2020(2)线性代数检测题答案

1. 3 -， 2 ；
2. (1)2
(1)
n n --， 120 .
二．选择题
1. (A).
三．计算题
1. 解：原式232(1)(5)4(5)(5)(6)(5)1130x x x x x x x x x x =------=--=-+.
天津科技大学线性代数检测题§1.2~1.3参考答案
一．填空题
1. D -；
2. 2或3 ；
3. 20 -；
4. 0 a b ==；
5. 11112222()()a d b c a d b c --.
二．选择题
1. (D).
三．计算题
(1) 解：原式
31324142
1202
1202 4
01170117
1801240033102022200006r r r r r r r r -+=----+----； (2) 解：
11111111111111111
2340
12301230123
113610025900130013141020039190
3
1000
01
=
===. (3) 解：
2424322321
2321
232
102000122(1)(1)43013013301331
010
1
1
01
1
r r ++-=-=-=； (4) 解：将第二、三、四列加到第一列上，得 原式1023410234
113113
10
34101131022210044104120222
111004
10
12
30111
---=
==⨯--=⨯----------10(4)(4)160=⨯-⨯-=； (5) 解：12
1232
324
2
352108216
3821616020
21105
1105
41241213130412617205
224130617
r r
r r r r
r r
r r --------=----+--+---------
1620
(8040)4025
-=-
=--+=-.
(6) 解：
11111111111
12
314013222
22
5=032013201320121212121212
1
---+
性质.
1. 0 ， 0 .
二．选择题
1. (C).
三．计算题
1. 解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有 故1a =或0b =.
2. 解：123
0121001D ==，10230121101D ==，21030022011D ==-，3120
0101001
D ==
故1x =，2y =-，1z =.
天津科技大学线性代数第一章自测题参考答案
一．填空题
1. 02x x ≠≠且；
2. 0；
3. 10-；
4. 5-；
5. 0；
6. 3；
7. 4abcdef .
二．计算题
1.
222213213
513306(2)(6)(1)(2)(6)13200
x x x x x x x x x x x x -=-=+--=-+-++-. 2. (1)
11111111111
10222
81111002211110002
-=
=-----. (2)
123412341234134101130113121421021300331
12
301110004
--===-------. (3) 原式3112
8461642
8
046162
2110102011205
16272025
16027
---------=
=--=-=-----40=.
(4)
3101010010
0110(1)101
1010010a a
a a a a a a a a a a a a
=+=+ 或
221223310010
010110101(1)(1)101010110
1
010
a a a a a a a a a a a a a a
+++--=
-=+拉普拉斯定理. 天津科技大学线性代数检测题§2.1~2.2参考答案
一．填空题
1. 1 1⎛⎫ ⎪⎝⎭；
2. 0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ，1052010⎛⎫ ⎪--⎝⎭，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ；
3. 200 0100
03n
n ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
；
4. 1269 846201015--⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪
-⎝⎭； 5.=AB BA .
二．选择题
1. (C)；
2. (D)；
3. (D)；
4. (B).
三．计算题
1. 解：100223032101414541010⎛⎫
--⎛⎫⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ⎪⎝⎭
.
2. 解：2111130212103⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A ，2
()37f =--A E A A 1011307737012103147--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 四．证明题
证：由2=A A ，2=B B ，知222()+=+++=+++A B A B AB BA A B AB BA . 故2()+=+A B A B 的充要条件是+=AB BA O ，即=-AB BA .
天津科技大学线性代数检测题§2.3参考答案
一．填空题
1. 111432-⎛⎫
⎪⎝⎭
； 2. 8 -.
二．选择题
1. (B)；
2. (D).
三．计算题
1. 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
AB ； (2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A
天津科技大学线性代数检测题§2.4~2.5参考答案
一．填空题
1. 1 2
； 2. 2 ； 3. ()* T
A .
二．选择题
1. (A)；
2. (C)
三．计算题
1. 解：(1)
cos sin 1sin cos α
ααα=--，*
cos sin cos sin sin cos sin cos α
αα
αα
αα
α--⎛⎫⎛⎫
=
⎪
⎪--⎝⎭⎝⎭
， 故 1
cos sin cos sin sin cos sin cos ααα
αα
ααα-⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
.
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.
(2) 0016423110=-，*
001312423314110600--⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪
⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭
⎝⎭，故 111
100131226314233141126263110600100-⎛⎫--
⎪
--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭
.
(3) 1212342541-=--，*
121420342136154132142--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪
⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
， 故 1210121420113134213613222541321421671--⎛⎫
--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--- ⎪
⎝⎭⎝⎭--⎝⎭
.
2. 解：2=A ，1111112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，3=B ，1300120131230-⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪
-⎝⎭
B ，因此11
57153113316---⎛⎫== ⎪-⎝⎭X A CB . （注：应先判断矩阵,A B 的可逆性，再得出11--=X A CB ）
四．证明题
证：由 223(4)(2)5=+-=+-+O A A E A E A E E ，
知 1(4)(2)5⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭
A E E A E ，故4+A E 可逆，且 1
1(4)(2)5-+=--A E A E .
天津科技大学线性代数检测题§2.6参考答案
一．填空题
1. 0 ；
2. D -.
二．选择题
1. (D).
三．计算题
1. 解：(1)()121100121100100210342 010021310021310|54100101465010011671---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A E
100210100210131020136101032200116710011671-⎛⎫
-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪→→---- ⎪
⎪ ⎪-- ⎪
⎝⎭--⎝⎭，故A 可逆，且1
210131.3221671--⎛⎫ ⎪ ⎪=-
- ⎪ ⎪--⎝⎭A (2)()2311000721102151100113 5 01002
6011026011|151100115110010721102---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B E 151100102601173000122⎛⎫
⎪ ⎪
→ ⎪ ⎪⎝⎭
，故B 不可逆.
(3)()1021001021001021001
01000020 010020010|2
11103001005101001055⎛⎫
⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝
⎭C E 321000551
010*********
55⎛
⎫- ⎪
⎪
⎪→ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
，故C 可逆，且1604105010202C --⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A B
100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭
，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .
天津科技大学线性代数检测题§2.7参考答案
一．填空题
1. n E ；
2. 3 .
二．选择题
1. (D)；
2. (A)；
3. (B)；
4. (B).
三．计算题
1. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得1
21121363000242000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
A ，故()1r =A .
2. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得 故()3r =A .
3. 解：2411211212
12150122101212110610105101510c c λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪=→---++-- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u u u u u u u r A 121
0121200393λλλλλ-⎛⎫ ⎪
→+-- ⎪ ⎪--⎝⎭
，从而当3λ≠时，()3r =A ；当3λ=时，()2r =A . 天津科技大学线性代数第二章自测题参考答案
一．填空题
1. 359411⎛⎫
⎪---⎝⎭
； 2. E ； 3. 0或1 .
二．选择题
1. (B)；
2. (D)；
3. (A)；
4. (C).
三．计算题
1. 解：由 135100112010222( )0
2 1 1001110102220010110010
11⎛
⎫---
⎪
⎛⎫
⎪
⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪
⎝⎭行
A E ，
故A 可逆，且 1135222
1
112220
11-⎛⎫--- ⎪
⎪
= ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
A . 2. 由2=+AX A X ，得(2)-=A E X A . 再由
知2-A E 可逆，且1522(2)432223---⎛⎫
⎪
=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
X A E A .
四．证明题
1.证：由1*-=A A A ，故
(1) 1111n n n ---*-====A A A A A A A A ； (2) ()()()()1
1
1211111n n -*
-----***--==⋅=⋅
=A A A A A A A A A A A A A
(2n ≥).
2. 证：“⇒”若()0r =A ，则=A O ，记1
00m ⨯⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭M B ，()100n ⨯=L
C ，则显然=A BC ；
若()1r =A ，则存在可逆矩阵P 、Q 使得()100100001000000m n ⨯⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
L L
L M M M M L PAQ ，或
()11101000--⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
L M A P Q ，记112100m b b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M B P ，()()112100n c c c -==L L
C Q ，则=A BC .
“⇐”由()1r ≤B ，知()()()1r r r =≤≤A BC B .
天津科技大学线性代数检测题§3.1参考答案
一．填空题
1. ()(|) r r <A A b ；
2. ()(|) r r n =<A A b ；
3. () r n =A ；
4. 1-.
二．选择题
1. (C)；
2. (C).
三．计算题
1. 解：对增广矩阵施行初等行变换：
()(|)3r r ==A A b ，故方程组有唯一解：111⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
x .
2. 解：233132104081040810408 (|)0251100251100100011112015110005110r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u u u r u u u u u u u r A b 由()(|)34r r ==<A A b ，故方程组有无穷多解. 由 1423440501
2
5x x x x x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 得1
4
2
3444
4
5 0
1
25x x x
x x x
x ⎧
=-⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩，其中4x 为自由未知量，
所以方程组的通解为4000
1250k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
x ，k ∈R .
3. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得121121120247009001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A
由()2r =A ，故方程组有非零解，由123200x x x +=⎧⎨=⎩知该方程组的通解为：210k -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
x ，k ∈R .
4. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得
由方程组只有零解，故()3r =A ，从而1λ≠，即仅当1λ≠时方程组只有零解.
天津科技大学线性代数检测题§3.2参考答案
一．填空题
1. 1122 n n a a a +++L εεε.
二．选择题
1. (A)；
2. (D).
三．计算题
1. 解：()1231116111
611161037014130141311250231100515---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
αααβ
故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为12323=-+βααα.
2. 解：()1
23
123010
012314010131220011122
50
00T
T T T ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
=→ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭
αααβ行
故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为123=+-βααα.
天津科技大学线性代数检测题§3.3参考答案
一．填空题
1. 有非零解 ；
2. 0；
3. 无关 ；
4. 4 -；
5. 120k k ==.
二．选择题
1. (B)；
2. (C).
三．计算题
解：由12412
43190131280004570
0⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-
⎪ ⎪
=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A ，知()23r =<A ，故向量组123,,ααα线性相关. 四．证明题
1. 证：设11232123323()(2)()k k k +++++++=αααααααα0， 则12112321233()(2)()k k k k k k k k +++++++=ααα0
由向量组123, , ααα线性无关，知12123123 0200k k k k k k k k +=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩，解方程组得1230k k k ===，故向量组123++ααα，
1232++ααα，23+αα线性无关.
2. 证：设1122s s k k k +++=L A αAαAα0，则1122()s s k k k +++=L A ααα0. 由A 为可逆矩阵，知11122s s k k k -+++==L αααA 00. 再由12,,,s L ααα线性无关，知120s k k k ====L ，即向量组12,,,s L A αAαAα线性无关.
天津科技大学线性代数检测题§3.4~3.5参考答案
一．填空题
1. 2或3 ；
2. 1m -；
3. 1n -；
4. 1 .
二．选择题
1. (B).
三．计算题
1. 解：对()1
2
3
4
5T
T T T T =A ααααα进行初等行变换，得
于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123=+ααα，5124=++αααα. 2. 对()1
2
3
4
5=A ααααα进行初等行变换，得
于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 31231
22
=+ααα，512422=--+αααα.
3. 解：对()1
23
4=A αααα进行初等行变换，得
由于向量组线性相关，即()4r <A ，必有2a =.
或由112411241
124
136102430
243
014(2)15106061220028311004620
007
a a a a a a a --------==
==-=------+-+--A 得2a =.
4. 解：()123
412531253101
03113012401205311000100011471000000
00T
T
T T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----
⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
αααα， 34r =<，故向量组线性相关，124, , ααα为一个极大无关组，并且3122=+ααα。

天津科技大学线性代数检测题§3.6参考答案
一．填空题
1. n d -；
2. (), 1,1,,1T
k k =∈R L x ； 3. (), k k =+∈-R x ξξη.
二．选择题
1. (A)；
2. (A).
三．计算题
1. 解：对方程组的系数矩阵进行初等行变换，得
一个基础解系为1212, ,3,1,0,3,0,133T
T
⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ξξ，所求方程组的通解为1122k k =+x ξξ，12,k k ∈R .
2. 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，得
对应齐次线性方程组的一个基础解系为()()12, 1,1,0,02,0,1,0T
T
==-ξξ，所求方程组的一个特解为
()3,0,0,2T
η=-，于是所求所求方程组的通解为1122k k =++x ξξη，12,k k ∈R .
3. 解：()1010410
10410
10410
0170
1113011130111301026110110
11130
01130
011301
3
1
30
13
1
30
000
00
000
0-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------=→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A b 故方程组的通解为()()1,2,1,17,6,3,0T
T
x k =+----，k ∈R .
四．证明题
证：由齐次线性方程组的解的性质知12+αα，122-αα均为方程组的解；又由12,αα是方程组的基础解系，知方程组的解空间的维数为2（即方程组的基础解系中含有两个解向量），故只需证明12+αα，122-αα线性无关. 设112212()(2)k k ++-=αααα0，则121122(2)()k k k k ++-=αα0. 由于12,αα是该方程组的基础解系，故12,αα线性无关，因此121220k k k k +=-=，解之得120k k ==，即12+αα，122-αα线性无关，从而12+αα，122-αα也是该齐次线性方程组的基础解系.
天津科技大学线性代数检测题§3.7参考答案
一．填空题
1. 0；
2. (,) αβ；
3. 1, 0, i j
i j =⎧⎨≠⎩
； 4. () ,(0,0,1) 1,0,0（答案不唯一）； 5. 3 .
二．选择题
1. (D)；
2. (C)；
3. (B).
三．计算题
1. 解：取()110,1,1==βα，()()2122111(,)1111,0,10,1,11,,(,)222⎛⎫
=-
=-=- ⎪⎝⎭
αββαβββ，
()()()3231332122111
(,)(,)1
21121,1,00,1,11,1,11,,3(,)(,)2
3222
⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭αβαββαββββββ， 再将它们单位化，得
)11110,1,1==γββ
，)22212,1,1==-γββ
，)33311,1,1=-γββ，则
123, , γγγ即为所求.
2. 解：只需将12,p p 标准正交化即可. 取11210-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭q p ，2122111222(,)41014(,)55105-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪
=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
p q q p q q q ，
再令1112110-⎛⎫⎪==⎪⎪⎭e q q
，2222145⎛⎫
⎪==⎪⎪
⎭e q q ，则12,e e 即是所求的标准正交组. 3. 解：设11223344k k k k =+++βαααα，
则11(,)k ==
βα
，22(,)k ==βα
，33(,)k ==
βα
，
44(,)k ==βα
12347)-+-βαααα.
天津科技大学线性代数第三章自测题参考答案
一．填空题
1.(0,1,5)--；
2. 相关；
3. 无关；
4. 相关；
5. 2 ；
6. 12c c ≠-≠且.
二．选择题
1. (C)；
2. (C)；
3. (C).
三．计算题
1. 解：对方程组的系数矩阵进行初等行变换，得1221122012210001⎛⎫⎛⎫
=→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
A ，因此基础解系为()()12, 2,1,0,02,0,1,0T
T
==--ξξ.
将其正交化，得：()()()12122111(,)41, (2,4,5,0)2,1,0,02,0,1,02,1,0,0(,)55
T
T T
T ==-=-=-----ξξααξξξξ，
再标准化，得：)1112,1,0,0T =
=-e αα
，2225,0)T ==
-e αα. 2. 解：由 ()123
121110032210010211310012⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
行αααβ，
知123,,ααα线性无关，从而为3R 的一个基，并且123322=-+βααα.
四．证明题
证：设11n r n r k k k --+++=L 0ηξξ，则11()n r n r k k k --+++==L A A00ηξξ，即有k =b 0，由≠b 0知0k =，于是11n r n r k k --++=L 0ξξ. 又由12,,n r -L ξξξ线性无关，知10n r k k -===L ，即12,,,,n r -L ηξξξ线性无关.
天津科技大学线性代数检测题§4.1参考答案
一．填空题
1. 1，2，3 ；
2. 1 ±；
3. 4，1，0 .
二．选择题
1. (C)；
2. (A)(提示：12tr()n λλλ+++=L A ；不可逆阵必有特征值0).
三．计算题
1. 解：201
(1)(1)01010λ
λλλλλ
-==-+---E A ，所以矩阵A 的特征值为121λλ==，31λ=-.
当121λλ==时，解方程()-=E A x 0：101101000000101000--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
E A 行，得基础解系1010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ，
2101⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
p ，所以对应于121λλ==的全部特征向量为1122k k +p p (12,k k 不同时为0).
当31λ=-时，解方程()--=E A x 0：101101020010101000--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
--=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
E A 行，得基础解系3101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ，
所以对应于31λ=-的全部特征向量为333 (0)k k ≠p .
2. 解：2
11
21
(2)0
2043
413
λλλλλλλ+--+-=
=------E A 22(2)(2)(2)(1)λλλλλ=---=-+，
所以矩阵A 的特征值为122λλ==，31λ=-.
当122λλ==时，解方程(2)-=E A x 0：4114112010000411000----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭E A 行，得基础解系1140⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ，
2104⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
p ，所以对应于122λλ==的全部特征向量为1122k k +p p (12,k k 不同时为0).
当31λ=-时，解方程()--=E A x 0：111101030010414000---⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
--=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
E A 行，得基础解系3101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ，所
以对应于31λ=-的全部特征向量为333 (0)k k ≠p .
3. 解：1-A 的特征值为2,4,,2n L ，因而13--A E 的特征值为23,43,,23n ---L 即1,1,,23n --L ，故
1(1)1(23)(23)!!3n n -=-⋅⋅⋅-=---L A E .
天津科技大学线性代数检测题§4.2参考答案
一．填空题
1. ! n ；
2. k E ；
3. 充分 ， 充要 ；
4. 5 ， 6 .
二．选择题
1. (C) ；
2. (D).
三．证明题
1. 证：由-E A 、3-E A 、+E A 均不可逆，知行列式03===--+E A E A E A ，从而A 有三个不同的特征值1、3、1-，因此A 可以对角化.
2. 证：由A 可逆，知 11()()--==BA A A BA A AB A ，即~AB BA .
四．计算题
1. 解：2121
(1)0000λλλλλλ
--==--E A ，特征值为120λλ==，31λ=.
对于120λλ==，解方程组()-=A x 0，即123121000000000x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，得到特征向量()12,1,0T =-p ，
()21,0,1T
=p .
对于31λ=，解方程组()-=E A x 0，即123021001000010x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得到特征向量()31,0,0T =p .
令211100010-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则P 可逆，且1001-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
P AP .
2. 解：3
1
(2)(4)13
λλλλλ-=
=----E A ，特征值为12λ=，24λ=. 对于12λ=，解方程组(2)-=E A x 0，得特征向量111⎛⎫
= ⎪⎝⎭
p ；对于24λ=，解方程组(4)-=E A x 0，
得特征向量211⎛⎫
= ⎪-⎝⎭p .
令1111⎛⎫= ⎪-⎝⎭P ，则12004-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
P AP . 天津科技大学线性代数检测题§4.3参考答案
一．填空题
1. n k -；
2. n ；
3. 0 .
二．选择题
1. (A).
三．计算题
1. 解：21
3
28(2)(4)31
λλλλλλλ--=
=--=+----E A ，特征值为122, 4λλ=-=. 对于12λ=-，解方程组(2)--=E A x 0，即12330330x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得特征向量111-⎛⎫= ⎪⎝⎭
p
，单位化，得111-⎫
⎪⎭
e ； 对于24λ=，解方程组(4)-=E A x 0，即12330330x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得特征向量211⎛⎫= ⎪⎝⎭
p
，单位化，得211⎫
=
⎪⎭e .
令⎛ = ⎝P ，则P 为正交矩阵，且12004--⎛⎫= ⎪⎝⎭
P AP .
2. 解：1
1
(2)11
λλλλλ-=
=---E A ，特征值为12λ=，20λ=. 对于12λ=，解方程组(2)-=E A x 0，得特征向量111-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
p ；对于20λ=，解方程组(4)-=E A x 0，
得特征向量211⎛⎫
= ⎪⎝⎭p . 将12,p p
单位化，得111-⎫=⎪⎭e
，211⎫=⎪⎭
e .
于是令1111-⎫=⎪⎭P ，则P 为正交矩阵，且2000T
⎛⎫= ⎪⎝⎭P AP ，从而200
0k k T
⎛⎫= ⎪⎝
⎭
A P P ，于是
20122012
20111111111202111111002---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A
. 天津科技大学线性代数第四章自测题参考答案
一．填空题
1. 0 ；
2. 24 .
二．选择题
1. (B)；
2. (C).
三．证明题
1. 证：(反证法)假设a b +x y 是A 的特征向量，对应的特征值是λ，于是
()()a b a b a b λλλ==+++A x y x y x y ；
而()12a b a b a b λλ=+=++A Ax Ay x y x y ，从而12a b a b λλλλ+=+x y x y ，即12()()a b λλλλ-+-=x y 0.又由特征向量x 、y 属于不同的特征值，知x 、y 线性无关，从而12()()0a b λλλλ-=-=，得到12λλλ==，矛盾.因此a b +x y 必不是A 的特征向量.
2. 证：(1) 设λ是A 的特征值，则k λ是k A 的特征值；但k =A O 的特征值只有0，即0k λ=，从而0λ=,因此A 的特征值全为0.
(2) 假设A 相似于对角矩阵. 由(1)题知，A 的特征值全为0，因而~A O ，即存在可逆矩阵P ，使得1-=P AP O ，从而1-==A POP O ，矛盾. 因此，A 不能相似于对角矩阵.
四．计算题
1. 解：由2121115312112111a a b b λλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪ ⎪
====+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
---+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A ηη，知121a b λλλ-=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩，从而130a b λ=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.
2. 解：22
04
(6)(2)0
60402
λλλλλλ--=
=-+----E A ，特征值为126λλ==，32λ=-. 对于126λλ==，解方程组(6)-=E A x 0，得特征向量()10,1,0T
=p ，()21,0,1T
=p ，将其标准正交化，得()10,1,0T
=e
，)21,0,1T =
e ；
对于32λ=-，解方程组(2)--=E A x 0，得特征向量()31,0,1T
=-p
，单位化，得)21,0,1T =-e ；
令01
000⎛
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
P ，则P 为正交矩阵，且1662-⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭P AP .。