三次函数的命题相关思考
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＝
数理化 解题研究
２０１８年第２５期总第４１０期
三 次 函 数 的命 题 相 关 思 考
张秋 鸿
（福 建省龙 岩市 漳平 二 中 ３６４４００）
摘 要 ：三次函数是 高中数学 中重要 的知识 内容 ，是一 个重要基本 的初等 函数 ，通过有 关三次 函数命 题 ，
－．ｊ－￣考 查有 关导数及其应用等相关 内容．本 文就有 关三次 函数命题 的理 解谈几点 思考，供 大家更进 一 步的命
先求三函数的拐点 ，由 Ｙ＝ ＋ ＋ ＋ｄ（ａ≠Ｏ）有
Ｙ ＝３ａｘ。＋２ｂｘ＋
ｃ ，
Ｙ ＝６ａｘ＋２ｂ．令
Ｙ ：０，贝Ⅱ有 ＝ 一
．
所 以有拐点 Ｍ 横坐标 ＝一 ｂ 此 时 有 ＝。（一 ） ，
＋６（一 ） ＋ｃ（一 ）＋ｄ＝ 一 ＋ 一 ｂｃ＋ｄ＝
、 ， 。２ｂ３－９ａｂｃ＋２７ａ２ｄ
—
—
３血 。
２７ｒ上
‘
此 时只须上下平移 即可变为标准型三次函数． 经过 以上分析 ，要解决 三次 函数 问题 ，实际上解 决标 准 型问题 即可．同样 的思 维方法 用在 有关三 次 函数 问题 命题 时有很好 的帮助．一方 面可 以在标 准型上研究 ，然后 推广到一般情 形 ，另 一方 面也可 以命好 题后 放到 标准 型 上 继 续 研 究 ． 不妨假设标准型三 次 函数 的三次项 系数 ａ＞０，则 显 然 有 以下 性 质 ： １．函数为奇函数 ，原点为其对称 中心点 ； ２．当 Ｐ＞ １０时 ，函数在 Ｒ上 为增 函数 ，没有极值 ；
， ａ 有拐点 Ｍ 坐标为 （、 一 Ｊｂ ａ， ３．当ｐ＜０时，分别在 ＝一√ ， ：√ 处取得
２ｂ 一９ａｂｃ＋２７ａ ｄ、
２７ 。 Ｊ 通过 图象平 移 ，使 图象 的 拐 点移 到 原 点 ，即按 向量 平移 ，则三次 函数 Ｙ：似 ＋ｂｘ ＋蹦 ＋ｄ，（。≠０）变形为
），＝ａｘ ＋ ｊ ａ
≠０）．令 ｐ：
，则有 ｙ＝ａｘ ＋ｐｘ
ｊ０
。
（ａ≠０），即 为 标 准 型 三 次 函 数．
另上 面也可这样变形 ：
因为
Ｙ”＝６ａｘ＋２ｂ，令
Ｙ”＝０，则 有
＝ 一 ０ ，
故可令
ｊ ａ
ｂ 所 以 ＝ ，一 ｂ
： ＋
，
，
Ｙ ＝ ＋ ＋ ＋ ｄ ＝ ｎ
极大和极小值，且在（一√ ，√ ）上是减函数，在
ｊ ａ
ｊａ
ｊａ
收 稿 日期 ：２０１８—０３—２５
作者简介 ：张秋 鸿（１９６６．６一），男，福建省漳平人 ，本科 ，中学 高级教师 ，从 事高 中数 学教 学与研 究
一
２～
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数理化 解题研究
２０１８年第 ２５期总 第 ４１０期
（３ａｘ ＋ｐ ｘ＋ａｘ
·
，．·．３僦 ｘ－２ａｘ￣＝０ ． ＝２ 丁ｘ！
（一。。，一√ ）和在（√ ，＋。。）上是增函数．图象大
至 分 别 如 下 ：
ｙ ／ ） ，ｘ３＋ｐ‘
２ ： １．Ｏ０ ｐ：１．０（
／ １
／。 Ｏ １ ２
ｙ
／
ｆｉ ）－－ａ· ＋ｐ·ｘ
２ Ⅱ：１ ０（）／ｐ：一１．ｏｏ
ｌ
一
ｒ — ２
（ ，一 ） ＋６（ ，一 ） ＋ （ ，一 ）＋ｄ：ａ％ｔ３＋（。一
总结 问题 的通法，以期对我们今后的解题有所帮助．
关键 词 ：辅 助 量 ；三 角 函数 ；数 列 ；立 体 几 何
中 图分 类 号 ：Ｇ６３２
文 献 标 识 码 ：Ａ
文 章 编 号 ：１００８—０３３３（２０１８）２５—０００４—０２
一 、 构造辅助 角 。开辟 函数捷径
分 上 述 ｌ口Ｊ题 的 分 于 和 分 母 均 为 ａｓｌｎｘ＋ｂｃｏｓｘ彤
式 ，我们可用辅助 角转化 为 Ａｓｉｎ（￣０９Ｃ＋ ）的形式 ，然后 化
简 ，需注意的是 ：分子 中
ｎ＝ ３， ６ ＝
４３ －
． ．
晡 ＝
．
事 实上 ，对上述 的第一 点有 ：对 三次 函数 Ｙ：似 ＋ｐｘ （ａ≠０），如果 与直线 Ｙ＝ ＋ｂ有 三个交 点 ，则 三个 交点
（Ｐ—ｋ） —ｂ＝０，由 项的 系数 为零 ，根 据韦达 定理容 易 得 至０： １＋ ２＋ ３：０．
把上述推广到一 般情形 有 ：对一 般三 次 函数 Ｙ＝ａｘ ＋ ＋ ＋ｄ（ａ≠０），如果与直线 Ｙ＝ｋｘ＋ｂ有三个交 点 ， 则三个交点 的横 坐标 的平 均值 为 三 次 函数 拐点 的横 坐 标．（如果直线 与曲线相切 ，则切点用 两点 计算 ）可 以把 这 一 性质设计成试 题 ，让 考生猜 想 ，同样 的 ，考 生不 容易 观 察到 ，对数学思维有很 高的要求．
题及教 学提供参考．
关键词 ：高考数 学；函数 ；三次函数
中图分类号 ：Ｇ６３２
文献标 识码 ：Ａ
文章编 号 ：１００８—０３３３（２０１８）２５—０００２—０３
对最一般的三次 函数 Ｙ＝ａｘ ＋ ＋ ＋ｄ（ａ≠０）一 类的 问题 ，从解题 的角度 来看 ，可 以经过平移 将三 次函数 的拐点 （即三次 函数 的对 称 中心 点 ）移 到原点处 ，使 问题 简化 ，从而较为简单地解 决问题．此 时三次 函数 都可化 为 Ｙ＝黜 ＋ｐｘ（ａ＃Ｏ），以下称该 型为标准 型三次 函数．过程 如 下 ：
２００４（１６）．
［责任编辑 ：杨惠 民］
省乐 亭第一 中学 ０６３６００）
摘 要 ：在我们 日常练 习中遇到的复杂题 ，由于条件 的看似不相干导致我们 无从下手 ，此 时我 们可 以依题
意适时地 构建相 关辅助 量，将 问题进行 简化．本 文将详 细讲 解构建辅 助 角、辅助 数列 以及 辅助线 的解题 过程 ，
参考 文献 ：
的 横 坐 标 和 为 零
切时 ，切 点 用
两点计 算．联立 两方程 ，因为 ＋ｐｘ：ｋｘ＋ｂ，即有 ａｘ ＋
［１］王永山．由一道高考题谈三 次函数 复习［Ｊ］．高中
数学教 与学，２０１８（０２）． ［２］杨 炼．话说 三 次 函数 ［Ｊ］．数理 化 学 习：高中版 ，
数理化 解题研究
２０１８年第２５期总第４１０期
三 次 函 数 的命 题 相 关 思 考
张秋 鸿
（福 建省龙 岩市 漳平 二 中 ３６４４００）
摘 要 ：三次函数是 高中数学 中重要 的知识 内容 ，是一 个重要基本 的初等 函数 ，通过有 关三次 函数命 题 ，
－．ｊ－￣考 查有 关导数及其应用等相关 内容．本 文就有 关三次 函数命题 的理 解谈几点 思考，供 大家更进 一 步的命
先求三函数的拐点 ，由 Ｙ＝ ＋ ＋ ＋ｄ（ａ≠Ｏ）有
Ｙ ＝３ａｘ。＋２ｂｘ＋
ｃ ，
Ｙ ＝６ａｘ＋２ｂ．令
Ｙ ：０，贝Ⅱ有 ＝ 一
．
所 以有拐点 Ｍ 横坐标 ＝一 ｂ 此 时 有 ＝。（一 ） ，
＋６（一 ） ＋ｃ（一 ）＋ｄ＝ 一 ＋ 一 ｂｃ＋ｄ＝
、 ， 。２ｂ３－９ａｂｃ＋２７ａ２ｄ
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此 时只须上下平移 即可变为标准型三次函数． 经过 以上分析 ，要解决 三次 函数 问题 ，实际上解 决标 准 型问题 即可．同样 的思 维方法 用在 有关三 次 函数 问题 命题 时有很好 的帮助．一方 面可 以在标 准型上研究 ，然后 推广到一般情 形 ，另 一方 面也可 以命好 题后 放到 标准 型 上 继 续 研 究 ． 不妨假设标准型三 次 函数 的三次项 系数 ａ＞０，则 显 然 有 以下 性 质 ： １．函数为奇函数 ，原点为其对称 中心点 ； ２．当 Ｐ＞ １０时 ，函数在 Ｒ上 为增 函数 ，没有极值 ；
， ａ 有拐点 Ｍ 坐标为 （、 一 Ｊｂ ａ， ３．当ｐ＜０时，分别在 ＝一√ ， ：√ 处取得
２ｂ 一９ａｂｃ＋２７ａ ｄ、
２７ 。 Ｊ 通过 图象平 移 ，使 图象 的 拐 点移 到 原 点 ，即按 向量 平移 ，则三次 函数 Ｙ：似 ＋ｂｘ ＋蹦 ＋ｄ，（。≠０）变形为
），＝ａｘ ＋ ｊ ａ
≠０）．令 ｐ：
，则有 ｙ＝ａｘ ＋ｐｘ
ｊ０
。
（ａ≠０），即 为 标 准 型 三 次 函 数．
另上 面也可这样变形 ：
因为
Ｙ”＝６ａｘ＋２ｂ，令
Ｙ”＝０，则 有
＝ 一 ０ ，
故可令
ｊ ａ
ｂ 所 以 ＝ ，一 ｂ
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极大和极小值，且在（一√ ，√ ）上是减函数，在
ｊ ａ
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收 稿 日期 ：２０１８—０３—２５
作者简介 ：张秋 鸿（１９６６．６一），男，福建省漳平人 ，本科 ，中学 高级教师 ，从 事高 中数 学教 学与研 究
一
２～
＝
数理化 解题研究
２０１８年第 ２５期总 第 ４１０期
（３ａｘ ＋ｐ ｘ＋ａｘ
·
，．·．３僦 ｘ－２ａｘ￣＝０ ． ＝２ 丁ｘ！
（一。。，一√ ）和在（√ ，＋。。）上是增函数．图象大
至 分 别 如 下 ：
ｙ ／ ） ，ｘ３＋ｐ‘
２ ： １．Ｏ０ ｐ：１．０（
／ １
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一
ｒ — ２
（ ，一 ） ＋６（ ，一 ） ＋ （ ，一 ）＋ｄ：ａ％ｔ３＋（。一
总结 问题 的通法，以期对我们今后的解题有所帮助．
关键 词 ：辅 助 量 ；三 角 函数 ；数 列 ；立 体 几 何
中 图分 类 号 ：Ｇ６３２
文 献 标 识 码 ：Ａ
文 章 编 号 ：１００８—０３３３（２０１８）２５—０００４—０２
一 、 构造辅助 角 。开辟 函数捷径
分 上 述 ｌ口Ｊ题 的 分 于 和 分 母 均 为 ａｓｌｎｘ＋ｂｃｏｓｘ彤
式 ，我们可用辅助 角转化 为 Ａｓｉｎ（￣０９Ｃ＋ ）的形式 ，然后 化
简 ，需注意的是 ：分子 中
ｎ＝ ３， ６ ＝
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． ．
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事 实上 ，对上述 的第一 点有 ：对 三次 函数 Ｙ：似 ＋ｐｘ （ａ≠０），如果 与直线 Ｙ＝ ＋ｂ有 三个交 点 ，则 三个 交点
（Ｐ—ｋ） —ｂ＝０，由 项的 系数 为零 ，根 据韦达 定理容 易 得 至０： １＋ ２＋ ３：０．
把上述推广到一 般情形 有 ：对一 般三 次 函数 Ｙ＝ａｘ ＋ ＋ ＋ｄ（ａ≠０），如果与直线 Ｙ＝ｋｘ＋ｂ有三个交 点 ， 则三个交点 的横 坐标 的平 均值 为 三 次 函数 拐点 的横 坐 标．（如果直线 与曲线相切 ，则切点用 两点 计算 ）可 以把 这 一 性质设计成试 题 ，让 考生猜 想 ，同样 的 ，考 生不 容易 观 察到 ，对数学思维有很 高的要求．
题及教 学提供参考．
关键词 ：高考数 学；函数 ；三次函数
中图分类号 ：Ｇ６３２
文献标 识码 ：Ａ
文章编 号 ：１００８—０３３３（２０１８）２５—０００２—０３
对最一般的三次 函数 Ｙ＝ａｘ ＋ ＋ ＋ｄ（ａ≠０）一 类的 问题 ，从解题 的角度 来看 ，可 以经过平移 将三 次函数 的拐点 （即三次 函数 的对 称 中心 点 ）移 到原点处 ，使 问题 简化 ，从而较为简单地解 决问题．此 时三次 函数 都可化 为 Ｙ＝黜 ＋ｐｘ（ａ＃Ｏ），以下称该 型为标准 型三次 函数．过程 如 下 ：
２００４（１６）．
［责任编辑 ：杨惠 民］
省乐 亭第一 中学 ０６３６００）
摘 要 ：在我们 日常练 习中遇到的复杂题 ，由于条件 的看似不相干导致我们 无从下手 ，此 时我 们可 以依题
意适时地 构建相 关辅助 量，将 问题进行 简化．本 文将详 细讲 解构建辅 助 角、辅助 数列 以及 辅助线 的解题 过程 ，
参考 文献 ：
的 横 坐 标 和 为 零
切时 ，切 点 用
两点计 算．联立 两方程 ，因为 ＋ｐｘ：ｋｘ＋ｂ，即有 ａｘ ＋
［１］王永山．由一道高考题谈三 次函数 复习［Ｊ］．高中
数学教 与学，２０１８（０２）． ［２］杨 炼．话说 三 次 函数 ［Ｊ］．数理 化 学 习：高中版 ，