考研数学三(概率论与数理统计)-试卷5

考研数学三（概率论与数理统计）-试卷5
(总分：70.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：13，分数：26.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________
解析：
2.设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{|X( )
（分数：2.00）
A.D(X)=2．
B.P{|X—E(X)|＜3}
C.D(X)≠2．
D.P{|X—E(X)|√
解析：解析：由于事件{|X—E(X)|＜3}是事件{|X—E(X)|≥3}的对立事件，且题设P{|X—E(X)|≥3}≤，
因此一定有P{|X—E(X)|＜3}≥选项D正确．进一步分析，满足不等式P{|X—E(X)|≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此选项A与C都不能选．若X服从参数n=8，p=0．5的二项分布，则有E(X)=4，D(X)=2．但是P{|X—E(X)|≥3}=P{|X一4|≥3}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=7}+P{X=8}=
因此选项B也不成立．故选D．
3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2．4，D(X)=1．44，则二项分布的参数n，P的值为( )
（分数：2.00）
A.n：4，P=0．6．
B.n=6，P=0．4．√
C.n=8，P=0．3．
D.n=24，P=0．1．
解析：解析：因为X～B(n，P)，所以E(X)=np，D(X)=np(1一P)
组，得n=6，p=0．4，故选项B正确．
4.对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则( )
（分数：2.00）
A.D(XY)=D(X).D(Y)．
B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)．√
C.X与Y独立．
D.X与Y不独立．
解析：解析：因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)一E(X).E(Y)]，可见
E(XY)=E(X).E(Y)，故选项B正确．对于随机变量X与Y，下面四个结论是等价的．①Cov(X，Y)=0；②X 与Y不相关；③E(XY)=E(X)E(Y)；④D(X+Y)=D(X)+D(Y)．
5.已知随机变量X与Y均服从0—1分布，且E(XY)=则
（分数：2.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：解析：因为X与Y均服从0一1分布，所以可以列出(X，Y)的联合分布如下：又已知E(XY)=
．即P 22 = 从而P{X+Y≤1}=P 11 +P 12 +P 21 =1一P 22．故选项C正确．
6.设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=E(X).E(Y)，则X与Y( )
（分数：2.00）
A.相关．
B.不相关．√
C.独立．
D.不独立．
解析：解析：因E(XY)=E(x)E(Y)，故cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0X与Y不相关，故选项B正确．
7.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( ) （分数：2.00）
A.一1．√
B.0．
D.1．
解析：解析：根据题意，y=n—X，故ρXY =一1．应选A．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足|ρXY|≤1．若Y=aX+b(a，b为常数)，则当a＞0时，ρXY =1，当a＜0时，ρXY =一1．
8.对于任意两随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是( )
（分数：2.00）
A.E(XY)=E(X).E(Y)．
B.Cov(X，Y)=0．
C.D(XY)=D(X).D(Y)．√
D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)．
解析：解析：因为Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，所以A与B等价．由D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见选项B与D等价．于是，“X和Y不相关”与选项A，B和D等价．故应选C．
9.假设随机变量X在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关系数等于( )
（分数：2.00）
A.一1．√
B.0．
C.0．5．
D.1．
解析：解析：因为U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：即U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=一1．应选A．
10.X与Y的相关系数ρ=1，则P{X=0，Y=1}的值必为( )
（分数：2.00）
A.0．√
D.1．
11.设随机变量X和Y独立同分布，记U=X—Y，V=X+Y，则随机变量U与V必然( )
（分数：2.00）
A.不独立．
B.独立．
C.相关系数不为零．
D.相关系数为零．√
解析：解析：因为 Cov(U，V)=E(UV)一E(U).E(V) =E(X 2一Y 2 )一E(X一Y).E(X+Y) =E(X 2 )一E(Y 2 )
一E 2 (X)+E 2 (Y) =D(X)一D(Y)=0．则所以U与V的相关系数为零，故选D．
12.设随机事件A与B互不相容，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1与Y的相关系数为ρ，则( ) （分数：2.00）
A.ρ=0．
B.ρ=1．
C.ρ＜0．√
D.ρ＞0．
解析：解析：选项B不能选，否则选项D必成立．因此仅能在选项A、C、D中考虑，即考虑ρ的符号，而
相关系数符号取决于Coy(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)，根据题设知E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，(因为P(AB)=0)，所以Cov(X，Y)=一E(X).E(Y)＜0，故选C．
13.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X一2Y的方差是( )
（分数：2.00）
A.8．
B.16．
C.28．
D.44．√
解析：解析：本题考查方差的运算性质，是一道纯粹的计算题．可根据方差的运算性质D(C)=0(C为常数)，D(CX)=C 2 D(X)以及相互独立随机变量的方差性质D(X±Y)=D(X)+D(Y)自行推演．故选项D正确．
二、填空题(总题数：14，分数：28.00)
14.设连续型随机变量X的分布函数为E(X)=1，则D(X)= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）
解析：解析：根据题意已知连续型随机变量X
15.相互独立的随机变量X 1和X 2均服从正态分布D(|X 1—X 2 |)= 1.
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：根据题意随机变量X 1和X 2相互独立，且服从正态分布设Z=X 1—X 2，则Z～N(0，
1)，其概率密度函数为φ(z)= D(|X 1 -X 2 |)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )一E 2 |Z|=E(Z 2 )-E 2 |Z|=D(Z)+E
2 (Z)一E 2 |Z|，显然，D(Z)=1，E(Z)=0．
16.设随机变量X和Y X和Y的协方差Cov(X，Y)= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一0．1）
E(X)=0．5，E(Y)=(一1)×0．3+1×0．3=0． E(XY)=一P{XY=一1}+P{XY=1}=一0．2+0．1=一0．1． Coy(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=一0．1—0=一0．1．
17.已知随机变量X的分布函数F(x)在x=1处连续，且F(1)=若EY= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：根据离散型随机变量期望公式计算．由于F(x)在x=1处连续，故E(Y)=aP{X＞1}+bP{X=1}+cP{X
＜1} =a[1一P{X≤1}]+bP{X=1}+cP{
18.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ 2 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）
解析：解析：根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为令事件A=“X+Y≤1”，则Z是4次独立重
复试验事件A发生的次数，故Z～B(4，P)，其中如图4—1
19.已知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是0．1，如果用X表示两次调整之间生产出的产品数量，则EX= 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：10）
解析：解析：X是离散型随机变量，其可能的取值为1，2，…，令P(A 1… )=P{调整后生产出的产品前k一1个为合格品，第k个为不合格品}=P{X=k}，其中A i=“第i个生产出的产品为合格品”，A i相
互独立，P(A i )=0．9，故 P{X=k}=0．9 k-1×0．1，
20.设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球．设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则EX= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：则 X=X 1 +X 2+…+X m．事件“X i=0”表示n次中没有抽到第i种颜色的球，由
于是有放回抽取，n次中各次抽取结果互不影响，所以有
21.设随机变量X与Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX 2 =EY 2 =2，则E(X+Y) 2 ]= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：6）
解析：解析：由已知条件得，D(X)=E(X 2)一E 2(X)=2，同理，D(Y)=2．则有，E[(X+Y) 2 ]=D(X+Y)+E 2 (X+Y)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) =2+2+2=6．
22.设随机变量X的概率密度为一∞＜x＜+∞)，则随机变量X的二阶原点矩为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：根据题意，即求E(X 2 )．首先对所给概率密度作变换：对于x(一∞＜x＜+∞)，有
23.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0．4，则X 2的数学期望E(X 2)= 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：18．4）
解析：解析：根据题意可知，X服从n=10，p=0．4的二项分布，因此有E(X)=np=4，D(x)=np(1一p)=2．4，因此E(X 2 )=D(X)+E 2 (X)=18．4．
24.设ξ，η则随机变量|ξ一η|的数学期望E(|ξ一η|)= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：因为ζ，η相互独立且均服从正态分布所以Z=ζ一η也服从正态分布，且E(Z)=E(ζ)一E(η)=0，D(Z)=D(ζ)+D(η)=即Z～N(0，1)
25.设随机变量X概率分布为，1，2…)，则E(X 2 )= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）
解析：解析：由概率密度的性质，有即k=0，1，2，…，为参数为1的泊松分布，则有E(X)=1，D(X)=1，故E(X 2 )=D(X)+E 2 (X)=2．
26.设二维随机变量(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY 2 )= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：μ3 +μσ2）
解析：解析：由于ρ=0，选项二维正态分布的性质可知随机变量X，Y独立，所以E(XY 2)=E(X).E(Y 2)．已知(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(X)=μ，E(Y 2 )=D(Y)+E 2 (Y)=μ2 +σ2，所以． E(XY 2 )=μ(μ2 +σ2 )=μ3 +μσ2．
27.设随机变量X 1的分布函数为F 1 (x)，概率密度函数为f 1 (x)，且E(X 1 )=1，随机变量X的分布函数为F(x)=0．4F 1 (x)+0．6F 1 (2x+1)，则E(X)= 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0．4）
解析：解析：根据题意已知随机变量X 1的分布函数为F 1(x)，概率密度函数为f 1(x)，可以验证F 1(2x+1)
为分布函数，记其对应的随机变量为X 2，其中X 2为随机变量X 1的函数，且记随机变量X 2的分布函数为F 2 (x)，概率密度函数为f 2 (x)，所以X的分布函数为 F(x)=0．4F 1 (x)+0．6F 2 (x)，两边同时对x求导得f(x)=0．4f 1 (x)+0．6f 2 (x)，于是∫ -∞+∞ xf(x)dx=0．4∫ -∞+∞ xf 1 (x)dx+0．6∫
-∞+∞ xf
2 (x)dx，即E(X)=0．4E(X 1 )+0．6E(X 2 )=0．4E(X 1
三、解答题(总题数：8，分数：16.00)
28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
29.某流水线上每个产品不合格的概率为p(0＜p＜1)，各产品合格与否相对独立，当出现1个不合格产品时即停机检修．设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令q=1一p，所以X的概率分布为 P{X=k}=q k-1 p，(k=1，2，…)，故X的数学期
望为)
解析：
30.设随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于
Y 2的数学期望．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
31.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品．从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(I)乙箱中次品件数的数学期望；(Ⅱ)从乙箱中任取一件产品是次品的概率．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：(I)X的可能取值为0，1，2，3，所以X的概率分布为(Ⅱ)设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于{X=0}，{X=1}，{X=2}，{X=3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，
)
解析：
32.设A，B为随机事件，且令(I)二维随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)X和Y的相关系数ρXY
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：(Ⅱ)X，Y)
解析：
33.设X 1 ,X 2，…X n (n＞2)为来自总体N(0，1)的简单随机样本，为样本均值，记，2，…，n．求：(I)Y i的方差D(Y i )，i=1，2，…，n；(Ⅱ)Y 1与Y n的协方差Cov(Y 1，Y n )．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：根据题设，知X 1，X 2，…，X n(n＞2)相互独立，且E(X i)=0，D(X i)=1(i=1，
2，…，n)，(Ⅱ)因为已知X 1，X 2，…，X n (n＞2)相互独立，)
解析：
34.设随机变量X和Y的概率分布分别为2=Y 2)=1 (I)求二维随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)求Z=XY的概率分布；(Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY .
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(I)由于P(X 2 =Y 2 )=1，因此P(X 2≠Y 2 )=0．故P(X=0，Y=1)=0，可知 P(X=1，
Y=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= 再由P(X=1，Y=0)=0可知P(X=0，Y=0)=P(X=1，Y=0)+P(X=0，
Y=0)=P(Y=0)= 同理，由P(X=0，Y=一1)=0可知P(X=1，Y=一1)=P(x=1，Y=一1)+p(X=0，Y=一1)=P(Y=
一1)= 这样，我们就可以写出(X，Y)的联合分布如下：(Ⅱ)Z=XY可能的取值有一1，0，1．其
中 P(Z=一1)=p(X=1，Y=一1)= ，P(Z=1)=P(X=1，Y=1)= 则有P(Z=0)= 因此，Z=XY的
分布律为)
解析：
35.设二维离散型随机变量(X，Y)求P(X=2Y)；(Ⅱ)求Cov(X一Y，Y)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：(I)P(X=2Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=2，Y=1)=(Ⅱ)Cov(X—Y，Y)=Cov(X，
Y)一Cov(Y，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY，)
解析：。