09中国海洋大学数学分析

中国海洋大学2009年研究生入学考试试题
科目代码 : 617 科目名称 ：数学分析
一．（30分）求极限
（1）)111(lim 0--→x x e x ； (2) n n n n !lim ∞→； （3）⎰++∞→10)1(1lim n
x
n n x d ；
（4）)1ln(1
02)(cos lim x x x +→； （5）dx x n n ⎰∞→20sin lim π
. 二．（15分）叙述与举例（要求有讨论过程）：
（1）用肯定语气写出)(x f 在[]b a ,上不一致连续的充要条件。

（2）举出函数)(x f 满足条件：在x =0时可导，但在0的任何邻域内不可导。

（3）举出函数),(y x f 满足条件：在（0，0）处连续，两个偏导数存在（并求出），但在（0，0）处不可微。

三.(24分)证明不等式：
（1）当2021π
<<<x x 时，有1221sin sin x x x x <；
（2）设f 在[]b a ,上有连续导数，0)()(==b f a f ，1)(2=⎰dx x f b
a ，则
4
1))()()((222≥'⎰⎰⎰b a b a b a dx x f x dx x f 四．（10分）判断下面正项级数的敛散性；
∑∞
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11
cos 2n n n e π 五．（28分）求积分：
（1）dx e x ⎰+∞∞
--2
；
（2）⎰-+-+-L
dz y x dy x z dx z y )()()(，其中L 为圆柱面222a y x =+和平面)0,0(1>>=+h a h
z a x 的交线，从x 轴的正向看去，是逆时针方向。

六．（15分）讨论下列积分在指定区间的一致收敛性；
dx x x 1sin 10⎰
-α，），20(∈α. 七．（13分）设)(x f 在），（∞+∞-上可导，且a x f =∞
→)(lim x ，求证)(x f '至少存在一个零点。

八．（15分）考察函数项级数∑∞
=+1241n x n nx （1）讨论该函数项级数在），（∞+∞-是否一致收敛；
（2）求出该函数项级数的一致收敛区间；
（3）求出该函数项级数的和函数的连续区间。