命题为假命题．特称命题及其真假判断判断下列命题是否为特称命题,并判断它们的真假．（1)存在一个x∈R，使x2＋x＋1＝0；（2）至少有一个x∈｛x|x是无理数｝，x2是无理数；（3）存在一个四边形有外接圆．[解］(1)(2)(3)都是叙述某集合至少存在一个元素具有某种性质，它们都是特称命题．其中（1）是假命题，因为对任意的x∈R，x2＋x＋1＝错误!错误!＋错误!≠0；（2)是真命题,当x＝错误!时，x2＝(错误!)2＝2错误!是无理数；(3）是真命题，一个四边形对角互补时，它有外接圆,否则它就没有外接圆．错误!（1)判断特称命题主要是利用定义，关键看命题是不是对某集合内的一个或部分（而不是全部)元素的性质作出判断．（2)要判断特称命题为真命题，只需要在集合M中找到一个元素x,使得p（x）成立即可；要判断特称命题为假命题，必须说明集合M中不存在元素x,使得p(x)成立．2。
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（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1
全称量词与全称命题同步练习
一,选择题
1．设甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，则丁是甲的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．b＝c＝0是抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设有非空集合A、B、C，若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a∈C”，则“a∈B”是“a ∈A”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．x∈R，(1－|x|)(1＋x)是正数的充分必要条件是( ) A．|x|＜1 B．x＜1
C．x＜－1 D．x＜1且x≠－1 5．三个实数a、b、c不全为零的充要条件是( ) A．a、b、c都不是零
B．a、b、c中至多有一个是零
C．a、b、c中只有一个是零
D．a、b、c中至少有一个不是零
6．下列说法正确的是( )
A．x≥3是x＞5的充分而不必要条件
B．x≠±1是|x|≠1的充要条件
C．若，则p是q的充分条件
D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形
二,填空题
1．用符号“”与“”填空．
(1)x＋y＝7________x2－y2－6x＋8y＝7
(2)ab＝0________a＝0
2．ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负的实根的充要条件是________．
3．集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的________条件．4．在平面直角坐标系中，点(x2＋5x，1－x2)在第一象限的充要条件是________．
三,解答题
1．指出下列各组命题中p是q的什么条件？
(1)p：m为有理数q：m为实数
(2)p：x2－1＝0 q：x－1＝0
(3)p：内错角相等q：两直线平行
(4)p：四边相等q：四边形为正方形
(5)q：a≠0 p：ab≠0
(6)p：a、b都不为零q：a、b不都为零
2a 0x a |x|2．已知＞，求证：＞的充要条件是＞．a
3．关于x 的实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个异号实根的充要条件是什么？为什么？
参考答案
一,选择题
1B(．提示；①甲乙②乙丙③丁丙．由①②③知甲丁⇒⇐⇔⇐⇒⇒/
/ 由③知丁甲，故选．⇒/B
2．A
C ，故选B ．
4．D(提示：解不等式(1－|x|(1＋x)＞0得x ＜1且x ≠－1)
5．A
6．B
二,填空题
1(1)(x y 6x 8y =(x y)(x y)6x 8y =7(x y)6x 22．－－＋＋－－＋－－⇒
＋8y=x ＋y=7)
(2)(ab =0a =0b =0a =0)//⇒⇒⇒
或 2a =0a =1(1)a =0x =02)a 0=4．或提示：时－＜；≠时，Δ－12
4a=0，a=1，此时x=－1＜0．∴a=0或1．
3．必要而不充分
40x 1 x 5x 01x20x 5x 01x 10x 12．＜＜解：＋＞－＞＜－或＞－＜＜＜＜⎧⎨⎩
⇔⎧⎨⎩⇔ 三,解答题
1．(1)p 是q 的充分而不必要条件．
(2)p 是q 的必要而不充分条件．
(3)p 与q 互为充要条件．
(4)p 是q 的必要而不充分条件．
(5)p 是q 的必要而不充分条件．
(6)p 是q 的充分而不必要条件．
2．证明：(此题是二次不等式的开方解法)
①充分性：∵＞＞∴＞＞·，即＞|x|0 |x|=|x||x||x|x a 22a a a a
②必要性：∵＞，＞，∴＜－或＞，当＜－时，x a a 0x x x 2a a a
x 0|x|=x |x||x|x x 0|x|=x |x||x|＜，故－，∴－＜－．即＞；当＞时，＞，故，∴＞，总之有＞a a a a a
3．解：关于x 的实系数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0有两个异号实根的充要条件是ac ＜0．证明：(1)充分性：∵ac ＜0，∴－4ac ＞0，∴Δ=b 2－4ac ＞0，∴设x 1，x 2为原方程的两个不等实根，又
由韦达定理得：＜，从而，异号．即：＜是关于x x =a c =ac a
0x x ac 012212
x 的实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0有两个异号实根的充分条件．(2)必要性；设x 1，x 2是关于x 的实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的两
个异号实根，则＜，∴＜．即：＜是关于的实系数一x x =c a
0ac 0ac 0x 12 元二次方程ax 2＋bx ＋c=0有两个异号实根的必要条件．综合(1)(2)可得原结论成立。