数形结合在高中数学解题中的应用

数形结合在高中数学解题中的应用

摘要：数学是一门抽象的学科，要想了解并掌握数学知识，就必须把它用具

体的形式表现出来。为了让学生对数学知识有一个更好的了解，可以利用数形结

合的思想，把一个概念形象化，把一个复杂的问题变得简单。更容易让学生了解

和掌握，有助于他们更好地解决数学问题，从而提升他们的学习效率。本文对数

学结合思想在高中数学解题中的应用策略进行了探讨。。

[关键词]高中数学;数形结合;解题方法

一、数形结合的概念

数是表征事物数量的一个基本概念。奇数，偶数，质数，甚至于一些函数，

方程式。形是一种最基本的概念，它代表了物体的空间形态。圆形，抛物线，双

曲线，以及其他形状。数形结合思想是围绕数与形的关系而形成的数学思想。数

形结合思想有着悠久的历史，早在数学萌芽期，数与形的研究便有着内在的联系，如长度、面积和体积的度量，将数与形融合了起来。

二、数形结合的主要内容

数形结合的思想是将数与形之间的对应关系和数与形的相互转换作为其核心

内容，其目的是为了解决特定的数学问题。从数学教育的视角来看，数形结合思

想是贯穿在数学教育的每一个环节中的，而且在不同的环节中其表现形式和应用

领域也存在着一些差异。在高中数学教学中，“数”与“形”的联系主要体现在

五个方面：一是实数与数轴上点的对应关系；二是函数与图像的对应关系；三是

曲线与方程的对应关系；四是依托几何元素、几何条件而建立起的概念，如三角

函数、复数等；五是既有等式或代数式的结构又有图形的几何意义，比如向量的

数量积、均值不等式等。从数学解题的观点来看，在解决数学问题时，经常采用

的是数形结合的思想，其具体的解题方法有三种：以形化数、以数解形、数形互补。以形化数的实质是将代数问题的几何化，将抽象的数量关系以直观的空间形

式表现出来。“以数解形”的实质就是将几何问题“代数”，即利用“代数”中

的定量关系去解决。数形互补指的是在解决问题的过程中，将数与形结合起来，

将两者在解决问题时的优点充分发挥出来，从而实现高效解决问题的一种解题策略。

三、数形结合的总体思路

核心素养教育改革是一项系统性的改革，而在教学层面贯彻落实核心素养的

内涵与要求则是核心素养教育改革的关键一环。对此，需要从以下四点出发，明

确核心素养下数形结合思想在高中数学解题中的应用原则。

第一，主体性原则。长期以来，高中数学教学中普遍存在着“以课为本”的

现象，即“以课为主”、“不以学生为本”。课程教学中出现了“本末倒置”现象，核心素养是指以学生为中心，以培养学生为中心，提高学生的综合素质。问

题解决的过程实质上就是一个学生自己摸索的过程。有些老师在给学生解题的时候，经常会把解题思路和解题步骤直接告诉他们，这使得解题变成了简单的推理

和计算，而忽视了学生的独立思考，这对学生解题能力的培养和发展产生了不利

的影响。所以，在教学中，教师应注重激发学生的独立思维，要求学生根据题中

给出的条件，对已学过的知识进行反思；并鼓励学生用数形结合思想来解决问题，充分发挥学生的主体作用，提高他们的学习动力。

第二，适宜性原则。对高中数学教育而言，数学练习既是课程教学的资源，

也是检查学生数学学习效果的重要手段。数学练习广泛分布于随堂作业、课后练习、平时测试、期中期末考试中。

第三，针对性原则。从之前的分析可以看出，数形结合思想主要包括了以形

化数、以数解形、数形互补等方面。数形结合思想的多样性，这就导致了学生在

运用数形结合思想来解决数学问题的时候，一定要根据题目的条件和要求，来选

择有针对性的学习内容。而且，解决一个数学问题的方法并不只有一种，即使是

用了数形结合的思想，也可以有两种以上的解决方案。在运用数形结合思想的过

程中，学生要有一种比较意识，从求解操作的简便性入手，选择与之匹配度最高

的数形结合思想，将高中数学解题以更易求解的形式展现出来。这样就能使学生

在数学问题上更有效率。

四、高中数学解题中数形结合思想的应用——以函数问题为例

在函数问题解题中,利用图形研究函数性质,是一种有效的方式,通过以数化形,能帮助学生理解题目意思,探究问题解答思路,解决函数的抽象问题, 加深对函数概念和性质的理解,发掘函数的未知性质,活化解题思路,提高学生解题能力.

例4 已知log2(-x)

分析：此题已经超过不等式问题范畴,题目看似非常简单,但是想要从代数

方向解题,解题难度比较大,思维容易陷入困境,因此,教师利用引入数形结合思想,降低问题难度,明确问题解题思路.根据题目,假设不等式两侧为不同的函数,

画出函数y=log2(-x) 和y=x+1的图象,如图4所示,根据log2(-x) 和y=x+1的

图象，则是函数y=log2(-x)的图象在y=x+ 1的图象的下方,根据图形可以非常直观的得到x 的取值范围,即(-1,0).通过这样的方式解题,更加直观、简单,提高学生的解题效率,保证解题的准确性，如下图所示：

五、数形结合思想在高中数学解题中的应用效果

（一）提供解题思路

将数形结合的思维方法运用于高中数学教学，可以给学生提供一种解决问题的方法。在教学中，数学课程的开展难度大，后进生的难度大，这与学生对数学课程的理解不够深入有关。许多学生单纯地把数学课程看成是一门计算技能的课程，没有从情感、态度、价值观等方面去深入理解，也没有意识到课程与生活的密切关联，这严重地影响了学生的课程学习。数形结合的思想教学在加深学生的数学认知方面有着非常显著的效果，可以帮助学生从更大的视角来把握数学课程