期望与方差例题选讲(含详解)

概率统计（理）典型例题选讲
(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ;
等可能事件概率的计算步骤：
① 计算一次试验的基本事件总数n ;
② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n
=求值;
④ 答，即给问题一个明确的答复.
(2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );
特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩等可能事件
互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算⎧⎨
⎩和事件积事件
即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
第三步，运用公式()()()()()()()()(1)
k k n k n n m P A n
P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧
=⎪⎪⎪+=+⎨
⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
典型例题分析
1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求E ξ与D ξ.
解：这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6，9，12，且“ξ=6”表示取出的3张卡上都标有2，
则P（ξ=6)=.“ξ=9”表示取出的3张卡片上两张为2，一张为5，则P(ξ=9)=
.“ξ=12”表示取出的3张卡片上两张为5，一张为2，则P(ξ=12)=.
则期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,
方差Dξ=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.
2.（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即
等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2
小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止。

令ξ表示走出迷宫所需的时间，
(Ⅰ)求ξ的分布列；
(Ⅱ)求ξ的数学期望。

解：(Ⅰ)ξ的所有可能取值为：1，3，4，6，
，
(Ⅱ)（小时）．
3 ．（2009高考(陕西理)）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,椐统计,随机变量ξ的概率分布如下:
(Ⅰ)求a的值和ξ的数学期望;
(Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率｡ 【答案】(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解答a=0.2
ξ∴的概率分布为
0*0.11*0.32*0.43*0.2 1.7E ξ∴=+++=
(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”事件1A 表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”;事件2A 表示“两个月内每月均被投诉12次” 则由事件的独立性得
1
1222212()(0)2*0.4*0.10.08
()[(1)]0.30.09
()()()0.080.090.17
P A C P P A P P A P A P A ξξ========∴=+=+=
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17
4．（浙江省温州市2010届高三八校联考（理））甲乙两队参加某知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者
为本队赢得一分,答错得零分｡假设甲队中每人答对的概率均为
32,乙队中3人答对的概率分别为2
1
,32,32且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示乙队的总得分. (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求)|(A B P ｡
【答案】:(1)18
1
213131)0(=⋅⋅=
=ξP ; 185
213131213231213132)1(=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ξP 188
213231213132213232)2(=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ξP
18
4
213232)3(=⋅⋅==ξP
数学期望18
33
1843188218511810=
⋅+⋅+⋅+⋅=ξE
(2)用η表示甲队的总得分
271)321()0(303=-==C P η; 92276)321(32)1(213==-⋅==C P η; 942712)321()32()2(223==-⋅==C P η 278)32()3(3
33=
==C P η )0,3()1,2()2,1()3,0()(==+==+==+===ηξμξηξηξP P P P A P
27
18120
2711842761882712185278181⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅=
27
1868
2712185278181)2,1()3,0()(⋅=
⋅+⋅===+===ηξηξP P BA P ∴30
17
12068)()()|(===
A P BA P A
B P 5．（浙江省台州中学09-10学年高二上学期第二次统练（理））在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,
武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是23
. (Ⅰ)求油罐被引爆的概率;
(Ⅱ)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ.求ξ的分布列及数学期望E(ξ).(用分数表示) 【答案】:
51
450121
(0)(1),
32432210(1)(1),
33243
232
1(0)(1).(6)
243
X X P X P X C P P X P X ====-===⨯⨯-=∴=-=-==(1)设命中油罐的次数为X,则当或时,油罐不能被引爆.
油罐被引爆的概率分 1
2123(2)2,3,4,5.
2242228(2),(3)(1),
33933327
2224(4)(1),33327
4841
(5)1(2)(3)(4)1().
927279
,P P C P C P P P P ξξξξξξξξξ==⨯===⨯-⨯===⨯-⨯===-=-=-==-++=射击次数的取值为因此的分布列为:
484179
2345.
(14)92727927
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=分
6 ．（北京市崇文区2009届高三一模文）某学校进行交通安全教育,设计了如下游戏,如图,一辆车模要直行．．
通过十字路口,此时前方交通灯为红灯,且该车模前面已有．．4．辆车模．．．依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶).已知每辆车模直行的概率是
35,左转行驶的概率是2
5
,该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟.假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟,一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟,求:
(Ⅰ)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率; (Ⅱ)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通 过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口). 【答案】(Ⅰ)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A,
则
()222432216()()55625
P A C =⨯=
(Ⅱ)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B,其中4辆车模均 直行通过路口为事件1B ,3辆直行1辆左转为事件2B ,则事件1B 、2B 互斥.
()()()()4433
121244332297()()555625
P B P B B P B P B C C =+=+=+⨯=
7．（2009高考(湖北理)）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。

现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x ；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y ，记随机变量，求的分布列和数学期望。

【答案】：依题意，可分别取、6、11取，则有
. 8．(2012课标卷2)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
η＝x ＋y η5η=⋅⋅⋅⋅1123
(5),(6),(7)44161616
4321
(8),(9),(10),(11)16161616p p p p p p p ηηηηηηη=======⨯========
1234321
567891011816161616161616
E η=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差； ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
10n －80，n ＜16，80，n ≥16.
(n ∈N )．(4分) (2)①X 可能的取值为60,70,80，并且
P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7， X 的数学期望为
E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
(6分)
X 的方差为
D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.(8分)
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为
Y 的数学期望为
E (Y )＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. Y 的方差为
D (Y )＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，D (X )＜D (Y )，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E (X )＜
E (Y )，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．(14分)
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为
Y 的数学期望为
E (Y )＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
由以上的计算结果可以看出，E (X )＜E (Y )，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．
9.(2015·衡水调研卷)某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．其规则是：按先A 后B 再A 的顺序投篮．教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和1
3
，且在A ，B 两点投中与否相互独立．
(1)若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X 的分布列和数学期望；
(2)若教师乙与甲在A ，B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率． 答案 (1)E (X )＝3 (2)19
48
解析 设“教师甲在A 点投中”的事件为A ，“教师甲在B 点投中”的事件为B . (1)根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7. P (X ＝0)＝P (A B A )＝(1－12)2×(1－13)＝16
，
P (X ＝2)＝P (A B A ＋A B A )＝C 12
×1
2×(1－13)×(1－12)＝1
3
， P (X ＝3)＝P (A B A )＝(1－12)×13×(1－12)＝1
12，
P (X ＝4)＝P (A B A )＝12×(1－13)×12＝1
6
，
P (X ＝5)＝P (AB A ＋A BA )＝C 12×1
2×(1－12)×13＝1
6，
P (X ＝7)＝P (ABA )＝12×13×12＝1
12
.
E (X )＝0×16＋2×13＋3×112＋4×16＋5×16＋7×1
12
＝3.
(2)教师甲胜乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形， 这五种情形之间彼此互斥，因此所求事件的概率为
P ＝13×16＋112×(16＋13)＋16×(16＋13＋112)＋16×(16＋13＋112＋16)＋112×(1－112)＝57144＝19
48
.
10.(2013课标卷2)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。

如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。

【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C ，第二次取出的1件产品是优质品为事件D ，这批产品通过检验为事件E ，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB 与CD 互斥，
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=3
2441
11()()222C ⨯⨯+411()22⨯
=364
.…6分 （Ⅱ）X 的可能取值为400,500,800，并且
P(X=400)=1-3
3441
11()()222C ⨯
-=1116，P(X=500)=116，P(X=800)=33411()22C ⨯=14
， ……10分 EX=400×
1116+500×116+800×1
4
=506.25 ……12分 11.（2011天津高考）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中， （i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．
解：（Ⅰ）（i ）设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i=，0，1，2，3），
则P （A 3）=，
（ii ）设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3，
又P （A 2）=，且A 2、A 3互斥，
所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=；
（Ⅱ）由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2．
P （X=0）=（1﹣）2=，P （X=1）=C 21（1﹣）=，P （X=2）=（）2=，
所以X的分布列是
X的数学期望E（X）=0×．
12.（2010四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为。

甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（1）求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率；
（2）求中奖人数的分布列及数学期望E。

(1)P=；
（2）
0 1 2 3
P
服从二项分布，E=3×=。

13.（2009北京高考）某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min．
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望．
解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为
．
（2）由题意,可得可能取的值为0,2,4,6,8（单位:min）．
事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0,1,2,3,4）,
∴,
∴即的分布列是
0 2 4 6 8
∴的期望是．
14、(2014课标卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.
答案（1）0.31（2）3
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