上海市华东师大二附中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

华二附中高二期中数学试卷
2020.11
一. 填空题1. 已知直线过点，它的一个方向向量为，则直线的点方向式方程为
l (2,3)P (1,5)d = l 2. 若一条直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围是
(1,1)k ∈-3. 若椭圆的焦距是，则 2
2
1y x m +=4m =4. 已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是 (,2)a λλ= (3,2)b λ= a b λ5. 已知三角形的三边所在直线为，，，则三角形的外接圆1x y +=-21x y -=23x y +=方程为
6. 与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有 个
22(2)1x y ++=22(2)1x y -+=7. 在梯形中，∥，、分别是、上的点，若∥，且
ABCD AB DC E F AB CD EF AD ，若，，则可用、表示为 35
AE AD AB BC ==AB a = DC b = EF a b 8. 手表的表面在一个平面上，整点1，2，3，，
12这12个数字等间隔地分布在半径为⋅⋅⋅的圆周上，从整点到整点的向量记作，则 i 1i +1i i t t + 1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=
9. 设实数、满足约束条件，则取值范围是 x y 0,4312x y x x y ≥≥⎧⎨
+≤⎩231x y x +++10. 已知非零向量、不共线，设，定义点集OP OQ 111m OM OP OQ m m =+++ ，若对于任意的，当且不在直线上{|A F =}||||FP FM FQ FM FP FQ ⋅⋅= 3m ≥12,F F A ∈PQ 时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
12||||F F k PQ ≤ k 二. 选择题
11. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为（、不同时为1111:0l a x b y c ++=1a 1b 零），
（、不同时为零），那么“”是“两直线、平2222:0l a x b y c ++=2a 2b 11220a b a b =1l 2l 行”
的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
12. 已知是直线上一点，是外一点，则方程11(,)P x y 1:(,)0l f x y =22(,)Q x y l 表示的直线（ ）
(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +A. 与重合 B. 与交于点 C. 过与平行 D. 过与相交l l P Q l Q l 13. 已知、均为单位向量，且，若，则的取值范a b 0a b ⋅= |4||3|5c a c b -+-= ||c a + 围是（ ）
A.
B. C. D. [3,5][3,4]14. 若在边长为的正三角形的边上有（，）等分点，沿向量1ABC BC n 2n ≥*n ∈N 的方向依次为，记，若给出四
BC 121,,,n P P P -⋅⋅⋅1121n n T AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 个数值：①；②；③；④；则的值可能的共有（ ）294
91101971823233n T A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个三. 解答题15. 设、是两个不共线的非零向量.
a b （1）记，，，那么实数为何值时，、、三点共OA a = OB tb = 1()3
OC a b =+ t A B C 线？（2）若，且与夹角为120°，那么实数为何值时，的值最小？
||||1a b == a b x ||a xb - 16. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点、.
l 221:650C x y x +-+=A B （1）求线段的中点的轨迹的方程；
AB M C （2）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点，若存在，求出k :(4)L y k x =-C k 的取值范围；若不存在，说明理由.
17. 在平面直角坐标系中，定义为两点、1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--11(,)A x y 的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点22(,)B x y P l Q (,)d P Q 到直线的“切比雪夫距离”，记作.
P l (,)d P l （1）求证：对任意三点、、，都有；
A B C (,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥（2）已知点和直线，求；
(3,1)P :210l x y --=(,)d P l （3）定点，动点满足（），请求出点所在的曲线所00(,)C x y (,)P x y (,)d C P r =0r >P 围成图形的面积.
18. 已知椭圆，它的上、下顶点分别为、，左、右焦点分别22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>A B 为、，若四边形为正方形，且面积为2.
1F 2F 12AF BF （1）求椭圆的标准方程；
E （2）设存在斜率不为零且平行的两条直线、，它们与椭圆分别交于点、、1l 2l E C D M 、，且四边形是菱形；
N CDMN 求证：①直线、关于原点对称；②求出该菱形周长的最大值.
1l 2l
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 5 4. 2315
x y --=3[0,(,)44πππ 411(,)(0,(,)333-∞+∞ 5.
6. 7
7.
8. 227320x y x y +-++=21211010EF b a =-
9-9. 10. [3,11]3
4
k ≥二. 选择题
11. B
12. C 13. B 14. A
三. 解答题15.（1）；（2），
12t =12x =-min ||a xb -= 16.（1）；（2）.223
95()(3)
243
x y x -
+=<≤3{}[4k ∈± 17.（1）证明略；（2）；（3）.4(,)3
d P l =24S r =18.（1）；（2
）①证明略；②菱形周长的最大值为22
121x y +=。