北京四中2014届高三数学总复习知识讲解 常用逻辑用语综合(提高)

常用逻辑用语综合（文） 编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2.了解命题“若p,则q ”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、命题的四种形式
如果用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用⌝p 和⌝q 分别表示p 和q 的否定，则命题的四种形式为：
原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p. 四种命题的关系
常用逻辑用语
命题
四种命题及其
关系
充要条件
全称量词、存在量词
互为逆否命题等价
逻辑联结词
简单命题与复合命题
充分、必要、充要、既不充分也不必要
或、且、非
①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 要点三、充分条件、必要条件、充要条件 对于“若p 则q ”形式的命题：
①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；
②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与
B A ⌝
⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是
不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断，比如A B 可判断为A
B ；A=B 可判断为A
B ，
且B
A ，即A B.
如图：
“ÜA B ”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.
“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.
要点诠释：
（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.
（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.
“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.
要点三、逻辑联结词“或”“且”“非” “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
（1）不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做
复合命题.
（2）复合命题的构成形式：
①p 或q ；②p 且q ；③非p （即命题p 的否定）. （3）复合命题的真假判断（利用真值表）：
①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。

③“非p ”与p 的真假相反. 要点诠释：
（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：一是p 成立且q 不成立，二是p 不成立但q 成立，三是p 成立且q 也成立。

可以类比于集合中“x A ∈或x B ∈”.
（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：
“p 或q ”的否定是“⌝p 且⌝q ”； “p 且q ” 的否定是“⌝p 或⌝q ”. （3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

要点四、量词与全称命题、特称命题 全称量词与存在量词
（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“ ∀”表示，读作“对任意 ”。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可表示为“,()x M p x ∀∈”，其中M 为给定的集合，p(x) 是关于x 的命题.
（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。

表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“∃”表示，读作“存在 ”。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示为“,()x M p x ∃∈”，其中M 为给定的集合，p(x) 是关于x 的命题.
对含有一个量词的命题进行否定
（1）对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p ： ,()x M p x ∀∈，他的否定p ⌝： ,()x M p x ∃∈⌝ 。

全称命题的否定是特称命题。

（2）对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p ： ,()x M p x ∃∈，他的否定p ⌝： ,()x M p x ∀∈⌝ 。

特称命题的否定是全称命题。

要点诠释：
（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。

（2）一些常见的词的否定：
【典型例题】
类型一：命题的四种形式
例1. 写出命题“已知,a b 是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

【解析】逆命题：已知,a b 是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 否命题：已知,a b 是实数，若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，真命题； 逆否命题：已知,a b 是实数，若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，真命题。

【总结升华】
1.“已知,a b 是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；
2. 互为逆否命题的两个命题同真假；
3. 注意区分命题的否定和否命题. 举一反三：
【变式1】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

（1）若q<1，则方程x 2+2x+q=0有实根； （2）若x 2+y 2=0,则x,y 全为零。

【答案】
（1）逆命题：若方程x 2+2x+q=0有实根，则q<1，为假命题； 否命题：若q ≥1，则方程x 2+2x+q=0无实根，假命题； 逆否命题：若方程x 2+2x+q=0无实根，则q ≥1，真命题。

（2）逆命题：若x,y 全为零，则x 2+y 2=0,真命题； 否命题：若x 2+y 2≠0,则x,y 不全为零，真命题； 逆否命题：若x,y 不全为零，则x 2+y 2≠0，真命题。

【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例1】 【变式2】写出下列命题的否命题：
（1）若abc=0，则a ，b ，c 中至少有一个为0； （2）若x 2+y 2=0，则x ，y 全是0. 【答案】
（1）若0abc ≠，则a ，b ，c 都不为0； （2）若220,x y +≠则x ，y 不都为0. 类型二：充要条件的判断
例2. 填空（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种）。

（1）已知：p ：0m >；q ：方程2
0x x m +-=有实根. 则p 是q 的 条件；
（2）已知：p :|1|4x +≤；q :256x x <-.则p ⌝是q ⌝的 条件. 【解析】
(1)方法一：定义法
∵0m >⇒方程20x x m +-=有实根，
且方程20x x m +-=有实根0⇔∆≥140m ⇔+≥⇒/0m >.
所以p 是q 的充分而不必要条件。

方法二：从集合的观点入手
p ：{|0}m A m m ∈=>
q ：{|m B m ∈=方程20x x m +-=有实根}1{|}4
m m =≥-
因为A B Ü，所以p 是q 的充分而不必要条件.
（2）p :|1|4x +≤53x ⇔-≤≤；q :2
56x x <-2
560x x ⇔-+<23x ⇔<<.
由图知：q ⇒p 但p ¿q ,故q 是p 的充分不必要条件,故p ⌝是q ⌝的充分不必要条件.
【总结升华】1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；
2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是p ⌝与q ⌝关系. 举一反三：
【变式1】指出下列各组命题中, A 是B 的什么条件
（1）A ：2,p p R ≥∈；B ：方程2
30x px p +++=有实根； （2）A ：231x ->；B ：
2
1
06
x x >+-； （3）A ：圆2
2
2
x y r +=与直线0ax by c ++=相切；B ：2
2
2
2
()c a b r =+. 【答案】
(1)必要非充分条件． ∵2p ≥⇔2p ≥或2p ≤-，
方程2
30x px p +++=有实根⇔0∆≥⇔2
14(3)02p p -+≥⇔≤-或6p ≥， ∴{|2A p p =≥或2}
p ≤-{|6B p p =≥或2}p ≤-，即x A ∈x B ∈.
所以A 是B 的必要非充分条件． (2)必要非充分条件
∵23112x x x ->⇔<>或；
21
0326
x x x x >⇔<->+-或，
所以A 推不出B ，但B 可以推出A ， 故A 是B 的必要非充分条件． (3)充要条件
直线0ax by c ++=与圆2
2
2
x y r +=相切⇔ 圆(0，0)到直线的距离d r =， 222222
()c r c a b r a b =⇔=++.
所以A 是B 的充要条件.
【变式2】设{n a }是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{n a }是递增数列”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] C
[解析] 若123a a a <<，则2
111a a q a q <<，若10a >，则1q >，此时为递增数列，
若10a <，则1q <，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．
类型三：复合命题真假的判断
例3. 已知下列各组命题，写出满足条件的复合形式命题，并判断真假.
（1）p ：2x =是方程2
560x x -+=的根，q ：5x =是方程2
560x x -+=的根； p 或q ，
（2）p ：3π>， q ：π是有理数； p 且q ， （3）p ：若2x =，则x N ∈或0x <； 非p 【解析】
（1）p 或q ：2x =或5x =是方程2
560x x -+=的根，真命题； （2）p 且 q ：π是大于3的有理数，假命题； （3）非p ：若2x =，则x N ∉且0x ≥，假命题； 【总结升华】
1. 判断复合命题的真假的步骤： ①确定复合命题的构成形式； ②判断其中简单命题p 和q 的真假；
③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.
2. 条件“x N ∈或0x <”是“或”的关系，否定时要注意. 举一反三：
【变式1】若命题P ：x A B ∈U ，则命题“非P ”是（ ）
A ．x A ∉且x
B ∉ B ．x A ∉或x B ∉
C ．x A B ∉I
D ．x A B ∈I 【答案】A ；
【解析】∵因为命题p 可陈述为：x 属于集合A 或x 属于集合B ，∴非p ：x 即不属于集合A 且也不属于集合B ，即非p ：x A ∉且x B ∉，故选A.
【变式2】满足“p 或q”为真，“非p”为真的是 （填序号）
（1）p ：在∆ABC 中，若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ；q: y ＝sinx 在第一象限是增函数
（2）p ：,)a b a b R +≥∈；q: 不等式x x >的解集为(),0-∞
（3）p:圆()2
2
1(2)1x y -+-=的面积被直线1x =平分；q ：椭圆22
143
x y +=的一条
准线方程是4x =.
【答案】(2)；
【解析】由已知条件，知命题p 假、命题q 真. 选项(1)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(2)中命题p 假、命题q 真；选项(3)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故填(2)．
类型四：全称命题与特称命题真假的判断 例4. 判断下列命题的真假：
（1）4
,1x N x ∀∈≥；（2）300,1x Z x ∃∈<.
【解析】
（1）由于0N ∈，当0x =时，4
1x ≥不成立，故(1)为假命题； （2）由于1Z -∈，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题.
【总结升华】1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素
x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()
p x 不成立即可；
2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
举一反三：
【变式】写出下列命题的否定，并判断真假。

（1）2
1
,04
x R x x ∀∈-+
≥； （2）所有的正方形都是矩形； （3）2000,220x R x x ∃∈++≤； （4）至少有一个实数x 0，使得2
020x +=。

【答案】
（1）p ⌝：2
0001
,04
x R x x ∃∈-+
<（假命题）
； （2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）； （3）p ⌝：2
,220∀∈++>x R x x （真命题）； （4）p ⌝：2,20∀∈+≠x R x （真命题）。